雙胞胎少數(shù)都成對(duì)出現(xiàn)。小于給定自然數(shù)M，M的雙胞胎小數(shù)有多少對(duì)？

(一)本文的計(jì)算方法基于孿生素?cái)?shù)猜想證明中的以下結(jié)論。

a、非1奇數(shù)有奇數(shù)，2n ^ 1兩奇數(shù)被定義為同核奇數(shù)，N是他們的共同核。

b、同核奇數(shù)只可能是三種形態(tài)：1、同核的二個(gè)奇數(shù)皆為合數(shù)。2、同核奇數(shù)中一個(gè)是合數(shù)、另一個(gè)是素?cái)?shù)。3、同核的兩個(gè)奇數(shù)都為素?cái)?shù)，稱為“同核素?cái)?shù)〞、也就是學(xué)界的孿生素?cái)?shù)。

C、根據(jù)b、中2、同核奇數(shù)中一個(gè)是合數(shù)另一個(gè)是素?cái)?shù)得出的推論：?jiǎn)误w素?cái)?shù)即學(xué)界認(rèn)為除孿生素?cái)?shù)外的所有素?cái)?shù)、所有單體素?cái)?shù)核一定存在于對(duì)應(yīng)的合數(shù)核中。進(jìn)一步得出的推論是：只要將所有的合數(shù)核去除后、則包含在合數(shù)核中的單體素?cái)?shù)核也同時(shí)去除。

d、由c推論：“同核素?cái)?shù)”即孿生素?cái)?shù)的核一定存在于所有合數(shù)核以外的非零自然數(shù)N*中，而且有無(wú)窮多個(gè)。邏輯如下：非1奇數(shù)只可能為合數(shù)、單體素?cái)?shù)、孿生素?cái)?shù)，所以奇合數(shù)核也只可能是這三種核；非零自然數(shù)N*(1、∞)中每個(gè)數(shù)均可成為奇數(shù)核、全部自然數(shù)N*不可能都是合數(shù)核、所以自然數(shù)N*中去除合數(shù)核后、其余的都是孿生素?cái)?shù)的核、（因?yàn)閱误w素?cái)?shù)的核在去除所有的合數(shù)核時(shí)也同時(shí)被去除）。一個(gè)核產(chǎn)生一對(duì)孿生素?cái)?shù)。

e、由6列完美等差數(shù)列群、可以直接推出、所有素?cái)?shù)最終形式為6n±1、孿生素?cái)?shù)當(dāng)然也存在于6n±1之中、6n±1去掉1除以2得出核為3n、即所有孿生素?cái)?shù)核一定存在于3n中。

(二)給定一個(gè)自然數(shù)M、在小于M這個(gè)數(shù)值內(nèi)有多少對(duì)孿生素?cái)?shù)呢？

例子：自然教111、小于111的孿生素?cái)?shù)有多少對(duì)？

1、111中有多少奇數(shù)核？n=(111-1)/2=55個(gè)，加強(qiáng)直觀理解、可以驗(yàn)證n=1、2、3、……55、則奇數(shù)為3、5、7……111。

2、我們知道所有非零自然數(shù)N*都可以成為奇數(shù)核，而全部自然數(shù)N實(shí)質(zhì)是由3列完美等差數(shù)列群組成：3n、3n+1、3n+2(n∈N)，分別對(duì)這三列等差數(shù)列的性質(zhì)進(jìn)行研究、可以得出：3n+1、3n+2、（n∈N*）二列無(wú)窮等差數(shù)列的每個(gè)值全部是合數(shù)核的值，(參看以前發(fā)表的孿生素?cái)?shù)猜想證明的文章)。所以只需研究3n(n∈N*)這一列等差數(shù)列、若能把3n這列奇數(shù)核等差數(shù)列中所有的合數(shù)核找出來(lái)、那么剩下的就必然是孿生素?cái)?shù)的核、一個(gè)核值一對(duì)孿生素?cái)?shù)。

