教育部辦公廳在2019年“1社1優(yōu)1科1教師”活動(dòng)方案中介紹，國(guó)家教育資源公共服務(wù)平臺(tái)陽(yáng)光課數(shù)量已達(dá)到100萬(wàn)門(mén)以上，其中選拔了1萬(wàn)門(mén)優(yōu)1優(yōu)課，納入國(guó)家平臺(tái)優(yōu)質(zhì)教育資源部，供廣大教師學(xué)習(xí)。

今天評(píng)的這節(jié)課就來(lái)自2019年度部級(jí)優(yōu)課小學(xué)數(shù)學(xué)自然排序第3號(hào)，上傳者來(lái)自山東省煙臺(tái)萊州市雙語(yǔ)學(xué)校，小學(xué)三年級(jí)數(shù)學(xué)教師尹曉英，“信息窗二（角的度量）”。

我早幾天就看過(guò)這節(jié)課，總感覺(jué)這節(jié)部級(jí)優(yōu)課有問(wèn)題，但一時(shí)還抓不住評(píng)課要點(diǎn)，就決定先先放一放醞釀一下。先評(píng)其它。今天再看課堂實(shí)錄，回想課堂細(xì)節(jié)，終于找到評(píng)課切入點(diǎn)。原來(lái)授課教師難以把握的一個(gè)問(wèn)題是“為什么非要度量角度？”通常來(lái)說(shuō)，能夠提出有效問(wèn)題來(lái)，連續(xù)追問(wèn)“為什么”才能有效進(jìn)入到數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路徑。

但是遺憾的是，由于許多一線教師不懂?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展史，忽視科學(xué)發(fā)展史。無(wú)法面對(duì)來(lái)自學(xué)生的連續(xù)提問(wèn)“為什么？”，因此在教學(xué)過(guò)程中受到很大局限性，真的是“理屈詞窮”。一線教師對(duì)一些專屬名詞術(shù)語(yǔ)等詞匯的定義無(wú)法精確把握，詞匯量及其有限。導(dǎo)致教學(xué)過(guò)程中不得不使用一些寬泛詞匯，導(dǎo)致概念模糊，知識(shí)點(diǎn)的內(nèi)涵外延等解釋不清，語(yǔ)言詞匯突兀，弄得學(xué)生一愣一愣的，丈二和尚——摸不著頭腦。

并且教師授課過(guò)程中，授課教師對(duì)知識(shí)講授不能夠完整系統(tǒng)，既缺乏科學(xué)性也缺乏故事性趣味性，課堂教學(xué)乏味。學(xué)生學(xué)習(xí)興趣極低，也因?yàn)槁?tīng)不懂，漸漸失去學(xué)習(xí)熱情，加之強(qiáng)制作業(yè)，這就是學(xué)生厭學(xué)的主要原因之一。

接下來(lái)我就來(lái)評(píng)一評(píng)這節(jié)部級(jí)優(yōu)課《角的度量》，分析一下這些問(wèn)題的成因，和具體解決方案。

部級(jí)優(yōu)課《角的度量》

老師開(kāi)課：今天，老師想帶大家去工地看一看，找一找，你能發(fā)現(xiàn)哪些數(shù)學(xué)信息？學(xué)生：我發(fā)現(xiàn)挖掘機(jī)挖掘的時(shí)候形成了一個(gè)角的。老師：你發(fā)現(xiàn)了角，上來(lái)指指角在哪？學(xué)生上來(lái)指出幾個(gè)不同（角度的）角。

評(píng)：首先，老師第一句提起工地，我就誤會(huì)成在工地能發(fā)現(xiàn)許多測(cè)量信息了。因?yàn)楣さ赜性S多需要測(cè)量的數(shù)據(jù)，比如地基基準(zhǔn)高度、地平線水平位置、建筑物的平面面積、周長(zhǎng)，地基墻面需要橫平豎直（直角）、地面坡度等。結(jié)果就只看到幾輛挖掘機(jī)。如果是單單提到角度，沒(méi)必要提示“帶著學(xué)生”“去工地”，只出現(xiàn)挖掘機(jī)圖片就好。

