小學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)歸納總結(jié) 基本概念 第一章 數(shù)和數(shù)的運(yùn)算 一、概念 （一）整數(shù) 1、整數(shù)的意義 自然數(shù)和0都是整數(shù)。 達(dá)到當(dāng)天最大量API KEY 超過(guò)次數(shù)限制

2、自然數(shù)

我們?cè)跀?shù)物體的時(shí)候，用來(lái)表示物體個(gè)數(shù)的1，2，3……叫做自然數(shù)。

一個(gè)物體也沒(méi)有，用0表示。0也是自然數(shù)。

3、計(jì)數(shù)單位

一（個(gè)）、十、百、千、萬(wàn)、十萬(wàn)、百萬(wàn)、千萬(wàn)、億……都是計(jì)數(shù)單位。其中“一”是計(jì)數(shù)的基本單位。

10個(gè)1是10，10個(gè)10是100……每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。這樣的計(jì)數(shù)法叫做十進(jìn)制計(jì)數(shù)法。

4、數(shù)位

計(jì)數(shù)單位按照一定的順序排列起來(lái)，它們所占的位置叫做數(shù)位。

5、整數(shù)的讀法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地讀。讀億級(jí)、萬(wàn)級(jí)時(shí)，先按照個(gè)級(jí)的讀法去讀，再在后面加一個(gè)“億”或“萬(wàn)”字。每一級(jí)末尾的0都不讀出來(lái)，其它數(shù)位連續(xù)有幾個(gè)0都只讀一個(gè)零。

6、整數(shù)的寫(xiě)法：從高位到低位，一級(jí)一級(jí)地寫(xiě)，哪一個(gè)數(shù)位上一個(gè)單位也沒(méi)有，就在那個(gè)數(shù)位上寫(xiě)0。

7、一個(gè)較大的多位數(shù)，為了讀寫(xiě)方便，常常把它改寫(xiě)成用“萬(wàn)”或“億”作單位的數(shù)。有時(shí)還可以根據(jù)需要，省略這個(gè)數(shù)某一位后面的數(shù)，寫(xiě)成近似數(shù)。

⑴ 準(zhǔn)確數(shù)：在實(shí)際生活中，為了計(jì)數(shù)的簡(jiǎn)便，可以把一個(gè)較大的數(shù)改寫(xiě)成以萬(wàn)或億為單位的數(shù)。改寫(xiě)后的數(shù)是原數(shù)的準(zhǔn)確數(shù)。 例如把 1254300000 改寫(xiě)成以萬(wàn)做單位的數(shù)是 125430 萬(wàn)；改寫(xiě)成 以億做單位 的數(shù) 12.543 億。

⑵ 近似數(shù)：根據(jù)實(shí)際需要，我們還可以把一個(gè)較大的數(shù)，省略某一位后面的尾數(shù)，用一個(gè)近似數(shù)來(lái)表示。 例如： 1302490015 省略億后面的尾數(shù)是 13 億。⑶ 四舍五入法：求近似數(shù)，看尾數(shù)最高位上的數(shù)是幾，比5小就舍去，是5或大于5舍去尾數(shù)向前一位進(jìn)1。這種求近似數(shù)的方法就叫做四舍五入法。

8、整數(shù)大小的比較：位數(shù)多的那個(gè)數(shù)就大，如果位數(shù)相同，就看最高位，最高位上的數(shù)大，那個(gè)數(shù)就大；最高位上的數(shù)相同，就看下一位，哪一位上的數(shù)大那個(gè)數(shù)就大。以此類推。

（二）小數(shù)

1、小數(shù)的意義

把整數(shù)1平均分成10份、100份、1000份…… 得到的十分之幾、百分之幾、千分之幾…… 可以用小數(shù)表示。如1/10記作0.1,7/100記作0.07。

一位小數(shù)表示十分之幾，兩位小數(shù)表示百分之幾，三位小數(shù)表示千分之幾……

一個(gè)小數(shù)由整數(shù)部分、小數(shù)部分和小數(shù)點(diǎn)部分組成。數(shù)中的圓點(diǎn)叫做小數(shù)點(diǎn)，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)左邊的數(shù)叫做整數(shù)部分，小數(shù)點(diǎn)右邊的數(shù)叫做小數(shù)部分。

小數(shù)點(diǎn)右邊第一位叫十分位，計(jì)數(shù)單位是十分之一（0.1）；第二位叫百分位，計(jì)數(shù)單位是百分之一（0.01）……小數(shù)部分最大的計(jì)數(shù)單位是十分之一，沒(méi)有最小的計(jì)數(shù)單位。小數(shù)部分有幾個(gè)數(shù)位，就叫做幾位小數(shù)。如0.36是兩位小數(shù)，3.066是三位小數(shù)

在小數(shù)里，每相鄰兩個(gè)計(jì)數(shù)單位之間的進(jìn)率都是10。小數(shù)部分的最高分?jǐn)?shù)單位“十分之一”和整數(shù)部分的最低單位“一”之間的進(jìn)率也是10。

2、小數(shù)的讀法：讀小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的讀法讀，小數(shù)點(diǎn)讀作“點(diǎn)”，小數(shù)部分從左向右順次讀出每一位數(shù)位上的數(shù)字。

3、小數(shù)的寫(xiě)法：寫(xiě)小數(shù)的時(shí)候，整數(shù)部分按照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)，小數(shù)點(diǎn)寫(xiě)在個(gè)位右下角，小數(shù)部分順次寫(xiě)出每一個(gè)數(shù)位上的數(shù)字。

4、比較小數(shù)的大小：先看它們的整數(shù)部分，，整數(shù)部分大的那個(gè)數(shù)就大；整數(shù)部分相同的，十分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大；十分位上的數(shù)也相同的，百分位上的數(shù)大的那個(gè)數(shù)就大……

5、小數(shù)的分類

⑴ 純小數(shù)：整數(shù)部分是零的小數(shù)，叫做純小數(shù)。例如： 0.25 、 0.368 都是純小數(shù)。

⑵ 帶小數(shù)：整數(shù)部分不是零的小數(shù)，叫做帶小數(shù)。 例如： 3.25 、 5.26 都是帶小數(shù)。

⑶ 有限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是有限的小數(shù)，叫做有限小數(shù)。 例如： 41.7 、 25.3 、 0.23 都是有限小數(shù)。

⑷ 無(wú)限小數(shù)：小數(shù)部分的數(shù)位是無(wú)限的小數(shù)，叫做無(wú)限小數(shù)。 例如： 4.33 …… 3.1415926 ……

⑸ 無(wú)限不循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，數(shù)字排列無(wú)規(guī)律且位數(shù)無(wú)限，這樣的小數(shù)叫做無(wú)限不循環(huán)小數(shù)。 例如：∏

⑹ 循環(huán)小數(shù)：一個(gè)數(shù)的小數(shù)部分，有一個(gè)數(shù)字或者幾個(gè)數(shù)字依次不斷重復(fù)出現(xiàn)，這個(gè)數(shù)叫做循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.555 …… 0.0333 …… 12.109109 ……

一個(gè)循環(huán)小數(shù)的小數(shù)部分，依次不斷重復(fù)出現(xiàn)的數(shù)字叫做這個(gè)循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)。 例如： 3.99 ……的循環(huán)節(jié)是“ 9 ” ， 0.5454 ……的循環(huán)節(jié)是“ 54 ” 。

⑺ 純循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做純循環(huán)小數(shù)。 例如： 3.111 …… 0.5656 ……

⑻ 混循環(huán)小數(shù)：循環(huán)節(jié)不是從小數(shù)部分第一位開(kāi)始的，叫做混循環(huán)小數(shù)。 3.1222 …… 0.03333 ……

寫(xiě)循環(huán)小數(shù)的時(shí)候，為了簡(jiǎn)便，小數(shù)的循環(huán)部分只需寫(xiě)出一個(gè)循環(huán)節(jié)，并在這個(gè)循環(huán)節(jié)的首、末位數(shù)字上各點(diǎn)一個(gè)圓點(diǎn)。如果循環(huán) 節(jié)只有一個(gè)數(shù)字，就只在它的上面點(diǎn)一個(gè)點(diǎn)。

（三）分?jǐn)?shù)

1、分?jǐn)?shù)的意義

把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或者幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。

在分?jǐn)?shù)里，中間的橫線叫做分?jǐn)?shù)線；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)，叫做分母，表示把單位“1”平均分成多少份；分?jǐn)?shù)線下面的數(shù)叫做分子，表示有這樣的多少份。

把單位“1”平均分成若干份，表示其中的一份的數(shù)，叫做分?jǐn)?shù)單位。

2、分?jǐn)?shù)的讀法：讀分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀分母再讀“分之”然后讀分子，分子和分母按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。

3、分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：先寫(xiě)分?jǐn)?shù)線，再寫(xiě)分母，最后寫(xiě)分子，按照整數(shù)的寫(xiě)法來(lái)寫(xiě)。

4、比較分?jǐn)?shù)的大小:

⑴ 分母相同的分?jǐn)?shù)，分子大的那個(gè)分?jǐn)?shù)就大。

⑵ 分子相同的分?jǐn)?shù)，分母小的那個(gè)分?jǐn)?shù)就大。

⑶ 分母和分子都不同的分?jǐn)?shù)，通常是先通分，轉(zhuǎn)化成通分母的分?jǐn)?shù)，再比較大小。

⑷ 如果被比較的分?jǐn)?shù)是帶分?jǐn)?shù)，先要比較它們的整數(shù)部分，整數(shù)部分大的那個(gè)帶分?jǐn)?shù)就大；如果整數(shù)部分相同，再比較它們的分?jǐn)?shù)部分，分?jǐn)?shù)部分大的那個(gè)帶分?jǐn)?shù)就大。

5、分?jǐn)?shù)的分類

按照分子、分母和整數(shù)部分的不同情況，可以分成：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分?jǐn)?shù)

⑴ 真分?jǐn)?shù)：分子比分母小的分?jǐn)?shù)叫做真分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)小于1。

⑵ 假分?jǐn)?shù)：分子比分母大或者分子和分母相等的分?jǐn)?shù)，叫做假分?jǐn)?shù)。假分?jǐn)?shù)大于或等于1。

⑶ 帶分?jǐn)?shù)：假分?jǐn)?shù)可以寫(xiě)成整數(shù)與真分?jǐn)?shù)合成的數(shù)，通常叫做帶分?jǐn)?shù)。

6、分?jǐn)?shù)和除法的關(guān)系及分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

⑴ 除法是一種運(yùn)算，有運(yùn)算符號(hào)；分?jǐn)?shù)是一種數(shù)。因此，一般應(yīng)敘述為被除數(shù)相當(dāng)于分子，而不能說(shuō)成被除數(shù)就是分子。

⑵ 由于分?jǐn)?shù)和除法有密切的關(guān)系，根據(jù)除法中“商不變”的性質(zhì)可得出分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)。

⑶ 分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（0除外），分?jǐn)?shù)的大小不變，這叫做分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)，它是約分和通分的依據(jù)。

7、約分和通分

⑴ 分子、分母是互質(zhì)數(shù)的分?jǐn)?shù)，叫做最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

⑵ 把一個(gè)分?jǐn)?shù)化成同它相等但分子、分母都比較小的分?jǐn)?shù)，叫做約分。

⑶ 約分的方法：用分子和分母的公約數(shù)（1除外）去除分子、分母；通常要除到得出最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)為止。

⑷ 把異分母分?jǐn)?shù)分別化成和原來(lái)分?jǐn)?shù)相等的同分母分?jǐn)?shù)，叫做通分。

⑸ 通分的方法：先求出原來(lái)幾個(gè)分母的最小公倍數(shù)，然后把各分?jǐn)?shù)化成用這個(gè)最小公倍數(shù)作分母的分?jǐn)?shù)。

8、倒 數(shù)

⑴ 乘積是1的兩個(gè)數(shù)互為倒數(shù)。

⑵ 求一個(gè)數(shù)（0除外）的倒數(shù)，只要把這個(gè)數(shù)的分子、分母調(diào)換位置。

⑶ 1的倒數(shù)是1，0沒(méi)有倒數(shù)

（四）百分?jǐn)?shù)

1、百分?jǐn)?shù)的意義

表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù) 叫做百分?jǐn)?shù),也叫做百分率或百分比。百分?jǐn)?shù)通常用"%"來(lái)表示。百分號(hào)是表示百分?jǐn)?shù)的符號(hào)。