3、3n中肯定不存在3n+1和3n+2的值、但是存在其它的合數(shù)核。3n=5d+2、n=(5d+2)/3、n有整數(shù)解必須d=3t+2、得n=5t+4（t∈N、即t可以等于0）；在限定的55個(gè)奇數(shù)核范圍內(nèi)、3n最多只有18個(gè)奇數(shù)核、即n=18、可見(jiàn)n=5t+4=18、t=2、即t=1時(shí)n取值在18之內(nèi)、t=2時(shí)n取值也在18之內(nèi)、考慮還有t=0也符合要求、所以在5t+4中有2+1共3個(gè)合數(shù)核。這三個(gè)合數(shù)核分別是5t+4中t=0、1、2、此時(shí)3n合數(shù)核中的n為4、9、I4。同理、3n=5d+3、當(dāng)d=3t時(shí)n有整數(shù)解、得n=5t+1(t∈N*即t≠0)、n=5t+1=18、t=3、共三個(gè)合數(shù)核。這三個(gè)3n合數(shù)核的n分別是6、11、16。問(wèn)題到此并沒(méi)有結(jié)束、因?yàn)?n中還有其它形式的合數(shù)核(具體情況請(qǐng)參閱以前已證明并發(fā)表的文章)。3n=7d+3、n有整數(shù)解則d=3t、則n=7t+1（t∈N*）.7t+1=18則d=2、即3n中7d+3形態(tài)的合數(shù)核共有2個(gè)他們3n合數(shù)核中的n分別為8、15。同理3n=7d+4、必須d=3t+2時(shí)（t∈N、即t可以為零）即n=7t+6=18、d=1、加上d=0時(shí)也在取值范圍內(nèi)所以3n合數(shù)核中的n共有二個(gè)即6、13。

4、現(xiàn)在共得到3n為合數(shù)核的n值共4組：4、9、I4；6、11、16；8、15；6、13。其中不難發(fā)現(xiàn)出現(xiàn)兩個(gè)6、舍棄一個(gè)、這是在計(jì)算5d+3和7d+4時(shí)形態(tài)合數(shù)核時(shí)重復(fù)了一個(gè)、必須舍棄。這樣最后3n中成為合數(shù)核的n就剩下9個(gè)：4、9、14、6、11、16、8、15、13。他們的3n合數(shù)核為：12、27、42、18、33、48、24、45、39。

5、最后我們得到在111這個(gè)自然數(shù)內(nèi)共有55個(gè)奇數(shù)核、但3n中n值最多只有18個(gè)(55/3=18)，而這18個(gè)中有9個(gè)是合數(shù)核、所以剩下的就是18-9=9、這9就是孿生素?cái)?shù)的對(duì)數(shù)、即不大于111這個(gè)數(shù)內(nèi)存在9對(duì)孿生素?cái)?shù)。再詳細(xì)看一看具體數(shù)字：

111這個(gè)數(shù)、它的55個(gè)奇數(shù)核內(nèi)存在18個(gè)3n值為：3、6、9、12、15、18、21、24、27、30、33、36、39、42、45、48、51、54。其中：12、27、42、18、33、48、24、45、39、共9個(gè)合數(shù)核、這9個(gè)合數(shù)為：25、55、85、35、65、95、49、51、77。

剩下的9個(gè)為孿生素?cái)?shù)核：3、6、9、15、21、30、36、51、54。這9對(duì)孿生素?cái)?shù)為：5、7；11、13；17、19；29、31；41、43；59、61；71、73；101、103；107、109。

(三)、從上例看出解題思路很簡(jiǎn)單、從1到∞所有正整數(shù)N*都是奇數(shù)核、3n+1、3n+2所有n值代入后全部是合數(shù)核、唯一要做的是從3n這個(gè)數(shù)列中找出內(nèi)藏的合數(shù)核，在M這個(gè)數(shù)確定的范圍內(nèi)把3n奇數(shù)核中的所有合數(shù)核找出來(lái)剩下的就是孿生素?cái)?shù)的核。

1、給定自然數(shù)M、算出M內(nèi)的奇數(shù)核c、c=(M-1)/2(M為奇)或c=M/2(M為偶)。

2、在3N中算出容納奇數(shù)核個(gè)數(shù)：N=c/3。（防止與下述n混淆3n換成3N）。

3、找出在3N中可能存在合數(shù)核的各個(gè)形態(tài)：下面是2n+1形態(tài)的合數(shù)核

(5n+2)、(7n+3)、(11n+5)、(13n+6)、(17n+8)、(19n+9)、(23n+11)、(29n+14)、(31n+15)、(37n+13)、……[Pi×n+(Pi-1)/2]（Pi中的i為序數(shù)下標(biāo)、P為素?cái)?shù)；n∈N*）