其次，老師提到的“數(shù)學(xué)信息”是個(gè)什么概念？除了看到“角度”，可不可以有其它理解？這節(jié)課是小學(xué)三年級(jí)下冊(cè)。比如有幾輛挖掘機(jī)？挖掘機(jī)的重量、質(zhì)量？挖掘機(jī)一鏟挖下去能裝幾噸？“數(shù)學(xué)信息”這個(gè)概念，極容易引起誤會(huì)。課堂實(shí)錄中學(xué)生只回答“看到了角”，而不提其它“數(shù)學(xué)信息”。不知何故？是不是事先編排好的展示課不讓說(shuō)其它？

最后，由于授課教師不懂?dāng)?shù)學(xué)發(fā)展史，對(duì)“角”的發(fā)現(xiàn)、“角度”的產(chǎn)生、“度量”的作用、目的等通通不了解，導(dǎo)致授課話題匱乏。授課教師不能使用專屬名詞術(shù)語(yǔ)解釋一些基本問(wèn)題。例如：角度是多少度？是誰(shuí)發(fā)明的？為什么必須要度量角度？所以老師只能使用“角度”（有局限性的）、“數(shù)學(xué)信息”（一個(gè)寬泛的大概念詞）作為授課和對(duì)話詞匯（語(yǔ)言）。

這個(gè)問(wèn)題不大不小。說(shuō)問(wèn)題大吧，學(xué)生確實(shí)只局限在“角度”的“數(shù)學(xué)信息”作答。說(shuō)問(wèn)題小吧，可是我見(jiàn)過(guò)太多“跑題”的課堂（不分學(xué)科）。教師授課如果都“跑題”，那么課文本身的中心思想就難以把握了。再說(shuō)什么“課程目標(biāo)”都是通通在扯淡。典型的說(shuō)到做不到。

這節(jié)課如果不是演練過(guò)的示范課課堂（這個(gè)很容易猜到吧？），學(xué)生極容易想起來(lái)其它“數(shù)學(xué)信息”，互動(dòng)話題就跑題了！出現(xiàn)這樣問(wèn)題肯定就怨老師，怨不得學(xué)生。不論教育部、各級(jí)教育局等，亦或是專家、名師、校長(zhǎng)、教研員，都鼓勵(lì)“活躍課堂”，鼓勵(lì)“把課堂還給學(xué)生”，可是授課教師哪里敢？就因?yàn)槭谡n教師備課不足，無(wú)法提出緊緊抓住課程核心的、系列的有連貫性的有效問(wèn)題，所以授課教師就牢牢把握住“課堂的話語(yǔ)權(quán)”，不敢讓學(xué)生開(kāi)放地提問(wèn)題和抒發(fā)意見(jiàn)。授課教師有權(quán)力并且可以隨時(shí)打斷學(xué)生話頭，學(xué)生答錯(cuò)就不理，學(xué)生答對(duì)就肯定，把學(xué)生回答問(wèn)題的方向引入到自己熟悉的方向上來(lái)。

那么怎樣做到“把課堂還給學(xué)生”？怎樣設(shè)計(jì)緊緊抓住課程核心的、系列有連貫性的有效問(wèn)題？在接下來(lái)的評(píng)課中，等我找到恰當(dāng)?shù)南嗤拍畹牟考?jí)優(yōu)課，我會(huì)在評(píng)課文章中演示幾節(jié)完整的導(dǎo)學(xué)課過(guò)程給你們看。既需要牢牢把握住話題方向，又要做到開(kāi)放討論，同時(shí)學(xué)生對(duì)話題的興趣、難度等不做抵觸，積極參與討論。需要你們有耐心，等我的案例展示。

老師帶學(xué)生到工地看看

接下來(lái)老師繼續(xù)：剛才大家識(shí)別出這么多角，回憶一下，我們都學(xué)過(guò)關(guān)于角的哪些知識(shí)？學(xué)生：角的分類，有鈍角、銳角、直角；學(xué)生：角的組成，角是由一個(gè)頂點(diǎn)，和兩條邊組成；學(xué)生：角是由一個(gè)點(diǎn)和兩條射線組成的。幾名學(xué)生分別發(fā)言，說(shuō)出了全部的角的特征。