2、百分?jǐn)?shù)的讀法：讀百分?jǐn)?shù)時(shí)，先讀百分之，再讀百分號(hào)前面的數(shù)，讀數(shù)時(shí)按照整數(shù)的讀法來(lái)讀。

3、百分?jǐn)?shù)的寫(xiě)法：百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而在原來(lái)的分子后面加上百分號(hào)“%”來(lái)表示。

4、百分?jǐn)?shù)與折數(shù)、成數(shù)的互化：

例如：三折就是30％，七五折就是75％，成數(shù)就是十分之幾，如一成就是牐 闖砂俜質(zhì) 褪?0%，則六成五就是65%。

5、納稅和利息：

稅率：應(yīng)納稅額與各種收入的比率。

利率：利息與本金的百分率。由銀行規(guī)定按年或按月計(jì)算。

利息的計(jì)算公式：利息=本金×利率×?xí)r間

6、百分?jǐn)?shù)與分?jǐn)?shù)的區(qū)別主要有以下三點(diǎn)：

⑴ 意義不同。百分?jǐn)?shù)是“表示一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的百分之幾的數(shù)?！彼荒鼙硎緝蓴?shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，不能表示某一具體數(shù)量。如：可以說(shuō) 1米 是 5米 的 20％，不可以說(shuō)“一段繩子長(zhǎng)為20％米?！币虼耍俜?jǐn)?shù)后面不能帶單位名稱。分?jǐn)?shù)是“把單位‘1’平均分成若干份，表示這樣一份或幾份的數(shù)”。分?jǐn)?shù)不僅 可以表示兩數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，如：甲數(shù)是3，乙數(shù)是4，甲數(shù)是乙數(shù)的?；還可以表示一定的數(shù)量，如：犌Э恕 米等。

⑵ 應(yīng)用范圍不同。百分?jǐn)?shù)在生產(chǎn)、工作和生活中，常用于調(diào)查、統(tǒng)計(jì)、分析與比較。而分?jǐn)?shù)常常是在測(cè)量、計(jì)算中，得不到整數(shù)結(jié)果時(shí)使用。

⑶ 書(shū)寫(xiě)形式不同。百分?jǐn)?shù)通常不寫(xiě)成分?jǐn)?shù)形式，而采用百分號(hào)“％”來(lái)表示。如：百分之四十五，寫(xiě)作：45％；百分?jǐn)?shù)的分母固定為100，因此，不論百分?jǐn)?shù) 的分子、分母之間有多少個(gè)公約數(shù)，都不約分；百分?jǐn)?shù)的分子可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)。而分?jǐn)?shù)的分子只能是自然數(shù)，它的表示形式有：真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)、帶分 數(shù)，計(jì)算結(jié)果不是最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)的一般要通過(guò)約分化成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，是假分?jǐn)?shù)的要化成帶分?jǐn)?shù)。

7、數(shù)的互化

⑴ 小數(shù)化成分?jǐn)?shù)：原來(lái)有幾位小數(shù)，就在1的后面寫(xiě)幾個(gè)零作分母，把原來(lái)的小數(shù)去掉小數(shù)點(diǎn)作分子，能約分的要約分。

⑵ 分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：用分母去除分子。能除盡的就化成有限小數(shù)，有的不能除盡，不能化成有限小數(shù)的，一般保留三位小數(shù)。

⑶ 一個(gè)最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)，如果分母中除了2和5以外，不含有其他的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就能化成有限小數(shù)；如果分母中含有2和5 以外的質(zhì)因數(shù)，這個(gè)分?jǐn)?shù)就不能化成有限小數(shù)。

⑷ 小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)：只要把小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，同時(shí)在后面添上百分號(hào)。

⑸ 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：把百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)，只要把百分號(hào)去掉，同時(shí)把小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位。

⑹ 分?jǐn)?shù)化成百分?jǐn)?shù)：通常先把分?jǐn)?shù)化成小數(shù)（除不盡時(shí)，通常保留三位小數(shù))，再把小數(shù)化成百分?jǐn)?shù)。

⑺ 百分?jǐn)?shù)化成小數(shù)：先把百分?jǐn)?shù)改寫(xiě)成分?jǐn)?shù)，能約分的要約成最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)。

（五）數(shù)的整除

1、整除的意義

整數(shù)a除以整數(shù)b(b ≠ 0），除得的商是整數(shù)而沒(méi)有余數(shù)，我們就說(shuō)a能被b整除，或者說(shuō)b能整除a 。

除盡的意義 甲數(shù)除以乙數(shù)，所得的商是整數(shù)或有限小數(shù)而余數(shù)也為0時(shí)，我們就說(shuō)甲數(shù)能被乙數(shù)除盡，（或者說(shuō)乙數(shù)能除盡甲數(shù)）這里的甲數(shù)、乙數(shù)可以是自然數(shù)，也可以是小數(shù)（乙數(shù)不能為0）。

2、約數(shù)和倍數(shù)

⑴ 如果數(shù)a能被數(shù)b（b ≠ 0）整除，a就叫做b的倍數(shù)，b就叫做a的約數(shù)（或a的因數(shù)）。倍數(shù)和約數(shù)是相互依存的。

⑵ 一個(gè)數(shù)的約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，其中最小的約數(shù)是1，最大的約數(shù)是它本身。

⑶ 一個(gè)數(shù)的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，其中最小的倍數(shù)是它本身，沒(méi)有最大的倍數(shù)。

3、奇數(shù)和偶數(shù)

⑴ 自然數(shù)按能否被2 整除的特征可分為奇數(shù)和偶數(shù)。

① 能被2整除的數(shù)叫做偶數(shù)。0也是偶數(shù)。

② 不能被2整除的數(shù)叫做奇數(shù)。

⑵ 奇數(shù)和偶數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：

① 相鄰兩個(gè)自然數(shù)之和是奇數(shù)，之積是偶數(shù)。

② 奇數(shù)+奇數(shù)=偶數(shù)，奇數(shù)+偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)+偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)-奇數(shù)=偶數(shù)，

奇數(shù)-偶數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-奇數(shù)=奇數(shù)，偶數(shù)-偶數(shù)=偶數(shù)；奇數(shù)×奇數(shù)=奇數(shù)，奇數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)，偶數(shù)×偶數(shù)=偶數(shù)。

4、整除的特征

⑴ 個(gè)位上是0、2、4、6、8的數(shù)，都能被2整除。

⑵ 個(gè)位上是0或5的數(shù)，都能被5整除。

⑶ 一個(gè)數(shù)的各位上的數(shù)的和能被3整除，這個(gè)數(shù)就能被3整除。

⑷ 一個(gè)數(shù)各位數(shù)上的和能被9整除，這個(gè)數(shù)就能被9整除。

⑸ 能被3整除的數(shù)不一定能被9整除，但是能被9整除的數(shù)一定能被3整除。

⑹ 一個(gè)數(shù)的末兩位數(shù)能被4（或25）整除，這個(gè)數(shù)就能被4（或25）整除。

⑺ 一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)能被8（或125）整除，這個(gè)數(shù)就能被8（或125）整除。

5、質(zhì)數(shù)和合數(shù)

⑴ 一個(gè)數(shù)，如果只有1和它本身兩個(gè)約數(shù)，這樣的數(shù)叫做質(zhì)數(shù)（或素?cái)?shù)），100以內(nèi)的質(zhì)數(shù)有：2、3、5、7、11、13、17、19、23、29、31、37、41、43、47、53、59、61、67、71、73、79、83、89、97。

⑵ 一個(gè)數(shù)，如果除了1和它本身還有別的約數(shù)，這樣的數(shù)叫做合數(shù)，例如 4、6、8、9、12都是合數(shù)。

⑶ 1不是質(zhì)數(shù)也不是合數(shù)，自然數(shù)除了1外，不是質(zhì)數(shù)就是合數(shù)。如果把自然數(shù)按其約數(shù)的個(gè)數(shù)的不同分類，可分為質(zhì)數(shù)、合數(shù)和1。

6、分解質(zhì)因數(shù)

⑴ 質(zhì)因數(shù)

每個(gè)合數(shù)都可以寫(xiě)成幾個(gè)質(zhì)數(shù)相乘的形式。其中每個(gè)質(zhì)數(shù)都是這個(gè)合數(shù)的因數(shù)，叫做這個(gè)合數(shù)的質(zhì)因數(shù)，例如15=3×5，3和5 叫做15的質(zhì)因數(shù)。

⑵ 分解質(zhì)因數(shù)

把一個(gè)合數(shù)用質(zhì)因數(shù)相乘的形式表示出來(lái)，叫做分解質(zhì)因數(shù)。通常用短除法來(lái)分解質(zhì)因數(shù)。先用能整除這個(gè)合數(shù)的質(zhì)數(shù)去除，一直除到商是質(zhì)數(shù)為止，再把除數(shù)和商寫(xiě)成連乘的形式。

⑶ 公因（約）數(shù)

幾個(gè)數(shù)公有的因數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公因數(shù)。其中最大的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最大公因數(shù)。

公因數(shù)只有1的兩個(gè)數(shù)，叫做互質(zhì)數(shù)。成互質(zhì)關(guān)系的兩個(gè)數(shù)，有下列幾種情況：①和任何自然數(shù)互質(zhì)；

②相鄰的兩個(gè)自然數(shù)互質(zhì)；

③當(dāng)合數(shù)不是質(zhì)數(shù)的倍數(shù)時(shí)，這個(gè)合數(shù)和這個(gè)質(zhì)數(shù)互質(zhì)；

④兩個(gè)合數(shù)的公約數(shù)只有1時(shí)，這兩個(gè)合數(shù)互質(zhì)，如果幾個(gè)數(shù)中任意兩個(gè)都互質(zhì)，就說(shuō)這幾個(gè)數(shù)兩兩互質(zhì)。

如果較小數(shù)是較大數(shù)的約數(shù)，那么較小數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，它們的最大公約數(shù)就是1。

⑷ 公倍數(shù)

① 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)。其中最大的一個(gè)叫這幾個(gè)數(shù)的最大公倍數(shù)。

求幾個(gè)數(shù)的最大公約數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)連續(xù)去除，一直除到所得的商只有公約數(shù)1為止，然后把所有的除數(shù)連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的的最大公約數(shù)。

② 幾個(gè)數(shù)公有的倍數(shù)，叫做這幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)，其中最小的一個(gè)，叫做這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

求幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)的方法是：先用這幾個(gè)數(shù)（或其中的部分?jǐn)?shù)）的公約數(shù)去除，一直除到互質(zhì)（或兩兩互質(zhì)）為止，然后把所有的除數(shù)和商連乘求積，這個(gè)積就是這幾個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果較大數(shù)是較小數(shù)的倍數(shù)，那么較大數(shù)就是這兩個(gè)數(shù)的最小公倍數(shù)。

如果兩個(gè)數(shù)是互質(zhì)數(shù)，那么這兩個(gè)數(shù)的積就是它們的最小公倍數(shù)。

幾個(gè)數(shù)的公約數(shù)的個(gè)數(shù)是有限的，而幾個(gè)數(shù)的公倍數(shù)的個(gè)數(shù)是無(wú)限的。

二、性質(zhì)和規(guī)律

（一）商不變的規(guī)律

商不變的規(guī)律：在除法里，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大或者同時(shí)縮小相同的倍，商不變。

（二）小數(shù)的性質(zhì)

小數(shù)的性質(zhì)：在小數(shù)的末尾添上零或者去掉零小數(shù)的大小不變。

（三）小數(shù)點(diǎn)位置的移動(dòng)引起小數(shù)大小的變化

1、小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大10倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大100倍；小數(shù)點(diǎn)向右移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就擴(kuò)大1000倍……

2、小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)一位，原來(lái)的數(shù)就縮小10倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)兩位，原來(lái)的數(shù)就縮小100倍；小數(shù)點(diǎn)向左移動(dòng)三位，原來(lái)的數(shù)就縮小1000倍……

3、小數(shù)點(diǎn)向左移或者向右移位數(shù)不夠時(shí)，要用“0"補(bǔ)足位。

（四）分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)

分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)：分?jǐn)?shù)的分子和分母都乘以或者除以相同的數(shù)（零除外），分?jǐn)?shù)的大小不變。

（五）分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系

1、被除數(shù)÷除數(shù)= 被除數(shù)/除數(shù)

2、因?yàn)榱悴荒茏鞒龜?shù)，所以分?jǐn)?shù)的分母不能為零。

3、被除數(shù) 相當(dāng)于分子，除數(shù)相當(dāng)于分母。

三、運(yùn)算法則

（一）整數(shù)四則運(yùn)算的法則

1、整數(shù)加法：

把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算叫做加法。

在加法里，相加的數(shù)叫做加數(shù)，加得的數(shù)叫做和。加數(shù)是部分?jǐn)?shù)，和是總數(shù)。

加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)

2、整數(shù)減法：

已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算叫做減法。

在減法里，已知的和叫做被減數(shù)，已知的加數(shù)叫做減數(shù)，未知的加數(shù)叫做差。被減數(shù)是總數(shù)，減數(shù)和差分別是部分?jǐn)?shù)。

加法和減法互為逆運(yùn)算。

3、整數(shù)乘法：

求幾個(gè)相同加數(shù)的和的簡(jiǎn)便運(yùn)算叫做乘法。

在乘法里，相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)都叫做因數(shù)。相同加數(shù)的和叫做積。

在乘法里，0和任何數(shù)相乘都得0. 1和任何數(shù)相乘都的任何數(shù)。

一個(gè)因數(shù)× 一個(gè)因數(shù) =積 一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)

4、整數(shù)除法：

已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算叫做除法。

在除法里，已知的積叫做被除數(shù)，已知的一個(gè)因數(shù)叫做除數(shù)，所求的因數(shù)叫做商。

乘法和除法互為逆運(yùn)算。

在除法里，0不能做除數(shù)。因?yàn)?和任何數(shù)相乘都得0，所以任何一個(gè)數(shù)除以0，均得不到一個(gè)確定的商。

被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=商×除數(shù)

5、乘方:

求幾個(gè)相同因數(shù)的積的運(yùn)算叫做乘方。例如 3 × 3 =32

（二）小數(shù)四則運(yùn)算

1、小數(shù)加法：

小數(shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2、小數(shù)減法：

小數(shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算.

