我們現(xiàn)在學(xué)習(xí)的高等數(shù)學(xué)是柯西在1821年初，經(jīng)過10名數(shù)學(xué)家，在近一個世紀的時間里，1902年勒貝格建立了測量理論，宣告完善的體系。最后，教科書的表達形式是20世紀30年代布爾巴基學(xué)派確定的。

撇開一些龐雜的理論叢林，我們抽出這個體系中關(guān)于微積分原理的部分，下面通過例3和例4來說明。

我們先介紹這個體系中最重要的一個概念——極限，它是一個確定的數(shù)a，如果有一個數(shù)的序列{xn}，隨著n的增大，xn越來越接近a，以至于當n足夠大時，序列后面的數(shù)全都落在一個以a為中心的以ε為半徑的區(qū)間之內(nèi)，我們就說這個序列的極限是a。寫成規(guī)范形式，即：

極限描述

極限定義

極限舉例

可以看出，這里所說的極限是一個數(shù)，同時把我們頭腦中的極限過程（越來越接近）用不等式的方法給予表達，而且，這種表達確實可以形象地稱為"要多近有多近"。但是，只要ε不為零，序列中的數(shù)和極限便不一定相等。這便是數(shù)學(xué)中極限的思想，它給出的是證明的方法，并沒有給出計算的方法，在實際運算過程中，我們需要憑直覺或其他方法猜出這個數(shù)，然后再證明之。

例3：現(xiàn)行體系的導(dǎo)數(shù)和微分

現(xiàn)行體系的導(dǎo)數(shù)與微分

導(dǎo)數(shù)與微分-1

導(dǎo)數(shù)與微分-2

導(dǎo)數(shù)的問題似乎解決了，那么微分是什么呢？書上說，微分ds是增量的線性部分，對于增量s，其線性部分即3t^2t，于是ds=3t^2t，然后認為微分dt就是t，于是ds=3t^2 dt。

這便是現(xiàn)行體系的微分和導(dǎo)數(shù)原理。在這里，導(dǎo)數(shù)是一個極限，微分ds是增量的線性部分，而dt就是增量t自身，它們并不要求非常小，而可以是任意的有限量，即微分不微。

數(shù)學(xué)之美

例4：現(xiàn)行體系的不定積分和定積分

對于函數(shù)s=s(t)，我們求出其導(dǎo)數(shù)v(t)和微分ds=v(t)dt，并直接稱s(t)為v(t)的一個原函數(shù)，由于s(t)+C(C為任意的一個常數(shù))的導(dǎo)數(shù)都是v(t)，于是它們都是v(t)的原函數(shù)，記作∫v(t)dt=s(t)+C。

這便是現(xiàn)行體系中的不定積分?？梢钥吹?，它并沒有具體的計算方法，只是給原函數(shù)起了一個新的名字——不定積分。多說一句，僅僅引入新的名字而沒有也沒有能力做深入的解釋，在計算上依然沿用萊布尼茨和歐拉所開創(chuàng)的方法，這是現(xiàn)行微積分體系的一個癥結(jié)。

我們求曲線v=v(t)與坐標軸所謂的面積，即所謂的定積分?，F(xiàn)行體系的方法是，

現(xiàn)行體系的不定積分與定積分

定積分-1

定積分-2

上述例3和例4反映了現(xiàn)行微積分體系的演繹思路，它相比于例1和例2所展示的演繹思路（萊布尼茨、歐拉等人的），顯得復(fù)雜而崎嶇，同時也難以讓人一眼便指出荒謬之處。但這個體系并沒有真的解決第二次數(shù)學(xué)危機，并沒有徹底解決微分是什么，到底是不是0的問題。除了給出了極限思想的數(shù)學(xué)表達，它更多的是對原有體系中概念的重新解釋和命名。我們對它的評價可以概括為，第一遮掩了微積分學(xué)科發(fā)展的根本矛盾，從而阻礙其發(fā)展；第二，由于避開直覺，核心概念形式化，導(dǎo)致整個微積分學(xué)科的支離破碎。

那么，究竟什么才是正確的微積分原理呢？