老師：好，現(xiàn)在就讓我們以胳膊肘為頂點(diǎn)，以大臂和小臂為角的兩邊，我們一起來(lái)模擬這些角的張口情況，好不好？接下來(lái)老師手指鈍角、銳角，學(xué)生模擬動(dòng)作。

老師：通過(guò)模擬角的張口情況，我們體會(huì)到了這些角的大小。那么這些角到底有多大？總不能每次都這樣模擬吧？太費(fèi)事了對(duì)不對(duì)？那你有什么好方法，能知道這些角到底有多大呢？（老師在這里想引出“角的度量”）

老師用手臂模擬挖掘機(jī)角度

課講到這里，我總感覺(jué)哪里不對(duì)勁。是哪里不對(duì)勁呢？我聽(tīng)過(guò)許多課例，老師總是直接進(jìn)入主題，并不交代原因、背景、由頭等。美其名曰“開(kāi)門(mén)見(jiàn)山”。這節(jié)課算是好的，前期做了一些鋪墊，雖然，終于講到需要測(cè)量角度了。但是可惜的是，老師只是給出一個(gè)模糊的理由——總不能每次都這樣模擬吧？太費(fèi)事了！——原來(lái)測(cè)量角度的目的是嫌“模擬起來(lái)費(fèi)事”??？這個(gè)理由太過(guò)牽強(qiáng)?。?！

我前面評(píng)過(guò)的部級(jí)優(yōu)課，老師詞窮、語(yǔ)言匱乏、詞不能達(dá)意，在一線教學(xué)過(guò)程中是常態(tài)。詞窮的完整成語(yǔ)是“理屈詞窮”。老師在交代“為什么需要度量？”這個(gè)問(wèn)題上，面對(duì)學(xué)生缺乏有說(shuō)服力的道理。所以才編撰出一系列的所謂“融入生活體驗(yàn)”（展示挖掘機(jī)）、“與學(xué)生互動(dòng)課”（手臂模擬角度）的課堂活動(dòng)來(lái)。

評(píng)課到這里，肯定有讀者會(huì)說(shuō)，謝老師你太嚴(yán)厲了！你這是在“吹毛求疵”，不能這樣要求小學(xué)老師。我其實(shí)特別想舉幾個(gè)例子說(shuō)明一下我這樣“嚴(yán)厲”評(píng)課的理由。前面說(shuō)過(guò)，這是一節(jié)部級(jí)優(yōu)課，教育部辦公廳明確指出，平臺(tái)曬課數(shù)量已經(jīng)達(dá)到100萬(wàn)堂以上，從中遴選1萬(wàn)堂優(yōu)課納入國(guó)家平臺(tái)優(yōu)質(zhì)教育資源庫(kù)，供廣大教師學(xué)習(xí)借鑒。這是萬(wàn)里挑一的國(guó)家級(jí)優(yōu)課，尤其經(jīng)過(guò)縣級(jí)、市級(jí)、省級(jí)層層選拔，供全國(guó)教師學(xué)習(xí)借鑒。

接下來(lái)我想跟各位讀者探討一些有關(guān)數(shù)學(xué)教育的專業(yè)問(wèn)題。有哪一位數(shù)學(xué)老師知道“π”的取值有什么意義？初中數(shù)學(xué)專門(mén)有一節(jié)課“有理數(shù)的意義”，那么有理數(shù)到底有什么意義？高中數(shù)學(xué)2017年新課標(biāo)規(guī)定函數(shù)占42課時(shí)，那么函數(shù)是做什么用的？這樣簡(jiǎn)單的幾個(gè)問(wèn)題，有哪一位數(shù)學(xué)老師能回答出來(lái)？并且你是怎么給學(xué)生講解清楚的？