3、小數(shù)乘法：

小數(shù)乘整數(shù)的意義和整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算；一個(gè)數(shù)乘純小數(shù)的意義是求這個(gè)數(shù)的十分之幾、百分之幾、千分之幾……是多少。

4、小數(shù)除法：

小數(shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同，就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

（三）分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算

1、分?jǐn)?shù)加法：

分?jǐn)?shù)加法的意義與整數(shù)加法的意義相同。 是把兩個(gè)數(shù)合并成一個(gè)數(shù)的運(yùn)算。

2、分?jǐn)?shù)減法：

分?jǐn)?shù)減法的意義與整數(shù)減法的意義相同。已知兩個(gè)加數(shù)的和與其中的一個(gè)加數(shù)，求另一個(gè)加數(shù)的運(yùn)算。

3、分?jǐn)?shù)乘法：

分?jǐn)?shù)乘法的意義與整數(shù)乘法的意義相同，就是求幾個(gè)相同加數(shù)和的簡(jiǎn)便運(yùn)算。

4、分?jǐn)?shù)除法：

分?jǐn)?shù)除法的意義與整數(shù)除法的意義相同。就是已知兩個(gè)因數(shù)的積與其中一個(gè)因數(shù)，求另一個(gè)因數(shù)的運(yùn)算。

（四）運(yùn)算定律

1、加法運(yùn)算定律

⑴ 加法交換律：

兩個(gè)數(shù)相加，交換加數(shù)的位置，它們的和不變，即a+b=b+a 。

⑵ 加法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相加，先把前兩個(gè)數(shù)相加，再加上第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相加，再和第一個(gè)數(shù)相加它們的和不變，即（a+b)+c=a+(b+c) 。

2、乘法運(yùn)算定律

⑴ 乘法交換律：

兩個(gè)數(shù)相乘，交換因數(shù)的位置它們的積不變，即a×b=b×a。

⑵ 乘法結(jié)合律：

三個(gè)數(shù)相乘，先把前兩個(gè)數(shù)相乘，再乘以第三個(gè)數(shù)；或者先把后兩個(gè)數(shù)相乘，再和第一個(gè)數(shù)相乘，它們的積不變，即(a×b)×c=a×(b×c) 。

⑶乘法分配律：

兩個(gè)數(shù)的和與一個(gè)數(shù)相乘，可以把兩個(gè)加數(shù)分別與這個(gè)數(shù)相乘，再把兩個(gè)積相加，即(a+b)×c=a×c+b×c 。

⑷ 乘法分配律擴(kuò)展：

兩個(gè)數(shù)的差與一數(shù)相乘，可以先把它們與這個(gè)數(shù)分別相乘，再相減，即(a-b) ×c=a×c-b×c

3、減法運(yùn)算定律

⑴ 從一個(gè)數(shù)里連續(xù)減去幾個(gè)數(shù)，可以從這個(gè)數(shù)里減去所有減數(shù)的和，差不變，即a-b-c=a-(b+c) 。

⑵ 一個(gè)數(shù)連續(xù)減去兩個(gè)數(shù)，可以先減去第二個(gè)減數(shù)，再減去第一個(gè)減數(shù)，即a-b-c=a-c-b。

4、除法運(yùn)算定律

⑴ 一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以除以這兩個(gè)數(shù)的集，即a÷b÷c=a÷(b×c)。

⑵ 一個(gè)數(shù)連續(xù)除以兩個(gè)數(shù)，可以先除以第二除數(shù)，再除以第一個(gè)除數(shù)，即a÷b÷c=a÷c÷b。

5、其它

a-b+c=a+c-b

a-b+c=a+(b-c)

a÷b×c=a×c÷b

a÷b×c=a÷(b÷c)

6、積的變化規(guī)律：在乘法中，一個(gè)因數(shù)不變，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大（或縮小）若干倍，積也擴(kuò)大（或縮小）相同的倍數(shù)。

推廣：一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大A倍，另一個(gè)因數(shù)擴(kuò)大B倍，積擴(kuò)大AB倍。

一個(gè)因數(shù)縮小A倍，另一個(gè)因數(shù)縮小B倍，積縮小AB倍。

7、商不變性質(zhì): 在除法中，被除數(shù)和除數(shù)同時(shí)擴(kuò)大（或縮?。┫嗤谋稊?shù)，商不變。m≠0 a÷b=(a×m) ÷(b×m)=(a÷m) ÷(b÷m)

推廣：被除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。〢倍，除數(shù)不變，商也擴(kuò)大（或縮小）A倍。

被除數(shù)不變，除數(shù)擴(kuò)大（或縮?。〢倍，商反而縮?。ɑ驍U(kuò)大）A倍。

利用積的變化規(guī)律和商不變規(guī)律性質(zhì)可以使一些計(jì)算簡(jiǎn)便。但在有余數(shù)的除法中要注意余數(shù)。如：8500÷200= 可以把被除數(shù)、除數(shù)同時(shí)縮小100倍來(lái)除，即85÷2= ，商不變，但此時(shí)的余數(shù)1是被縮小100被后的，所以還原成原來(lái)的余數(shù)應(yīng)該是100。

（五）計(jì)算方法

1、整數(shù)加法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)相加滿十，就向前一位進(jìn)一。

2、整數(shù)減法計(jì)算法則：

相同數(shù)位對(duì)齊，從低位加起，哪一位上的數(shù)不夠減，就從它的前一位退一作十，和本位上的數(shù)合并在一起，再減。

3、整數(shù)乘法計(jì)算法則：

先用一個(gè)因數(shù)每一位上的數(shù)分別去乘另一個(gè)因數(shù)各個(gè)數(shù)位上的數(shù)，用因數(shù)哪一位上的數(shù)去乘，乘得的數(shù)的末尾就對(duì)齊哪一位，然后把各次乘得的數(shù)加起來(lái)。

4、整數(shù)除法計(jì)算法則：

先從被除數(shù)的高位除起，除數(shù)是幾位數(shù)，就看被除數(shù)的前幾位；如果不夠除，就多看一位，除到被除數(shù)的哪一位，商就寫(xiě)在哪一位的上面。如果哪一位上不夠商1，要補(bǔ)“0”占位。每次除得的余數(shù)要小于除數(shù)。

5、小數(shù)乘法法則：

先按照整數(shù)乘法的計(jì)算法則算出積，再看因數(shù)中共有幾位小數(shù)，就從積的右邊起數(shù)出幾位，點(diǎn)上小數(shù)點(diǎn)；如果位數(shù)不夠，就用“0”補(bǔ)足。

6、除數(shù)是整數(shù)的小數(shù)除法計(jì)算法則：

先按照整數(shù)除法的法則去除，商的小數(shù)點(diǎn)要和被除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)對(duì)齊；如果除到被除數(shù)的末尾仍有余數(shù)，就在余數(shù)后面添“0”，再繼續(xù)除。

7、除數(shù)是小數(shù)的除法計(jì)算法則：

先移動(dòng)除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)，使它變成整數(shù)，除數(shù)的小數(shù)點(diǎn)也向右移動(dòng)幾位（位數(shù)不夠的補(bǔ)“0”），然后按照除數(shù)是整數(shù)的除法法則進(jìn)行計(jì)算。

8、同分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:

同分母分?jǐn)?shù)相加減，只把分子相加減，分母不變。

9、異分母分?jǐn)?shù)加減法計(jì)算方法:

先通分，然后按照同分母分?jǐn)?shù)加減法的的法則進(jìn)行計(jì)算。

10、帶分?jǐn)?shù)加減法的計(jì)算方法:

整數(shù)部分和分?jǐn)?shù)部分分別相加減，再把所得的數(shù)合并起來(lái)。

11、分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算法則:

分?jǐn)?shù)乘整數(shù)，用分?jǐn)?shù)的分子和整數(shù)相乘的積作分子，分母不變；分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)，用分子相乘的積作分子，分母相乘的積作分母。

12、分?jǐn)?shù)除法的計(jì)算法則:

甲數(shù)除以乙數(shù)（0除外），等于甲數(shù)乘乙數(shù)的倒數(shù)。

（六） 運(yùn)算順序

1、小數(shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

2、分?jǐn)?shù)四則運(yùn)算的運(yùn)算順序和整數(shù)四則運(yùn)算順序相同。

3、沒(méi)有括號(hào)的混合運(yùn)算:同級(jí)運(yùn)算從左往右依次運(yùn)算；兩級(jí)運(yùn)算 先算乘、除法，后算加減法。

4、有括號(hào)的混合運(yùn)算:先算小括號(hào)里面的，再算中括號(hào)里面的，最后算括號(hào)外面的。

5、第一級(jí)運(yùn)算：加法和減法叫做第一級(jí)運(yùn)算。

6、第二級(jí)運(yùn)算：乘法和除法叫做第二級(jí)運(yùn)算。

四、應(yīng)用

（一）整數(shù)和小數(shù)的應(yīng)用

1、簡(jiǎn)單應(yīng)用題

（1）簡(jiǎn)單應(yīng)用題：只含有一種基本數(shù)量關(guān)系，或用一步運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做簡(jiǎn)單應(yīng)用題。

（2） 解題步驟：

a 審題理解題意：了解應(yīng)用題的內(nèi)容，知道應(yīng)用題的條件和問(wèn)題。讀題時(shí)，不丟字不添字邊讀邊思考，弄明白題中每句話的意思。也可以復(fù)述條件和問(wèn)題，幫助理解題意。

b選擇算法和列式計(jì)算：這是解答應(yīng)用題的中心工作。從題目中告訴什么，要求什么著手，逐步根據(jù)所給的條件和問(wèn)題，聯(lián)系四則運(yùn)算的含義，分析數(shù)量關(guān)系，確定算法，進(jìn)行解答并標(biāo)明正確的單位名稱。

C檢驗(yàn)：就是根據(jù)應(yīng)用題的條件和問(wèn)題進(jìn)行檢查看所列算式和計(jì)算過(guò)程是否正確，是否符合題意。如果發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，馬上改正。

2、復(fù)合應(yīng)用題

（1）有兩個(gè)或兩個(gè)以上的基本數(shù)量關(guān)系組成的，用兩步或兩步以上運(yùn)算解答的應(yīng)用題，通常叫做復(fù)合應(yīng)用題。

（2）含有三個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

求比兩個(gè)數(shù)的和多（少）幾個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

比較兩數(shù)差與倍數(shù)關(guān)系的應(yīng)用題。

（3）含有兩個(gè)已知條件的兩步計(jì)算的應(yīng)用題。

已知兩數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)的和（或差）。

已知兩數(shù)之和與其中一個(gè)數(shù)，求兩個(gè)數(shù)相差多少（或倍數(shù)關(guān)系）。

（4）解答連乘連除應(yīng)用題。

（5）解答三步計(jì)算的應(yīng)用題。

（6）解答小數(shù)計(jì)算的應(yīng)用題：小數(shù)計(jì)算的加法、減法、乘法和除法的應(yīng)用題，他們的數(shù)量關(guān)系、結(jié)構(gòu)、和解題方式都與正式應(yīng)用題基本相同，只是在已知數(shù)或未知數(shù)中間含有小數(shù)。

d答案：根據(jù)計(jì)算的結(jié)果，先口答，逐步過(guò)渡到筆答。

(7) 解答加法應(yīng)用題：

a求總數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，乙數(shù)是多少，求甲乙兩數(shù)的和是多少。

b求比一個(gè)數(shù)多幾的數(shù)應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少和乙數(shù)比甲數(shù)多多少，求乙數(shù)是多少。