用3N分別與上述每個(gè)小括號(hào)表達(dá)式相等、算出3N中每個(gè)合數(shù)核數(shù)量N表達(dá)式、他們是：N=

(5t+4)、(7t+1)、(11t+9)、(13t+2)、(17t+14)、(19t+3)、(23t+19)、(29t+24)、(31t+5)、(37t+6)、……(A)

同理2n-1形態(tài)的合數(shù)核為：

(5n+3)、(7n+4)、(11n+6)、(13n+7)、(17n+9)、(19n+10)、(23n+12)、(29n+15)、(31n+16)、(37n+14)……

同理用3N分別與上述每個(gè)小括號(hào)表達(dá)式相等、算出3N中每個(gè)合數(shù)核的數(shù)量N表達(dá)式、即N=

(5t+1)、(7t+6)、(11t+2)、(13t+11)、(17t+3)、(19t+16)、(23t+4)、(29t+5)、(31t+26)、(37t+31)……(B)

關(guān)于t的取值范圍：在例中看出、在不同場(chǎng)合、t=0或t≠0。在3n=5d+2時(shí)n=(5d+2)/3、只有d=3t+2時(shí)才有整數(shù)解n=5t+4、我們知道5d+2中d的定義域是不能為零的、所以d=3t+2中t=0、d=2并不為零所以此時(shí)的t可以為0。在3n=5d+3、d=3t才有整數(shù)解n=5t+1、此時(shí)如果t=0則d=3t=0不符合d的定義域不能為零的規(guī)定、所以t≠0。這樣就決定了(A)、(B)、中只要KX+b中常數(shù)項(xiàng)b<K/2、則t≠0而b>K/2的可以t=0。

4、剩下的就是簡(jiǎn)單計(jì)算、對(duì)于較小的M、幾步計(jì)算就可111、c=(111-1)/2=55、N=c/3=18。5t+4=18、t=2、即t=1、t=2、因?yàn)?>5/2所以t=0、得到N=4、9、I4

5t+I=18、t=3即t=1、t=2、t=3代入得到N=6、11、16（1<5/2、t≠0）

7t+6=18、t=1、因?yàn)?>7/2所以t=0、得到N=6、13

7t+1=18、t=2得到N=8、15(1<7/2、t≠0)

計(jì)算得出N共10個(gè)合數(shù)核、去掉一個(gè)重復(fù)的6、實(shí)質(zhì)上只有9個(gè)合數(shù)核、孿生素?cái)?shù)核為18-9=9

后記：1859年黎曼“論小于某數(shù)的素?cái)?shù)個(gè)數(shù)”一文發(fā)表這就是著名的丌(x)的提出、為了解決此問(wèn)題推出了Zeta黎曼函數(shù)、后來(lái)數(shù)學(xué)家們得出了素?cái)?shù)定理：丌(x)～x/Inx（x→∞）1949年數(shù)學(xué)家塞爾伯格用初等方法證明了素?cái)?shù)定理。但至今世上仍沒(méi)有一個(gè)精確求解公式和具體計(jì)算途徑、可見(jiàn)這個(gè)數(shù)學(xué)問(wèn)題的復(fù)雜性、艱巨性。

今天我提出的這個(gè)方法、在計(jì)算數(shù)值較小的M時(shí)、還是十分實(shí)用的、但M值很大后、計(jì)算的時(shí)間十分長(zhǎng)、十分繁瑣、關(guān)鍵的難點(diǎn)是如何去除重復(fù)的合數(shù)核。現(xiàn)在我采用的是N值列出后進(jìn)行分辨。當(dāng)然在計(jì)算機(jī)編程如此發(fā)達(dá)的今天、通過(guò)編程還是能解決大M計(jì)算難度的、至少有這么一條途徑可以精確計(jì)算M數(shù)以內(nèi)的孿生素?cái)?shù)對(duì)數(shù)。非專業(yè)人士文章、難免差錯(cuò)、請(qǐng)多包涵、也望高手不吝賜教、斧正。