我已經(jīng)全國(guó)范圍內(nèi)講座300場(chǎng)，聽(tīng)過(guò)我講座的校長(zhǎng)老師教研員約有10萬(wàn)人。我曾經(jīng)一邊講座一邊調(diào)研和確認(rèn)小、初、高各學(xué)段數(shù)學(xué)老師，可以說(shuō)能把這幾個(gè)問(wèn)題講清楚的萬(wàn)中選一。能把其中一個(gè)問(wèn)題講清楚的也只有千分之幾。難道不應(yīng)該全國(guó)所有數(shù)學(xué)老師都需要會(huì)講并且能講清楚嗎？可惜的是，現(xiàn)實(shí)當(dāng)中沒(méi)有。關(guān)于數(shù)學(xué)教學(xué)的問(wèn)題，還有許多，就我知道的問(wèn)題，后面評(píng)課中我會(huì)逐一指出。

也許你會(huì)說(shuō)，學(xué)生知道這些有什么用？學(xué)生會(huì)算題能考高分就行了。那么我繼續(xù)追問(wèn)，在中國(guó)，有多少數(shù)理化高分的學(xué)生，在高等教育階段對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科失去了繼續(xù)學(xué)習(xí)和研究的興趣？他們學(xué)會(huì)了數(shù)學(xué)中那些“為什么”了嗎？小學(xué)沒(méi)學(xué)到，初中沒(méi)人教，高中老師也沒(méi)講，到了大學(xué)階段，大學(xué)老師問(wèn)：難道小學(xué)、初中、高中老師沒(méi)給你們講嗎？有哪一位能老師告訴我，前面提到的這些數(shù)學(xué)問(wèn)題“為什么？”，到底應(yīng)該在哪個(gè)學(xué)段教？前面評(píng)課中，很多老師留言跟帖給我說(shuō)數(shù)學(xué)課標(biāo)如何如何，我想說(shuō)的是，會(huì)背數(shù)學(xué)課標(biāo)，不等于你教學(xué)中能做到。

我前面評(píng)過(guò)的幾節(jié)“部級(jí)優(yōu)課”都帶有肉眼可見(jiàn)的硬傷，老師講課各種跑題、缺乏系統(tǒng)知識(shí)、講故事舉例子打比方概念混淆、不知道梳理課文背景信息、就事論事不懂得升級(jí)概念，甚至地理知識(shí)錯(cuò)誤、文史知識(shí)不足，語(yǔ)言匱乏詞不達(dá)意。本節(jié)部級(jí)優(yōu)課也是同樣的毛病“理屈詞窮”，授課教師根本講不清楚為什么要“度量角度”。這樣的課例怎能達(dá)到教育部辦公廳要求的“供廣大教師學(xué)習(xí)借鑒”高度？

現(xiàn)在回到本節(jié)課的評(píng)課上，這節(jié)課最大的問(wèn)題就在于，授課教師說(shuō)不清楚為什么要“度量角度”！那么為什么必須要“度量角度”呢？接下來(lái)我就把簡(jiǎn)單的說(shuō)課導(dǎo)課過(guò)程給大家過(guò)一下。古人使用的犁杖是可以估算角度的，當(dāng)然也需要減少偏差。因?yàn)槔珑f的角度大了，耕地淺。犁鏵的角度小了，耕地又深了。而且費(fèi)力。

古時(shí)犁杖結(jié)構(gòu)圖

下圖是木工的榫卯結(jié)構(gòu)，就需要精確測(cè)量角度。如果角度不夠精確，就做不到嚴(yán)絲合縫不能吻合，結(jié)構(gòu)不穩(wěn)定。甚至榫卯角度錯(cuò)位就不能插入結(jié)合。工人蓋樓房，要求與地平面保持90°垂直，如果樓蓋歪了，重心偏移就會(huì)倒樓。自行車(chē)車(chē)把是橫向裝置，與自行車(chē)順行的角度保持90°垂直，如果自行車(chē)車(chē)把歪了，騎車(chē)不能把握前進(jìn)的方向，自行車(chē)不走直線，就容易摔倒。

木工的榫卯結(jié)構(gòu)