（8) 解答減法應(yīng)用題：

a求剩余的應(yīng)用題：從已知數(shù)中去掉一部分，求剩下的部分。

-b求兩個(gè)數(shù)相差的多少的應(yīng)用題：已知甲乙兩數(shù)各是多少，求甲數(shù)比乙數(shù)多多少，或乙數(shù)比甲數(shù)少多少。

c求比一個(gè)數(shù)少幾的數(shù)的應(yīng)用題：已知甲數(shù)是多少，，乙數(shù)比甲數(shù)少多少，求乙數(shù)是多少。

(9) 解答乘法應(yīng)用題：

a求相同加數(shù)和的應(yīng)用題：已知相同的加數(shù)和相同加數(shù)的個(gè)數(shù)，求總數(shù)。

b求一個(gè)數(shù)的幾倍是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)是多少，另一個(gè)數(shù)是它的幾倍，求另一個(gè)數(shù)是多少。

( 10) 解答除法應(yīng)用題：

a把一個(gè)數(shù)平均分成幾份，求每一份是多少的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和把這個(gè)數(shù)平均分成幾份的，求每一份是多少。

b求一個(gè)數(shù)里包含幾個(gè)另一個(gè)數(shù)的應(yīng)用題：已知一個(gè)數(shù)和每份是多少，求可以分成幾份。

C 求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的的幾倍的應(yīng)用題：已知甲數(shù)乙數(shù)各是多少，求較大數(shù)是較小數(shù)的幾倍。

d已知一個(gè)數(shù)的幾倍是多少，求這個(gè)數(shù)的應(yīng)用題。

（11）常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系：

總價(jià)= 單價(jià)×數(shù)量

路程= 速度×?xí)r間

工作總量=工作時(shí)間×工效

總產(chǎn)量=單產(chǎn)量×數(shù)量

3、典型應(yīng)用題

具有獨(dú)特的結(jié)構(gòu)特征的和特定的解題規(guī)律的復(fù)合應(yīng)用題，通常叫做典型應(yīng)用題。

（1）平均數(shù)問(wèn)題：平均數(shù)是等分除法的發(fā)展。

解題關(guān)鍵：在于確定總數(shù)量和與之相對(duì)應(yīng)的總份數(shù)。

算術(shù)平均數(shù)：已知幾個(gè)不相等的同類量和與之相對(duì)應(yīng)的份數(shù)，求平均每份是多少。數(shù)量關(guān)系式：數(shù)量之和÷數(shù)量的個(gè)數(shù)=算術(shù)平均數(shù)。

加權(quán)平均數(shù)：已知兩個(gè)以上若干份的平均數(shù)，求總平均數(shù)是多少。

數(shù)量關(guān)系式 （部分平均數(shù)×權(quán)數(shù)）的總和÷（權(quán)數(shù)的和）=加權(quán)平均數(shù)。

差額平均數(shù)：是把各個(gè)大于或小于標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的部分之和被總份數(shù)均分，求的是標(biāo)準(zhǔn)數(shù)與各數(shù)相差之和的平均數(shù)。

數(shù)量關(guān)系式：（大數(shù)－小數(shù)）÷2=小數(shù)應(yīng)得數(shù) 最大數(shù)與各數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最大數(shù)應(yīng)給數(shù) 最大數(shù)與個(gè)數(shù)之差的和÷總份數(shù)=最小數(shù)應(yīng)得數(shù)。

例：一輛汽車(chē)以每小時(shí) 100 千米 的速度從甲地開(kāi)往乙地，又以每小時(shí) 60 千米的速度從乙地開(kāi)往甲地。求這輛車(chē)的平均速度。

分析：求汽車(chē)的平均速度同樣可以利用公式。此題可以把甲地到乙地的路程設(shè)為“ 1 ”，則汽車(chē)行駛的總路程為“ 2 ”，從甲地到乙地的速度為 100 ，所用的時(shí)間為 ，汽車(chē)從乙地到甲地速度為 60 千米，所用的時(shí)間是 ，汽車(chē)共行的時(shí)間為 + = , 汽車(chē)的平均速度為 2 ÷ =75 （千米）

（2）歸一問(wèn)題：已知相互關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量，其中一種量改變，另一種量也隨之而改變，其變化的規(guī)律是相同的，這種問(wèn)題稱之為歸一問(wèn)題。

根據(jù)求“單一量”的步驟的多少，歸一問(wèn)題可以分為一次歸一問(wèn)題，兩次歸一問(wèn)題。

根據(jù)球癡單一量之后，解題采用乘法還是除法，歸一問(wèn)題可以分為正歸一問(wèn)題，反歸一問(wèn)題。

一次歸一問(wèn)題，用一步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題。又稱“單歸一。”

兩次歸一問(wèn)題，用兩步運(yùn)算就能求出“單一量”的歸一問(wèn)題。又稱“雙歸一。”

正歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用乘法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。

反歸一問(wèn)題：用等分除法求出“單一量”之后，再用除法計(jì)算結(jié)果的歸一問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：從已知的一組對(duì)應(yīng)量中用等分除法求出一份的數(shù)量（單一量），然后以它為標(biāo)準(zhǔn)，根據(jù)題目的要求算出結(jié)果。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)我涣俊练輸?shù)=總數(shù)量（正歸一）

總數(shù)量÷單一量=份數(shù)（反歸一）

例 一個(gè)織布工人，在七月份織布 4774 米 ， 照這樣計(jì)算，織布 6930 米，需要多少天？

分析：必須先求出平均每天織布多少米，就是單一量。 693 0 ÷（ 477 4 ÷ 31 ） =45 （天）

（3）歸總問(wèn)題：是已知單位數(shù)量和計(jì)量單位數(shù)量的個(gè)數(shù)，以及不同的單位數(shù)量（或單位數(shù)量的個(gè)數(shù)），通過(guò)求總數(shù)量求得單位數(shù)量的個(gè)數(shù)（或單位數(shù)量）。

特點(diǎn)：兩種相關(guān)聯(lián)的量，其中一種量變化，另一種量也跟著變化，不過(guò)變化的規(guī)律相反，和反比例算法彼此相通。

數(shù)量關(guān)系式：?jiǎn)挝粩?shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量 = 另一個(gè)單位數(shù)量 單位數(shù)量×單位個(gè)數(shù)÷另一個(gè)單位數(shù)量= 另一個(gè)單位數(shù)量。

例 修一條水渠，原計(jì)劃每天修 800 米 ， 6 天修完。實(shí)際 4 天修完，每天修了多少米？

分析：因?yàn)橐蟪雒刻煨薜拈L(zhǎng)度，就必須先求出水渠的長(zhǎng)度。所以也把這類應(yīng)用題叫做“歸總問(wèn)題”。不同之處是“歸一”先求出單一量，再求總量，歸總問(wèn)題是先求出總量，再求單一量。 80 0 × 6 ÷ 4=1200 （米）

（4）和差問(wèn)題：已知大小兩個(gè)數(shù)的和，以及他們的差，求這兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題叫做和差問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：是把大小兩個(gè)數(shù)的和轉(zhuǎn)化成兩個(gè)大數(shù)的和（或兩個(gè)小數(shù)的和），然后再求另一個(gè)數(shù)。

解題規(guī)律：（和＋差）÷2 = 大數(shù) 大數(shù)－差=小數(shù)

（和－差）÷2=小數(shù) 和－小數(shù)= 大數(shù)

例 某加工廠甲班和乙班共有工人 94 人，因工作需要臨時(shí)從乙班調(diào) 46 人到甲班工作，這時(shí)乙班比甲班人數(shù)少 12 人，求原來(lái)甲班和乙班各有多少人？

分析：從乙班調(diào) 46 人到甲班，對(duì)于總數(shù)沒(méi)有變化，現(xiàn)在把乙數(shù)轉(zhuǎn)化成 2 個(gè)乙班，即 9 4 － 12 ，由此得到現(xiàn)在的乙班是（ 9 4 － 12 ）÷ 2=41 （人），乙班在調(diào)出 46 人之前應(yīng)該為 41+46=87 （人），甲班為 9 4 － 87=7 （人）

（5）和倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的和及它們之間的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題，叫做和倍問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：找準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)數(shù)（即1倍數(shù)）一般說(shuō)來(lái)，題中說(shuō)是“誰(shuí)”的幾倍，把誰(shuí)就確定為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。求出倍數(shù)和之后，再求出標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)量是多少。根據(jù)另一個(gè)數(shù)（也可能是幾個(gè)數(shù)）與標(biāo)準(zhǔn)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，再去求另一個(gè)數(shù)（或幾個(gè)數(shù)）的數(shù)量。

解題規(guī)律：和÷倍數(shù)和=標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)

例:汽車(chē)運(yùn)輸場(chǎng)有大小貨車(chē) 115 輛，大貨車(chē)比小貨車(chē)的 5 倍多 7 輛，運(yùn)輸場(chǎng)有大貨車(chē)和小汽車(chē)各有多少輛？

分析：大貨車(chē)比小貨車(chē)的 5 倍還多 7 輛，這 7 輛也在總數(shù) 115 輛內(nèi)，為了使總數(shù)與（ 5+1 ）倍對(duì)應(yīng)，總車(chē)輛數(shù)應(yīng)（ 115-7 ）輛 。

列式為（ 115-7 ）÷（ 5+1 ） =18 （輛）， 18 × 5+7=97 （輛）

（6）差倍問(wèn)題：已知兩個(gè)數(shù)的差，及兩個(gè)數(shù)的倍數(shù)關(guān)系，求兩個(gè)數(shù)各是多少的應(yīng)用題。

解題規(guī)律：兩個(gè)數(shù)的差÷（倍數(shù)－1 ）= 標(biāo)準(zhǔn)數(shù) 標(biāo)準(zhǔn)數(shù)×倍數(shù)=另一個(gè)數(shù)。

例 甲乙兩根繩子，甲繩長(zhǎng) 63 米 ，乙繩長(zhǎng) 29 米 ，兩根繩剪去同樣的長(zhǎng)度，結(jié)果甲所剩的長(zhǎng)度是乙繩 長(zhǎng)的 3 倍，甲乙兩繩所剩長(zhǎng)度各多少米？ 各減去多少米？

分析：兩根繩子剪去相同的一段，長(zhǎng)度差沒(méi)變，甲繩所剩的長(zhǎng)度是乙繩的 3 倍，實(shí)比乙繩多（ 3-1 ）倍，以乙繩的長(zhǎng)度為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)。列式（ 63-29 ）÷（ 3-1 ） =17 （米）…乙繩剩下的長(zhǎng)度， 17 × 3=51 （米）…甲繩剩下的長(zhǎng)度， 29-17=12 （米）…剪去的長(zhǎng)度。

（7）行程問(wèn)題：關(guān)于走路、行車(chē)等問(wèn)題，一般都是計(jì)算路程、時(shí)間、速度，叫做行程問(wèn)題。解答這類問(wèn)題首先要搞清楚速度、時(shí)間、路程、方向、杜速度和、速度差等概念，了解他們之間的關(guān)系，再根據(jù)這類問(wèn)題的規(guī)律解答。

解題關(guān)鍵及規(guī)律：

同時(shí)同地相背而行：路程=速度和×?xí)r間。

同時(shí)相向而行：相遇時(shí)間=速度和×?xí)r間

同時(shí)同向而行（速度慢的在前，快的在后）：追及時(shí)間=路程速度差。

同時(shí)同地同向而行（速度慢的在后，快的在前）：路程=速度差×?xí)r間。

例 甲在乙的后面 28 千米 ，兩人同時(shí)同向而行，甲每小時(shí)行 16 千米 ，乙每小時(shí)行 9 千米，甲幾小時(shí)追上乙？

分析：甲每小時(shí)比乙多行（ 16-9 ）千米，也就是甲每小時(shí)可以追近乙（ 16-9 ）千米，這是速度差。

已知甲在乙的后面 28 千米 （追擊路程）， 28 千米 里包含著幾個(gè)（ 16-9 ）千米，也就是追擊所需要的時(shí)間。列式 2 8 ÷ （ 16-9 ） =4 （小時(shí)）

（8）流水問(wèn)題：一般是研究船在“流水”中航行的問(wèn)題。它是行程問(wèn)題中比較特殊的一種類型，它也是一種和差問(wèn)題。它的特點(diǎn)主要是考慮水速在逆行和順行中的不同作用。

船速：船在靜水中航行的速度。

水速：水流動(dòng)的速度。

順?biāo)俣龋捍樍骱叫械乃俣取?/p>

逆水速度：船逆流航行的速度。

順?biāo)?船速＋水速

逆速=船速－水速

解題關(guān)鍵：因?yàn)轫樍魉俣仁谴倥c水速的和，逆流速度是船速與水速的差，所以流水問(wèn)題當(dāng)作和差問(wèn)題解答。解題時(shí)要以水流為線索。

解題規(guī)律：船行速度=（順?biāo)俣? 逆流速度）÷2

流水速度=（順流速度逆流速度）÷2

路程=順流速度× 順流航行所需時(shí)間

路程=逆流速度×逆流航行所需時(shí)間

例 一只輪船從甲地開(kāi)往乙地順?biāo)校啃r(shí)行 28 千米 ，到乙地后，又逆水 航行，回到甲地。逆水比順?biāo)嘈?2 小時(shí)，已知水速每小時(shí) 4 千米。求甲乙兩地相距多少千米？

分析：此題必須先知道順?biāo)乃俣群晚標(biāo)枰臅r(shí)間，或者逆水速度和逆水的時(shí)間。已知順?biāo)俣群退魉俣龋虼瞬浑y算出逆水的速度，但順?biāo)玫臅r(shí)間，逆水所用的時(shí)間不知道，只知道順?biāo)饶嫠儆?2 小時(shí)，抓住這一點(diǎn)，就可以就能算出順?biāo)畯募椎氐揭业氐乃玫臅r(shí)間，這樣就能算出甲乙兩地的路程。列式為 284 × 2=20 （千米） 2 0 × 2 =40 （千米） 40 ÷（ 4 × 2 ） =5 （小時(shí)） 28 × 5=140 （千米）。

（9）還原問(wèn)題：已知某未知數(shù)，經(jīng)過(guò)一定的四則運(yùn)算后所得的結(jié)果，求這個(gè)未知數(shù)的應(yīng)用題，我們叫做還原問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：要弄清每一步變化與未知數(shù)的關(guān)系。

解題規(guī)律：從最后結(jié)果 出發(fā)，采用與原題中相反的運(yùn)算（逆運(yùn)算）方法，逐步推導(dǎo)出原數(shù)。

根據(jù)原題的運(yùn)算順序列出數(shù)量關(guān)系，然后采用逆運(yùn)算的方法計(jì)算推導(dǎo)出原數(shù)。

解答還原問(wèn)題時(shí)注意觀察運(yùn)算的順序。若需要先算加減法，后算乘除法時(shí)別忘記寫(xiě)括號(hào)。

例 某小學(xué)三年級(jí)四個(gè)班共有學(xué)生 168 人，如果四班調(diào) 3 人到三班，三班調(diào) 6 人到二班，二班調(diào) 6 人到一班，一班調(diào) 2 人到四班，則四個(gè)班的人數(shù)相等，四個(gè)班原有學(xué)生多少人？

分析：當(dāng)四個(gè)班人數(shù)相等時(shí)，應(yīng)為 168 ÷ 4 ，以四班為例，它調(diào)給三班 3 人，又從一班調(diào)入 2 人，所以四班原有的人數(shù)減去 3 再加上 2 等于平均數(shù)。四班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-2+3=43 （人）

一班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+2=38 （人）；二班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-6+6=42 （人）三班原有人數(shù)列式為 168 ÷ 4-3+6=45 （人）。

（10）植樹(shù)問(wèn)題：這類應(yīng)用題是以“植樹(shù)”為內(nèi)容。凡是研究總路程、株距、段數(shù)、棵樹(shù)四種數(shù)量關(guān)系的應(yīng)用題，叫做植樹(shù)問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：解答植樹(shù)問(wèn)題首先要判斷地形，分清是否封閉圖形，從而確定是沿線段植樹(shù)還是沿周長(zhǎng)植樹(shù)，然后按基本公式進(jìn)行計(jì)算。

解題規(guī)律：沿線段植樹(shù)

棵樹(shù)=段數(shù)+1 棵樹(shù)=總路程÷株距+1

株距=總路程÷（棵樹(shù)-1） 總路程=株距×（棵樹(shù)-1）

沿周長(zhǎng)植樹(shù)

棵樹(shù)=總路程÷株距

株距=總路程÷棵樹(shù)

總路程=株距×棵樹(shù)

例 沿公路一旁埋電線桿 301 根，每相鄰的兩根的間距是 50 米 。后來(lái)全部改裝，只埋了201 根。求改裝后每相鄰兩根的間距。

分析：本題是沿線段埋電線桿，要把電線桿的根數(shù)減掉一。列式為 50 ×（ 301-1 ）÷（ 201-1 ） =75 （米）

（11 ）盈虧問(wèn)題：是在等分除法的基礎(chǔ)上發(fā)展起來(lái)的。他的特點(diǎn)是把一定數(shù)量的物品，平均分配給一定數(shù)量的人，在兩次分配中，一次有余，一次不足（或兩次都有余），或兩次都不足），已知所余和不足的數(shù)量，求物品適量和參加分配人數(shù)的問(wèn)題，叫做盈虧問(wèn)題。

解題關(guān)鍵：盈虧問(wèn)題的解法要點(diǎn)是先求兩次分配中分配者沒(méi)份所得物品數(shù)量的差，再求兩次分配中各次共分物品的差（也稱總差額），用前一個(gè)差去除后一個(gè)差，就得到分配者的數(shù)，進(jìn)而再求得物品數(shù)。

解題規(guī)律：總差額÷每人差額=人數(shù)

總差額的求法可以分為以下四種情況：

第一次多余，第二次不足，總差額=多余+ 不足

第一次正好，第二次多余或不足 ，總差額=多余或不足

第一次多余，第二次也多余，總差額=大多余-小多余

第一次不足，第二次也不足， 總差額= 大不足-小不足

例 參加美術(shù)小組的同學(xué)，每個(gè)人分的相同的支數(shù)的色筆，如果小組 10 人，則多 25 支，如果小組有 12 人，色筆多余 5 支。求每人 分得幾支？共有多少支色鉛筆？

分析：每個(gè)同學(xué)分到的色筆相等。這個(gè)活動(dòng)小組有 12 人，比 10 人多 2 人，而色筆多出了（ 25-5 ） =20 支 ， 2 個(gè)人多出 20 支，一個(gè)人分得 10 支。列式為（ 25-5 ）÷（ 12-10 ） =10 （支） 10 × 12+5=125 （支）。

（12）年齡問(wèn)題：將差為一定值的兩個(gè)數(shù)作為題中的一個(gè)條件，這種應(yīng)用題被稱為“年齡問(wèn)題”。

解題關(guān)鍵：年齡問(wèn)題與和差、和倍、差倍問(wèn)題類似，主要特點(diǎn)是隨著時(shí)間的變化，年歲不斷增長(zhǎng)，但大小兩個(gè)不同年齡的差是不會(huì)改變的，因此，年齡問(wèn)題是一種“差不變”的問(wèn)題，解題時(shí)，要善于利用差不變的特點(diǎn)。

例 父親 48 歲，兒子 21 歲。問(wèn)幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍？

分析：父子的年齡差為 48-21=27 （歲）。由于幾年前父親年齡是兒子的 4 倍，可知父子年齡的倍數(shù)差是（ 4-1 ）倍。這樣可以算出幾年前父子的年齡，從而可以求出幾年前父親的年齡是兒子的 4 倍。列式為： 21（ 48-21 ）÷（ 4-1 ） =12 （年）

（13）雞兔問(wèn)題：已知“雞兔”的總頭數(shù)和總腿數(shù)。求“雞”和“兔”各多少只的一類應(yīng)用題。通常稱為“雞兔問(wèn)題”又稱雞兔同籠問(wèn)題

解題關(guān)鍵：解答雞兔問(wèn)題一般采用假設(shè)法，假設(shè)全是一種動(dòng)物（如全是“雞”或全是“兔”，然后根據(jù)出現(xiàn)的腿數(shù)差，可推算出某一種的頭數(shù)。

解題規(guī)律：（總腿數(shù)－雞腿數(shù)×總頭數(shù)）÷一只雞兔腿數(shù)的差=兔子只數(shù)

兔子只數(shù)=（總腿數(shù)-2×總頭數(shù)）÷2

如果假設(shè)全是兔子，可以有下面的式子：

雞的只數(shù)=（4×總頭數(shù)-總腿數(shù)）÷2

兔的頭數(shù)=總頭數(shù)-雞的只數(shù)

例 雞兔同籠共 50 個(gè)頭， 170 條腿。問(wèn)雞兔各有多少只？

兔子只數(shù) （ 170-2 × 50 ）÷ 2 =35 （只）

雞的只數(shù) 50-35=15 （只）

（二）分?jǐn)?shù)和百分?jǐn)?shù)的應(yīng)用

1、分?jǐn)?shù)加減法應(yīng)用題：

分?jǐn)?shù)加減法的應(yīng)用題與整數(shù)加減法的應(yīng)用題的結(jié)構(gòu)、數(shù)量關(guān)系和解題方法基本相同，所不同的只是在已知數(shù)或未知數(shù)中含有分?jǐn)?shù)。

2、分?jǐn)?shù)乘法應(yīng)用題：

是指已知一個(gè)數(shù)，求它的幾分之幾是多少的應(yīng)用題。

特征：已知單位“1”的量和分率，求與分率所對(duì)應(yīng)的實(shí)際數(shù)量。

解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量。找準(zhǔn)要求問(wèn)題所對(duì)應(yīng)的分率，然后根據(jù)一個(gè)數(shù)乘分?jǐn)?shù)的意義正確列式。

3、分?jǐn)?shù)除法應(yīng)用題：

求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾）是多少。

特征：已知一個(gè)數(shù)和另一個(gè)數(shù)，求一個(gè)數(shù)是另一個(gè)數(shù)的幾分之幾或百分之幾?！耙粋€(gè)數(shù)”是比較量，“另一個(gè)數(shù)”是標(biāo)準(zhǔn)量。求分率或百分率，也就是求他們的倍數(shù)關(guān)系。

解題關(guān)鍵：從問(wèn)題入手，搞清把誰(shuí)看作標(biāo)準(zhǔn)的數(shù)也就是把誰(shuí)看作了“單位一”，誰(shuí)和單位一的量作比較，誰(shuí)就作被除數(shù)。

甲是乙的幾分之幾（百分之幾）:甲是比較量，乙是標(biāo)準(zhǔn)量，用甲除以乙。

甲比乙多（或少）幾分之幾（百分之幾）：甲減乙比乙多（或少幾分之幾）或（百分之幾）。關(guān)系式（甲數(shù)減乙數(shù)）/乙數(shù)或（甲數(shù)減乙數(shù)）/甲數(shù)。

已知一個(gè)數(shù)的幾分之幾（或百分之幾 ) ,求這個(gè)數(shù)。

特征：已知一個(gè)實(shí)際數(shù)量和它相對(duì)應(yīng)的分率，求單位“1”的量。

解題關(guān)鍵：準(zhǔn)確判斷單位“1”的量把單位“1”的量看成x根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義列方程，或者根據(jù)分?jǐn)?shù)除法的意義列算式，但必須找準(zhǔn)和分率相對(duì)應(yīng)的已知實(shí)際

數(shù)量。

4、出勤率

發(fā)芽率=發(fā)芽種子數(shù)/試驗(yàn)種子數(shù)×100%

小麥的出粉率= 面粉的重量/小麥的重量×100%

產(chǎn)品的合格率=合格的產(chǎn)品數(shù)/產(chǎn)品總數(shù)×100%

職工的出勤率=實(shí)際出勤人數(shù)/應(yīng)出勤人數(shù)×100%

5、工程問(wèn)題：

是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的特例，它與整數(shù)的工作問(wèn)題有著密切的聯(lián)系。它是探討工作總量、工作效率和工作時(shí)間三個(gè)數(shù)量之間相互關(guān)系的一種應(yīng)用題。