現(xiàn)代社會(huì)科學(xué)技術(shù)要求的精密程度已經(jīng)使用微米、納米等計(jì)量單位來(lái)描述。1 納米=0.0000001 厘米。網(wǎng)上也能找到許多精密得令人嘆為觀止的機(jī)械裝置。下圖中鉆頭的角度要求完全垂直于加工零部件截面（我不是機(jī)械專業(yè)，不了解角度的精度數(shù)值單位，有懂的網(wǎng)友請(qǐng)留言）。貿(mào)易戰(zhàn)導(dǎo)致我國(guó)需要自主研發(fā)芯片，可是卻極度缺乏芯片研發(fā)人才。就目前我國(guó)應(yīng)試教育體制下，這樣教學(xué)水準(zhǔn)，怎能培養(yǎng)出未來(lái)合格的芯片研發(fā)人才？盡管我們?nèi)丝诨鶖?shù)龐大，但是基礎(chǔ)教育中一線教師的“思想”陳舊——教學(xué)過(guò)程中完全不求甚解——已經(jīng)遠(yuǎn)遠(yuǎn)跟不上信息技術(shù)與科技時(shí)代的發(fā)展潮流。

精密儀器加工

既然需要精確測(cè)量角度，那么角度是怎樣確定和規(guī)定的？

古蘇美爾人（約公元前3000年）計(jì)算太陽(yáng)環(huán)繞地球的軌跡用了360天完成,所以他們把圓分成360個(gè)等份。古蘇美爾人在計(jì)算數(shù)字時(shí)把5個(gè)手指和一年中的12個(gè)月份結(jié)合起來(lái)，5乘以12等于60，因此產(chǎn)生了六十進(jìn)位制。

古巴比倫人（約公元前2000年）也采用60進(jìn)制的數(shù)學(xué)系統(tǒng)。他們應(yīng)用該系統(tǒng)將角分成60度，6個(gè)這樣的角組合在一起變成360度。與古蘇美爾人的想法大致相同。

六十進(jìn)制尤其受到天文學(xué)家的寵愛(ài)。由于觀察到的星都非常遙遠(yuǎn)，因此角度的計(jì)算必須異常精確，否則就會(huì)導(dǎo)致較大誤差。古希臘人從古巴比倫人那里引入了六十進(jìn)制，經(jīng)過(guò)大力提倡，六十進(jìn)制在天文學(xué)研究中逐漸占據(jù)了統(tǒng)治地位。

大約公元前2000年，我國(guó)的古代的科學(xué)家就利用日影進(jìn)行測(cè)量，開(kāi)始計(jì)算一天有多長(zhǎng)，影子繞著它的一個(gè)端點(diǎn)在平面內(nèi)旋轉(zhuǎn)一周，就可以計(jì)算出一天的時(shí)長(zhǎng)來(lái)，這里的周就是圓的意思。隨后通過(guò)不斷累積的資料和數(shù)據(jù)，元朝的郭守敬采用了祖沖之的做法，6個(gè)冬至點(diǎn)數(shù)據(jù)，得出回歸年為365.2425天的結(jié)論，現(xiàn)代測(cè)量值則為365.2422天。我國(guó)古代科學(xué)家也得出與360°的相近值。

日冕

后面的故事發(fā)展到，由畢達(dá)哥拉斯（古希臘數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家，約公元前580-公元前500年）提出地球是圓的，由此引出地球的經(jīng)度、緯度問(wèn)題。地球經(jīng)度合計(jì)為360°，地球緯度合計(jì)為180°。十四世紀(jì)初歐洲發(fā)明了機(jī)械鐘計(jì)時(shí)裝置，繼續(xù)沿用60進(jìn)制。鐘表的表盤(pán)就是一個(gè)完整的圓周，分為360刻度。鐘表的普及，逐漸發(fā)展成為人人皆知的常識(shí)性概念。