解題關(guān)鍵：把工作總量看作單位“1”，工作效率就是工作時(shí)間的倒數(shù)，然后根據(jù)題目的具體情況，靈活運(yùn)用公式。

數(shù)量關(guān)系式：

工作總量=工作效率×工作時(shí)間

工作效率=工作總量÷工作時(shí)間

工作時(shí)間=工作總量÷工作效率

工作總量÷工作效率和=合作時(shí)間

6、納稅

納稅就是把根據(jù)國(guó)家各種稅法的有關(guān)規(guī)定，按照一定的比率把集體或個(gè)人收入的一部分繳納給國(guó)家。

繳納的稅款叫應(yīng)納稅款。

應(yīng)納稅額與各種收入的（銷售額、營(yíng)業(yè)額、應(yīng)納稅所得額 ……）的比率叫做稅率。

7、利息

存入銀行的錢(qián)叫做要本金。

取款時(shí)銀行多支付的錢(qián)叫做利息。

利息與本金的比值叫做利率。

利息=本金×利率×?xí)r間

常用的數(shù)量關(guān)系式

1、每份數(shù)×份數(shù)＝總數(shù) 總數(shù)÷每份數(shù)＝份數(shù) 總數(shù)÷份數(shù)＝每份數(shù)

2、1倍數(shù)×倍數(shù)＝幾倍數(shù) 幾倍數(shù)÷1倍數(shù)＝倍數(shù) 幾倍數(shù)÷倍數(shù)＝1倍數(shù)

3、速度×?xí)r間＝路程 路程÷速度＝時(shí)間 路程÷時(shí)間＝速度

4、單價(jià)×數(shù)量＝總價(jià) 總價(jià)÷單價(jià)＝數(shù)量 總價(jià)÷數(shù)量＝單價(jià)

5、工作效率×工作時(shí)間＝工作總量 工作總量÷工作效率＝工作時(shí)間 工作總量÷工作時(shí)間＝工作效率

6、加數(shù)＋加數(shù)＝和 和－一個(gè)加數(shù)＝另一個(gè)加數(shù)

7、被減數(shù)－減數(shù)＝差 被減數(shù)－差＝減數(shù) 差＋減數(shù)＝被減數(shù)

8、因數(shù)×因數(shù)＝積 積÷一個(gè)因數(shù)＝另一個(gè)因數(shù)

9、被除數(shù)÷除數(shù)＝商 被除數(shù)÷商＝除數(shù) 商×除數(shù)＝被除數(shù)

10、總數(shù)÷總份數(shù)＝平均數(shù)

11、和差問(wèn)題的公式

(和＋差)÷2＝大數(shù) (和－差)÷2＝小數(shù)

12、和倍問(wèn)題

和÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù) (或者 和－小數(shù)＝大數(shù))

13、差倍問(wèn)題

差÷(倍數(shù)－1)＝小數(shù) 小數(shù)×倍數(shù)＝大數(shù) (或 小數(shù)＋差＝大數(shù))

14、相遇問(wèn)題

相遇路程＝速度和×相遇時(shí)間

相遇時(shí)間＝相遇路程÷速度和

速度和＝相遇路程÷相遇時(shí)間

15、濃度問(wèn)題

溶質(zhì)的重量＋溶劑的重量＝溶液的重量

溶質(zhì)的重量÷溶液的重量×100%＝濃度

溶液的重量×濃度＝溶質(zhì)的重量

溶質(zhì)的重量÷濃度＝溶液的重量

16、利潤(rùn)與折扣問(wèn)題

利潤(rùn)＝售出價(jià)－成本

利潤(rùn)率＝利潤(rùn)÷成本×100%＝(售出價(jià)÷成本－1)×100%

漲跌金額＝本金×漲跌百分比

利息＝本金×利率×?xí)r間

稅后利息＝本金×利率×?xí)r間×(1－20%)

第二章 度量衡

一、概述

1、事物的多少、長(zhǎng)短、大小、輕重、快慢等，這些可以測(cè)定的客觀事物的特征叫做量。把一個(gè)要測(cè)定的量同一個(gè)作為標(biāo)準(zhǔn)的量相比較叫做計(jì)量。用來(lái)作為計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的量叫做計(jì)量單位。

2、數(shù)+單位名稱=名數(shù)

只帶有一個(gè)單位名稱的叫做單名數(shù)，如：5小時(shí)， 3千克。

帶有兩個(gè)或兩個(gè)以上單位名稱的叫做復(fù)名數(shù)，如：5小時(shí)6分，3千克500克。

56平方分米=)平方米 就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成單名數(shù) 。

560平方分米=(5)平方米(60平方分米) 就是單名數(shù)轉(zhuǎn)化成復(fù)名數(shù)的例子。

3、高級(jí)單位與低級(jí)單位是相對(duì)的.比如,"米"相對(duì)于分米,就是高級(jí)單位,相對(duì)于千米就是低級(jí)單位.

二、長(zhǎng)度

1、什么是長(zhǎng)度

長(zhǎng)度是一維空間的度量。

2、長(zhǎng)度常用單位

* 公里(km) * 米(m) * 分米(dm) * 厘米(cm) * 毫米(mm) * 微米(um)

3、單位之間的換算

* 1毫米 ＝1000微米 * 1厘米 ＝10 毫米 * 1分米 ＝10 厘米 * 1米 ＝1000 毫米 * 1千米＝1000 米

三、面積

1、什么是面積

面積，就是物體所占平面的大小。對(duì)立體物體的表面的多少的測(cè)量一般稱表面積。

2、常用的面積單位

* 平方毫米 * 平方厘米 * 平方分米 * 平方米 * 平方千米

3、面積單位的換算

* 1平方厘米 ＝100 平方毫米 * 1平方分米=100平方厘米 * 1平方米 ＝100 平方分米 * 1公傾 ＝10000 平方米 * 1平方公里 ＝100 公頃

四、體積和容積

1、什么是體積、容積

① 體積，就是物體所占空間的大小。

② 容積，箱子、油桶、倉(cāng)庫(kù)等所能容納物體的體積，通常叫做它們的容積。

2、常用單位

① 體積單位：* 立方米 * 立方分米 * 立方厘米

② 容積單位：* 升 * 毫升

3、單位換算

① 體積單位

* 1立方米=1000立方分米 * 1立方分米=1000立方厘米

① 容積單位

* 1升=1000毫升 * 1升=1立方米 * 1毫升=1立方厘米

五、質(zhì)量

1、什么是質(zhì)量 質(zhì)量，就是表示表示物體有多重。

2、常用單位 * 噸 t * 千克 kg * 克 g

3、常用換算 * 一噸=1000千克 * 1千克=1000克

六、時(shí)間

1、什么是時(shí)間 是指有起點(diǎn)和終點(diǎn)的一段時(shí)間

2、常用單位 世紀(jì)、 年 、 月 、 日 、 時(shí) 、 分、 秒

3、單位換算

* 1世紀(jì)=100年（公元1年—100年是第一世紀(jì)，公元1901—2000是第二十世紀(jì)）

* 平年一年365天，閏年一年366天。

* 1年12個(gè)月（一、三、五、七、八、十、十二是大月，大月有31 天 ； 四、六、九、十一是小月小月，小月有30天；平年2月有28天 閏年2月有29天）

*閏年年份是4的倍數(shù)，整百年份須是400的倍數(shù)。

* 1天= 24小時(shí) 1小時(shí)=60分 一分=60秒

七、貨幣

1、什么是貨幣

貨幣是充當(dāng)一切商品的等價(jià)物的特殊商品。貨幣是價(jià)值的一般代表，可以購(gòu)買(mǎi)任何別的商品。

2、常用單位 * 元 * 角 * 分

3、單位換算 * 1元=10角 * 1角=10分

常用單位換算

1、長(zhǎng)度單位換算

1千米=1000米 1米=10分米 1分米=10厘米 1米=100厘米 1厘米=10毫米

2、面積單位換算

1平方千米=100公頃 1公頃=10000平方米 1平方米=100平方分米

1平方分米=100平方厘米 1平方厘米=100平方毫米

3、體(容)積單位換算

1立方米=1000立方分米 1立方分米=1000立方厘米 1立方分米=1升

1立方厘米=1毫升 1立方米=1000升

4、重量單位換算

1噸=1000 千克 1千克=1000克 1千克=1公斤

5、人民幣單位換算

1元=10角 1角=10分 1元=100分

6、時(shí)間單位換算

1世紀(jì)=100年 1年=12月 大月(31天)有:1\3\5\7\8\10\12月 小月(30天)的有:4\6\9\11月

平年2月28天, 閏年2月29天 平年全年365天, 閏年全年366天 1日=24小時(shí)

1時(shí)=60分 1分=60秒 1時(shí)=3600秒

第三章 代數(shù)初步知識(shí)

一、用字母表示數(shù)

1、用字母表示數(shù)的意義和作用

用字母表示數(shù)，可以把數(shù)量關(guān)系簡(jiǎn)明的表達(dá)出來(lái)，同時(shí)也可以表示運(yùn)算的結(jié)果。

用字母表示數(shù)是代數(shù)的基本特點(diǎn)。既簡(jiǎn)單明了，又能表達(dá)數(shù)量關(guān)系的一般規(guī)律。

2、用字母表示常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系、運(yùn)算定律和性質(zhì)、幾何形體的計(jì)算公式

⑴ 常見(jiàn)的數(shù)量關(guān)系

① 路程用s表示，速度v用表示，時(shí)間用t表示，三者之間的關(guān)系：

s=vt v=s/t t=s/v

② 總價(jià)用a表示，單價(jià)用b表示，數(shù)量用c表示，三者之間的關(guān)系:

a=bc b=a/c c=a/b

⑵ 運(yùn)算定律和性質(zhì)

加法交換律：a+b=b+a

加法結(jié)合律：（a+b)+c=a+(b+c)

乘法交換律：ab=ba

乘法結(jié)合律：（ab)c=a(bc)

乘法分配律：（a+b)c=ac+bc

減法的性質(zhì)：a-(b+c) =a-b-c

⑶ 用字母表示幾何形體的公式

① 長(zhǎng)方形的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=2(a+b) s=ab

② 正方形的邊長(zhǎng)a用表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=4a s=a2

③ 平行四邊形的底a用表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah

④ 三角形的底用a表示，高用h表示，面積用s表示。

s=ah/2

⑤ 梯形的上底用a表示，下底b用表示，高用h表示，中位線用m表示，面積用s表示。

s=(a+b)h/2 s=mh

⑥ 圓的半徑用r表示，直徑用d表示，周長(zhǎng)用c表示，面積用s表示。

c=∏d=2∏r s=∏ r2

⑦ 扇形的半徑用r表示，n表示圓心角的度數(shù)，面積用s表示。

s=∏ nr2/360

⑧ 長(zhǎng)方體的長(zhǎng)用a表示，寬用b表示，高用h表示，表面積用s表示，體積用v表示。

v=sh s=2(ab+ah+bh) v=abh

⑨ 正方體的棱長(zhǎng)用a表示，底面周長(zhǎng)c用表示，底面積用s表示， 體積用v表示.

s=6a2 v=a3

⑩ 圓柱的高用h表示，底面周長(zhǎng)用c表示，底面積用s表示， 體積用v表示.

s側(cè)=ch

s表=s側(cè)+2s底 v=sh

? 圓錐的高用h表示，底面積用s表示， 體積用v表示.

v=sh/3

3、用字母表示數(shù)的寫(xiě)法

① 數(shù)字和字母、字母和字母相乘時(shí)，乘號(hào)可以記作“.”，或者省略不寫(xiě)；數(shù)與數(shù)相乘，乘號(hào)不能省略。

② 當(dāng)“1”與任何字母相乘時(shí)，“1”省略不寫(xiě)。

③ 數(shù)字和字母相乘時(shí)，將數(shù)字寫(xiě)在字母前面。

④ 在一個(gè)問(wèn)題中，同一個(gè)字母表示同一個(gè)量，不同的量用不同的字母表示。

⑤ 用含有字母的式子表示問(wèn)題的答案時(shí)，除數(shù)一般寫(xiě)成分母，如果式子中有加號(hào)或者減號(hào)，要先用括號(hào)把含字母的式子括起來(lái)，再在括號(hào)后面寫(xiě)上單位的名稱。

4、將數(shù)值代入式子求值

① 把具體的數(shù)代入式子求值時(shí)，要注意書(shū)寫(xiě)格式：先寫(xiě)出字母等于幾，然后寫(xiě)出原式，再把數(shù)代入式子求值。字母表示的是數(shù)，后面不寫(xiě)單位名稱。

② 同一個(gè)式子，式子中所含字母取不同的數(shù)值，那么所求出的式子的值也不相同。

二、簡(jiǎn)易方程

1、等式：表示相等關(guān)系的式子叫等式。

2、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

判斷一個(gè)式子是不是方程應(yīng)具備兩個(gè)條件：一是含有未知數(shù)；二是等式。所以，方程一定是等式，但等式不一定是方程。

方程和算術(shù)式不同。算術(shù)式是一個(gè)式子，它由運(yùn)算符號(hào)和已知數(shù)組成，它表示未知數(shù)。方程是一個(gè)等式，在方程里的未知數(shù)可以參加運(yùn)算，并且只有當(dāng)未知數(shù)為特定的數(shù)值時(shí)，方程才成立 。

3、方程的解：使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做方程的解。

4、解方程 ：求方程的解的過(guò)程叫做解方程。

5、解方程的方法

⑴ 直接運(yùn)用四則運(yùn)算中各部分之間的關(guān)系去解。如x-8=12

加數(shù)+加數(shù)=和 一個(gè)加數(shù)=和－另一個(gè)加數(shù)

被減數(shù)－減數(shù)=差 減數(shù)=被減數(shù)－差 被減數(shù)=差＋減數(shù)

被乘數(shù)×乘數(shù)=積 一個(gè)因數(shù)=積÷另一個(gè)因數(shù)

被除數(shù)÷除數(shù)=商 除數(shù)=被除數(shù)÷商 被除數(shù)=除數(shù)×商

⑵ 先把含有未知數(shù)x的項(xiàng)看作一個(gè)數(shù)，然后再解。如3x+20=41，先把3x看作一個(gè)數(shù)，然后再解。

⑶ 按四則運(yùn)算順序先計(jì)算，使方程變形，然后再解。如2.5×4-x=4.2，要先求出2.5×4的積，使方程變形為10-x=4.2，然后再解。

⑷ 利用運(yùn)算定律或性質(zhì)，使方程變形，然后再解。如：2.2x＋7.8x＝20，先利用運(yùn)算定律或性質(zhì)使方程變形為（2.2＋7.8）x＝20，然后計(jì)算括號(hào)里面使方程變形為10x＝20，最后再解。

四、列方程解應(yīng)用題

在列方程解文字題時(shí)，如果題中要求的未知數(shù)已經(jīng)用字母表示，解答時(shí)就不需要寫(xiě)設(shè)，否則首先應(yīng)將所求的未知數(shù)設(shè)為x。

1、列方程解應(yīng)用題的意義

* 用方程式去解答應(yīng)用題求得應(yīng)用題的未知量的方法。

2、列方程解答應(yīng)用題的步驟

① 弄清題意，確定未知數(shù)并用x表示；

② 找出題中的數(shù)量之間的相等關(guān)系；

③ 列方程，解方程；

④ 檢查或驗(yàn)算，寫(xiě)出答案。

3、列方程解應(yīng)用題的方法

① 綜合法：先把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式，再找出它們之間的等量關(guān)系，進(jìn)而列出方程。這是從部分到整體的一種思維過(guò)程，其思考方向是從已知到未知。

② 分析法：先找出等量關(guān)系，再根據(jù)具體建立等量關(guān)系的需要，把應(yīng)用題中已知數(shù)（量）和所設(shè)的未知數(shù)（量）列成有關(guān)的代數(shù)式進(jìn)而列出方程。這是從整體到部分的一種思維過(guò)程，其思考方向是從未知到已知。

4、列方程解應(yīng)用題的范圍

小學(xué)范圍內(nèi)常用方程解的應(yīng)用題：

a一般應(yīng)用題；

b和倍、差倍問(wèn)題；

c幾何形體的周長(zhǎng)、面積、體積計(jì)算；

d 分?jǐn)?shù)、百分?jǐn)?shù)應(yīng)用題；

e 比和比例應(yīng)用題。

五、比和比例

1、比的意義和性質(zhì)

⑴ 比的意義

兩個(gè)數(shù)相除又叫做兩個(gè)數(shù)的比。

“：”是比號(hào)，讀作“比”。比號(hào)前面的數(shù)叫做比的前項(xiàng)，比號(hào)后面的數(shù)叫做比的后項(xiàng)。比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)所得的商，叫做比值。

同除法比較，比的前項(xiàng)相當(dāng)于被除數(shù)，后項(xiàng)相當(dāng)于除數(shù)，比值相當(dāng)于商。

比值通常用分?jǐn)?shù)表示，也可以用小數(shù)表示，有時(shí)也可能是整數(shù)。

比的后項(xiàng)不能是零。

根據(jù)分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，可知比的前項(xiàng)相當(dāng)于分子，后項(xiàng)相當(dāng)于分母，比值相當(dāng)于分?jǐn)?shù)值。

⑵ 比的性質(zhì)

比的前項(xiàng)和后項(xiàng)同時(shí)乘上或者除以相同的數(shù)（0除外），比值不變，這叫做比的基本性質(zhì)。

⑶ 求比值和化簡(jiǎn)比

求比值的方法：用比的前項(xiàng)除以后項(xiàng)，它的結(jié)果是一個(gè)數(shù)值可以是整數(shù)，也可以是小數(shù)或分?jǐn)?shù)。

根據(jù)比的基本性質(zhì)可以把比化成最簡(jiǎn)單的整數(shù)比。它的結(jié)果必須是一個(gè)最簡(jiǎn)比，即前、后項(xiàng)是互質(zhì)的數(shù)。

⑷ 比例尺

圖上距離：實(shí)際距離=比例尺

要求會(huì)求比例尺；已知圖上距離和比例尺求實(shí)際距離；已知實(shí)際距離和比例尺求圖上距離。

線段比例尺：在圖上附有一條注有數(shù)目的線段，用來(lái)表示和地面上相對(duì)應(yīng)的實(shí)際距離。

⑸ 按比例分配

在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常需要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比來(lái)進(jìn)行分配。這種分配的方法通常叫做按比例分配。

方法：首先求出各部分占總量的幾分之幾，然后求出總數(shù)的幾分之幾是多少。

2、比例的意義和性質(zhì)

⑴ 比例的意義

表示兩個(gè)比相等的式子叫做比例。

組成比例的四個(gè)數(shù)，叫做比例的項(xiàng)。

兩端的兩項(xiàng)叫做外項(xiàng)，中間的兩項(xiàng)叫做內(nèi)項(xiàng)。

⑵ 比例的性質(zhì)

在比例里，兩個(gè)外項(xiàng)的積等于兩個(gè)兩個(gè)內(nèi)向的積。這叫做比例的基本性質(zhì)。

⑶ 解比例

根據(jù)比例的基本性質(zhì)，如果已知比例中的任何三項(xiàng)，就可以求出這個(gè)數(shù)比例中的另外一個(gè)未知項(xiàng)。求比例中的未知項(xiàng)，叫做解比例。

3、正比例和反比例

⑴ 成正比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的比值（也就是商）一定，這兩種量就叫做成正比例的量，他們的關(guān)系叫做正比例關(guān)系。

用字母表示y/x=k(一定）

⑵ 成反比例的量

兩種相關(guān)聯(lián)的量，一種量變化，另一種量也隨著變化，如果這兩種量中相對(duì)應(yīng)的兩個(gè)數(shù)的積一定，這兩種量就叫做成反比例的量，他們的關(guān)系叫做反比例關(guān)系。

用字母表示x×y=k(一定)

4、比和比例應(yīng)用題

⑴ 在工業(yè)生產(chǎn)和日常生活中，常常要把一個(gè)數(shù)量按照一定的比例來(lái)進(jìn)行分配，這種分配方法通常叫“按比例分配”。

⑵ 按比例分配的有關(guān)習(xí)題，在解答時(shí)，要善于找準(zhǔn)分配的總量和分配的比，然后把分配的比轉(zhuǎn)化成分?jǐn)?shù)或份數(shù)來(lái)進(jìn)行解答

⑶ 正、反比例應(yīng)用題的解題策略

① 審題，找出題中相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量

② 分析，判斷題中相關(guān)聯(lián)的兩個(gè)量是成正比例關(guān)系還是成反比例關(guān)系。

③ 設(shè)未知數(shù)，列比例式

④ 解比例式

⑤ 檢驗(yàn)，寫(xiě)答語(yǔ)

第四章 幾何的初步知識(shí)

一、線和角

1、線

⑴ 直線

直線沒(méi)有端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限；過(guò)一點(diǎn)可以畫(huà)無(wú)數(shù)條，過(guò)兩點(diǎn)只能畫(huà)一條直線。

⑵ 射線

射線只有一個(gè)端點(diǎn)；長(zhǎng)度無(wú)限。

⑶ 線段

線段有兩個(gè)端點(diǎn)，它是直線的一部分；長(zhǎng)度有限；兩點(diǎn)的連線中，線段為最短。

⑷ 平行線

在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。

兩條平行線之間的垂線長(zhǎng)度都相等。

⑸ 垂線

兩條直線相交成直角時(shí)，這兩條直線叫做互相垂直，其中一條直線叫做另一條直線的垂線,相交的點(diǎn)叫做垂足。

從直線外一點(diǎn)到這條直線所畫(huà)的垂線的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到直線的距離。

2、角

⑴ 從一點(diǎn)引出兩條射線，所組成的圖形叫做角。這個(gè)點(diǎn)叫做角的頂點(diǎn)，這兩條射線叫做角的邊。

⑵ 角的分類

① 銳角：小于90°的角叫做銳角。

② 直角：等于90°的角叫做直角。

③ 鈍角：大于90°而小于180°的角叫做鈍角。

④ 平角：角的兩邊成一條直線，這時(shí)所組成的角叫做平角。平角180°。

⑤ 周角：角的一邊旋轉(zhuǎn)一周，與另一邊重合。周角是360°。

二、平面圖形

1、三角形

⑴ 特征：由三條線段圍成的圖形；內(nèi)角和是180度；三角形具有穩(wěn)定性；從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)到它的對(duì)邊作一條垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高，一個(gè)三角形有三條高。

⑵ 計(jì)算公式：s=ah/2

⑶ 分類

① 按角分

A、銳角三角形 ：三個(gè)角都是銳角。

B、直角三角形 ：有一個(gè)角是直角。等腰三角形的兩個(gè)銳角各為45度，它有一條對(duì)稱軸。

C、鈍角三角形：有一個(gè)角是鈍角。

② 按邊分

A、不等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度不相等。

B、等腰三角形：有兩條邊長(zhǎng)度相等；兩個(gè)底角相等；有一條對(duì)稱軸。

C、等邊三角形：三條邊長(zhǎng)度都相等；三個(gè)內(nèi)角都是60度；有三條對(duì)稱軸。

2、四邊形

⑴ 特征：

① 四邊形是由四條線段圍成的圖形。

② 任意四邊形的內(nèi)角和是360度。

③ 只有一組對(duì)邊平行的四邊形叫梯形。

④ 兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫平行四邊形，它容易變形。長(zhǎng)方形、正方形是特殊的平行四邊形；正方形是特殊的長(zhǎng)方形。

⑵分類

① 長(zhǎng)方形

A、特征：對(duì)邊相等，4個(gè)角都是直角的四邊形。有兩條對(duì)稱軸。

B、計(jì)算公式：c=2(a+b) s=ab

② 正方形

A、特征：四條邊都相等，四個(gè)角都是直角的四邊形。有4條對(duì)稱軸。

B、計(jì)算公式：c=4a s=a2

③ 平行四邊形

A、特征：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形；相對(duì)的邊平行且相等；對(duì)角相等；相鄰的兩個(gè)角的度數(shù)之和為180度；平行四邊形容易變形。

B、計(jì)算公式：s=ah

④ 梯形

A、特征：只有一組對(duì)邊平行的四邊形；中位線等于上下底和的一半；等腰梯形有一條對(duì)稱軸。

B、計(jì)算公式：s=(a+b)h/2=mh

3、圓

⑴ 圓的認(rèn)識(shí)

圓是平面上的一種曲線圖形。

圓中心的一點(diǎn)叫做圓心。一般用字母o表示。

半徑：連接圓心和圓上任意一點(diǎn)的線段叫做半徑。一般用r表示。

在同一個(gè)圓里，有無(wú)數(shù)條半徑，每條半徑的長(zhǎng)度都相等。

通過(guò)圓心并且兩端都在圓上的線段叫做直徑。一般用d表示。

同一個(gè)圓里有無(wú)數(shù)條直徑，所有的直徑都相等。同圓或等圓的直徑都相等

同一個(gè)圓里，直徑等于兩個(gè)半徑的長(zhǎng)度，即d=2r。

圓的大小由半徑?jīng)Q定。 圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

圓心確定圓的位置，半徑確定圓的大小。

⑵ 圓的畫(huà)法

把圓規(guī)的兩腳分開(kāi)，定好兩腳間的距離（即半徑）；

把有針尖的一只腳固定在一點(diǎn)（即圓心）上；

把裝有鉛筆尖的一只腳旋轉(zhuǎn)一周，就畫(huà)出一個(gè)圓。

⑶ 圓的周長(zhǎng)