“角的度量”這節(jié)課，還應(yīng)該簡(jiǎn)單解釋“度量”一詞?！岸取弊值谋玖x為伸張兩臂量的長(zhǎng)短，引申指計(jì)量、揣測(cè)等意思?！傲俊钡囊馑际怯昧科饔?jì)算容積或長(zhǎng)度?！敖堑亩攘俊本褪菧y(cè)量角的大小有多少度。關(guān)于教學(xué)過(guò)程中的“名詞解釋”，我留在其它評(píng)課課例中詳細(xì)解讀其中必要性。

接下來(lái)回到本節(jié)部級(jí)優(yōu)課，這時(shí)候的教學(xué)階段，才走到具體怎么測(cè)量？使用什么工具測(cè)量？這一步。課堂實(shí)錄中，授課教師帶領(lǐng)學(xué)生仔細(xì)識(shí)別半圓量角器的各個(gè)部位，加上學(xué)生的各種討論，編排好的示范課已經(jīng)細(xì)致到學(xué)生能通過(guò)“研究發(fā)現(xiàn)”指出量角器每一個(gè)細(xì)節(jié)部位的學(xué)名來(lái)?；蛟S是這一段比較細(xì)致，才評(píng)為部級(jí)優(yōu)課。

但是我看到的是更長(zhǎng)遠(yuǎn)一些的考量，我國(guó)基礎(chǔ)教育中數(shù)學(xué)教育這么強(qiáng)，我聽(tīng)說(shuō)學(xué)生參加國(guó)際賽事每每拿到國(guó)際獎(jiǎng)項(xiàng)。那么我國(guó)批量出現(xiàn)了數(shù)學(xué)家嗎？我國(guó)各個(gè)研究領(lǐng)域缺乏數(shù)學(xué)人才嗎？這么多數(shù)學(xué)滿分的高考生，未來(lái)要從事研究數(shù)學(xué)學(xué)科嗎？這些問(wèn)題我沒(méi)有答案。我現(xiàn)在只知道一件事：就是在基礎(chǔ)教育階段，沒(méi)有人教授他們數(shù)學(xué)思想！

我在前一篇評(píng)課文章里，提到，數(shù)學(xué)思想，提到數(shù)學(xué)眼光，有老師留言煞有介事地提醒我，數(shù)學(xué)課標(biāo)中就有“數(shù)學(xué)眼光”，“數(shù)學(xué)思想”。好像說(shuō)到了就能做到似的！我想說(shuō)那些也只是說(shuō)說(shuō)而已，那是口頭禪，那是在喊口號(hào)，其實(shí)根本就沒(méi)做到。

在我國(guó)基礎(chǔ)教育中，真正能做到具有“數(shù)學(xué)思想”的課堂，我猜測(cè)萬(wàn)分之一都沒(méi)有。中國(guó)有1700萬(wàn)教師群體，其中高中以下約1300萬(wàn)，數(shù)學(xué)教師比例以20%計(jì)算，數(shù)學(xué)教師數(shù)量有260萬(wàn)。萬(wàn)分之一就是260人。接下來(lái)再問(wèn)一句：我國(guó)數(shù)學(xué)教育的專家、教授、研究員、名師有多少人？2000人？200人？20人？那么，你聽(tīng)誰(shuí)的課堂上講過(guò)和講清楚過(guò)π是什么意思？有理數(shù)的意義到底是什么？函數(shù)是做什么用的？

以上數(shù)據(jù)是我拋出來(lái)的問(wèn)題和胡亂猜測(cè)，只從我接觸過(guò)的課堂和培訓(xùn)調(diào)研人群出發(fā)，我單純認(rèn)為我接觸過(guò)的課堂、教師，從統(tǒng)計(jì)學(xué)意義來(lái)說(shuō)，已經(jīng)足夠取樣數(shù)據(jù)。但這不夠科學(xué)，我只能做簡(jiǎn)單定性分析，沒(méi)能夠量化。我沒(méi)有條件作出全面統(tǒng)計(jì)。今天提出問(wèn)題來(lái)，希望有條件研究的后來(lái)者，取得科學(xué)數(shù)據(jù)。去驗(yàn)證或推翻我這個(gè)說(shuō)法。