圍成圓的曲線的長(zhǎng)叫做圓的周長(zhǎng)。

把圓的周長(zhǎng)和直徑的比值叫做圓周率。用字母∏表示。

⑷ 圓的面積：圓所占平面的大小叫做圓的面積。

⑸ 計(jì)算公式：d=2r r=d/2 c=∏d c=2∏r s=∏r2

4、扇形

⑴ 扇形的認(rèn)識(shí)

一條弧和經(jīng)過(guò)這條弧兩端的兩條半徑所圍成的圖形叫做扇形。（半圓與直徑的組合也是扇形）。顯然， 它是由圓周的一部分與它所對(duì)應(yīng)的圓心角圍成。

圓上AB兩點(diǎn)之間的部分叫做弧，讀作“弧AB”。

頂點(diǎn)在圓心的角叫做圓心角。

在同一個(gè)圓中，扇形的大小與這個(gè)扇形的圓心角的大小有關(guān)。

扇形有一條對(duì)稱軸，是軸對(duì)稱圖形。

⑵ 計(jì)算公式：s=n∏r2/360

5、環(huán)形

⑴特征：由兩個(gè)半徑不相等的同心圓相減而成，有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

⑵ 計(jì)算公式：s=∏(R2-r2）

6、軸對(duì)稱圖形

⑴ 特征

① 如果一個(gè)圖形沿著一條直線對(duì)折，兩側(cè)的圖形能夠完全重合，這個(gè)圖形就是軸對(duì)稱圖形。折痕所在的這條直線叫做對(duì)稱軸。

② 線段、角、等腰三角形、長(zhǎng)方形、正方形等都是軸對(duì)稱圖形，他們的對(duì)稱軸條數(shù)不等：

正方形有4條對(duì)稱軸， 長(zhǎng)方形有2條對(duì)稱軸。

等腰三角形有2條對(duì)稱軸，等邊三角形有3條對(duì)稱軸。

等腰梯形有一條對(duì)稱軸，圓有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸。

菱形有4條對(duì)稱軸，扇形有一條對(duì)稱軸。

三、立體圖形

（一）長(zhǎng)方體

1、特征

六個(gè)面都是長(zhǎng)方形（有時(shí)有兩個(gè)相對(duì)的面是正方形）。

相對(duì)的面面積相等，12條棱相對(duì)的4條棱長(zhǎng)度相等。

有8個(gè)頂點(diǎn)。

相交于一個(gè)頂點(diǎn)的三條棱的長(zhǎng)度分別叫做長(zhǎng)、寬、高。

兩個(gè)面相交的邊叫做棱。

三條棱相交的點(diǎn)叫做頂點(diǎn)。

把長(zhǎng)方體放在桌面上，最多只能看到三個(gè)面。

長(zhǎng)方體或者正方體6個(gè)面的總面積，叫做它的表面積。

2、計(jì)算公式：s=2(ab+ah+bh) V=sh V=abh

（二）正方體

1、特征

六個(gè)面都是正方形

六個(gè)面的面積相等

12條棱，棱長(zhǎng)都相等

有8個(gè)頂點(diǎn)

正方體可以看作特殊的長(zhǎng)方體

2、計(jì)算公式：S表=6a2 v=a3

（三）圓柱

1、圓柱的認(rèn)識(shí)

圓柱的上下兩個(gè)面叫做底面。

圓柱有一個(gè)曲面叫做側(cè)面。

圓柱兩個(gè)底面之間的距離叫做高 。

進(jìn)一法：實(shí)際中，使用的材料都要比計(jì)算的結(jié)果多一些，因此，要保留數(shù)的時(shí)候，省略的位上的是4或者比4小，都要向前一位進(jìn)1。這種取近似值的方法叫做進(jìn)一法。

2、計(jì)算公式：s側(cè)=ch s表=s側(cè)+s底×2 v=sh/3

（四）圓錐

1、圓錐的認(rèn)識(shí)

圓錐的底面是個(gè)圓，圓錐的側(cè)面是個(gè)曲面。

從圓錐的頂點(diǎn)到底面圓心的距離是圓錐的高。

測(cè)量圓錐的高：先把圓錐的底面放平，用一塊平板水平地放在圓錐的頂點(diǎn)上面，豎直地量出平板和底面之間的距離。

把圓錐的側(cè)面展開(kāi)得到一個(gè)扇形。

2、計(jì)算公式：v= sh/3

（五）球

1、認(rèn)識(shí)

球的表面是一個(gè)曲面，這個(gè)曲面叫做球面。

球和圓類似，也有一個(gè)球心，用O表示。

從球心到球面上任意一點(diǎn)的線段叫做球的半徑，用r表示，每條半徑都相等。

通過(guò)球心并且兩端都在球面上的線段，叫做球的直徑，用d表示,每條直徑都相等,直徑的長(zhǎng)度等于半徑的2倍，即d=2r。

2、計(jì)算公式：d=2r

四、周長(zhǎng)和面積

1、平面圖形一周的長(zhǎng)度叫做周長(zhǎng)。

2、平面圖形或物體表面的大小叫做面積。

3、常見(jiàn)圖形的周長(zhǎng)和面積計(jì)算公式

小學(xué)數(shù)學(xué)圖形計(jì)算公式

1、正方形 （C：周長(zhǎng) S：面積 a：邊長(zhǎng)）

周長(zhǎng)＝邊長(zhǎng)×4 C=4a

面積=邊長(zhǎng)×邊長(zhǎng) S=a×a

2、正方體 （V:體積 a:棱長(zhǎng) ）

表面積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×6 S表=a×a×6

體積=棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng)×棱長(zhǎng) V=a×a×a

3、長(zhǎng)方形（ C：周長(zhǎng) S：面積 a：邊長(zhǎng)）

周長(zhǎng)=(長(zhǎng)+寬)×2 C=2(a+b)

面積=長(zhǎng)×寬 S=ab

4、長(zhǎng)方體 （V:體積 s:面積 a:長(zhǎng) b: 寬 h:高）

(1)表面積(長(zhǎng)×寬+長(zhǎng)×高+寬×高)×2 S=2(ab+ah+bh)

(2)體積=長(zhǎng)×寬×高 V=abh

5、三角形 （s：面積 a：底 h：高）

面積=底×高÷2 s=ah÷2

三角形高=面積 ×2÷底 三角形底=面積 ×2÷高

6、平行四邊形 （s：面積 a：底 h：高）

面積=底×高 s=ah

7、梯形 （s：面積 a：上底 b：下底 h：高）

面積=(上底+下底)×高÷2 s=(a+b)× h÷2

8、圓形 （S：面積 C：周長(zhǎng) л d=直徑 r=半徑）

(1)周長(zhǎng)=直徑×л=2×л×半徑 C=лd=2лr

(2)面積=半徑×半徑×л

9、圓柱體 （v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑 c:底面周長(zhǎng)）

(1)側(cè)面積=底面周長(zhǎng)×高=ch(2лr或лd)

(2)表面積=側(cè)面積+底面積×2

(3)體積=底面積×高

（4）體積＝側(cè)面積÷2×半徑

10、圓錐體 （v:體積 h:高 s：底面積 r:底面半徑）

體積=底面積×高÷3

第五章 簡(jiǎn)單的統(tǒng)計(jì)

一、統(tǒng)計(jì)表

（一）意義

* 把統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)填寫(xiě)在一定格式的表格內(nèi)，用來(lái)反映情況、說(shuō)明問(wèn)題，這樣的表格就叫做統(tǒng)計(jì)表。

（二）組成部分

* 一般分為表格外和表格內(nèi)兩部分。表格外部分包括標(biāo)的名稱，單位說(shuō)明和制表日期；表格內(nèi)部包括表頭、橫標(biāo)目、縱標(biāo)目和數(shù)據(jù)四個(gè)方面。

（三）種類

* 單式統(tǒng)計(jì)表：只含有一個(gè)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。

* 復(fù)式統(tǒng)計(jì)表：含有兩個(gè)或兩個(gè)以上統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的統(tǒng)計(jì)表。

* 百分?jǐn)?shù)統(tǒng)計(jì)表：不僅表明各統(tǒng)計(jì)項(xiàng)目的具體數(shù)量，而且表明比較量相當(dāng)于標(biāo)準(zhǔn)量的百分比的統(tǒng)計(jì)表。

（四）制作步驟

1、搜集數(shù)據(jù)

2、整理數(shù)據(jù)：

要根據(jù)制表的目的和統(tǒng)計(jì)的內(nèi)容，對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行分類。

3、設(shè)計(jì)草表：

要根據(jù)統(tǒng)計(jì)的目的和內(nèi)容設(shè)計(jì)分欄格內(nèi)容、分欄格畫(huà)法，規(guī)定橫欄、豎欄各需幾格，每格長(zhǎng)度。

4、正式制表：

把核對(duì)過(guò)的數(shù)據(jù)填入表中，并根據(jù)制表要求，用簡(jiǎn)單、明確的語(yǔ)言寫(xiě)上統(tǒng)計(jì)表的名稱和制表日期。

二、統(tǒng)計(jì)圖

（一）意義

* 用點(diǎn)線面積等來(lái)表示相關(guān)的量之間的數(shù)量關(guān)系的圖形叫做統(tǒng)計(jì)圖。

（二）分類

1、條形統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少畫(huà)成長(zhǎng)短不同的直條，然后把這些直線按照一定的順序排列起來(lái)。

優(yōu)點(diǎn)：很容易看出各種數(shù)量的多少。

注意：畫(huà)條形統(tǒng)計(jì)圖時(shí)，直條的寬窄必須相同。

取一個(gè)單位長(zhǎng)度表示數(shù)量的多少要根據(jù)具體情況而確定；

復(fù)式條形統(tǒng)計(jì)圖中表示不同項(xiàng)目的直條，要用不同的線條或顏色區(qū)別開(kāi)，并在制圖日期下面注明圖例。

制作條形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當(dāng)分配條形的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長(zhǎng)度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小畫(huà)出長(zhǎng)短不同的直條，并注明數(shù)量。

2、折線統(tǒng)計(jì)圖

用一個(gè)單位長(zhǎng)度表示一定的數(shù)量，根據(jù)數(shù)量的多少描出各點(diǎn)，然后把各點(diǎn)用線段順次連接起來(lái)。

優(yōu)點(diǎn)：不但可以表示數(shù)量的多少，而且能夠清楚地表示出數(shù)量增減變化的情況。

注意：折線統(tǒng)計(jì)圖的橫軸表示不同的年份、月份等時(shí)間時(shí)，不同時(shí)間之間的距離要根據(jù)年份或月份的間隔來(lái)確定。

制作折線統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟:

（1）根據(jù)圖紙的大小，畫(huà)出兩條互相垂直的射線。

（2）在水平射線上，適當(dāng)分配折線的位置，確定直線的寬度和間隔。

（3）在與水平射線垂直的深線上根據(jù)數(shù)據(jù)大小的具體情況，確定單位長(zhǎng)度表示多少。

（4）按照數(shù)據(jù)的大小描出各點(diǎn)，再用線段順次連接起來(lái)，并注明數(shù)量。

3、扇形統(tǒng)計(jì)圖

用整個(gè)圓的面積表示總數(shù)，用扇形面積表示各部分所占總數(shù)的百分?jǐn)?shù)。

優(yōu)點(diǎn)：很清楚地表示出各部分同總數(shù)之間的關(guān)系。

制扇形統(tǒng)計(jì)圖的一般步驟：

（1）先算出各部分?jǐn)?shù)量占總量的百分之幾。

（2）再算出表示各部分?jǐn)?shù)量的扇形的圓心角度數(shù)。

（3）取適當(dāng)?shù)陌霃疆?huà)一個(gè)圓，并按照上面算出的圓心角的度數(shù)，在圓里畫(huà)出各個(gè)扇形。

（4）在每個(gè)扇形中標(biāo)明所表示的各部分?jǐn)?shù)量名稱和所占的百分?jǐn)?shù)，并用不同顏色或條紋把各個(gè)扇形區(qū)別開(kāi)。