作者：川總，清華大學學士、碩士、MIT博士、青云計劃獲得者。

公眾號：川總寫量化。

1 引言

對量化投資感興趣的人大概都聽說過的 Black-Scholes 期權定價公式（又稱 Black-Scholes-Merton 公式，下稱 BS 公式）。它大概是將數(shù)學中隨機過程（stochastic process）的概念運用到實際金融產(chǎn)品中的最著名的一個例子。美國華爾街的 Quant 職位面試中更是無一例外的會問到 BS 公式及其引申出來的相關問題，足見其地位。然而黑天鵝之父納西姆·塔雷伯（Nassim Nicholas Taleb，以《黑天鵝效應》一書聞名于世）卻對它嗤之以鼻，更是寫過一篇題為 Why we have never used the Black-Scholes-Merton option pricing formula（為什么我們從來不用BS期權定價公式）來抨擊它。

誠然，BS 公式在投資實踐中能夠起到多大的作用見仁見智。但我們想說的是，BS 公式僅僅是一結果，是隨機分析（stochastic calculus）經(jīng)過嚴謹?shù)膶訉油蒲莸玫降漠a(chǎn)物。透過現(xiàn)象看本質(zhì)，它背后蘊含著強大的數(shù)學體系，使得我們可以運用隨機過程對股價、期權價格以及其他衍生品價格進行量化建模。掌握這套分析體系對于有志于在量化投資領域有所建樹的人來說十分必要。

想要摸清楚這套隨機分析體系并不容易。如果你在搜索引擎上查詢 BS 公式的推導體系，一定會看到諸如“布朗運動”、“伊藤引理”、“隨機微分方程”這些概念。它們都是這套分析體系中必不可少的組成部分，環(huán)環(huán)相扣，在隨機分析的大框架下完美的聯(lián)系在一起。熟悉這套分析框架的人可以充分的感受到這些基本模塊無縫的組合在一起所展示出來的數(shù)學的魅力。而對于不熟悉它的人來說，這之中每一個概念都可能仿佛天書一般；即便是具有高等數(shù)學知識的人，想要很快的梳理出它們之間的邏輯聯(lián)系也并不容易。

簡單的說，（標準）布朗運動是一種最簡單的連續(xù)隨機過程，它是描述證券價格隨機性的基本模型。而對于期權或其他衍生品這些金融工具，它們的價格是相關證券資產(chǎn)價格的函數(shù)。因此可以說證券價格是一個隨機過程，而衍生品價格是該隨機過程的函數(shù)。伊藤引理提供了對隨機過程的函數(shù)做微分的框架；這對于衍生品的定價意義非凡（在此之前，人們是不知道如何對隨機過程的函數(shù)做微分的）。通過伊藤引理，可以寫出金融衍生品價格的隨機微分方程，通過對其求解便可以得到衍生品價格的模型。BS 公式就是一個最簡單的例子。

鑒于隨機分析的重要性，我們決定用兩期的量化核武研究專題來介紹它。行文會力爭深入淺出，但也會包括必要的數(shù)學推導（這對理解相關概念至關重要）。

作為前篇，本文介紹布朗運動及其重要性質(zhì)，同時指出使用幾何布朗運動描述股價的合理性，最后會引出伊藤引理的最基本形式。此外，為避免將本文寫成偏數(shù)學的技術性文章，文中也花了很多篇幅揭示布朗運動的性質(zhì)對于股票投資的重要含義。

下一篇會進一步介紹伊藤引理的一般形式，并用它求解幾何布朗運動，最后推導 BS 模型以及介紹 BS 公式（注：BS 模型是一個偏微分方程，而 BS 公式是一個解析形式的表達式）。希望通過這兩篇文章的介紹，讓感興趣的讀者直觀的理解這個分析框架，并且能夠感受到各個模塊無縫地組合到一起而最終得到一個優(yōu)雅的定價公式的數(shù)學之美。

2 布朗運動的發(fā)展和數(shù)學定義

1827 年英國植物學家羅伯特 ? 布朗（Robert Brown）在使用顯微鏡觀察水中花粉微粒運動時發(fā)現(xiàn)了微粒的無規(guī)則運動，但是當時并不能從物理學角度上很好的解釋其成因。1905 年，愛因斯坦詳細解釋了布朗發(fā)現(xiàn)的這種運動：微粒的無規(guī)則運動是由水分子的撞擊形成的。從那以后，布朗運動在物理學上的發(fā)展日臻完善。

相比之下，數(shù)學上對布朗運動的描述發(fā)展的要慢一些。嚴謹?shù)亩x并描述布朗運動由諾伯特 ? 維納（Norbert Wiener）在 1918 年提出，因此布朗運動（Brownian motion）又稱為維納過程（Wiener process）。

布朗運動是一個連續(xù)隨機過程。一個隨機過程是定義在時域或者空間域上的依次發(fā)生的一系列隨機變量的集合。以時域為例，如果這些隨機變量在整個實數(shù)時域上都有定義，那么這個隨機過程為連續(xù)隨機過程；反之，如果這些隨機變量僅僅在時域上一些離散的點有定義，那么該隨機過程為離散隨機過程。

上面兩張圖分別為二維空間內(nèi)和時域上的（一維）布朗運動軌跡。時域上的這個一維布朗運動走勢和股票價格曲線的走勢看著非常相似，這便引起了人們利用它來描述股票價格走勢的興趣。事實上，早在 1900 年一個名叫路易斯 ? 巴舍利耶（Louis Bachelier）的法國小伙就在他的博士論文《投機理論》（Théorie de la spéculation）中使用布朗運動分析股票和期權的價格。

說幾句題外話，這個法國小伙的研究比愛因斯坦給出布朗運動的物理解釋還要早 5 年！比維納提出布朗運動的數(shù)學定義更是早了 18 年！據(jù)說由于他把數(shù)學應用到了在當時比較未知的領域——股票研究——他在答辯時的反響并不好。但是現(xiàn)在看來，這個小伙才是研究金融數(shù)學的先驅(qū)！

下文會進一步解釋為什么使用布朗運動來描述股價運動是合適的?，F(xiàn)在，首先給出（一維）標準布朗運動（即維納過程）的定義。

如果一個定義在非負實數(shù)（時域）t 上的連續(xù)隨機過程 ｛B(t), t ≥ 0｝ 滿足如下三個性質(zhì)：

1. B(0) = 0；
2. 平穩(wěn)性：對于所有的 0 < s < t，增量 B(t) – B(s) 符合均值為 0，方差為 t - s 的正態(tài)分布；
3. 獨立增量性：對于不重疊的區(qū)間 [s_i, t_i]，隨機變量 B(t_i) – B(s_i) 之間是相互獨立的；

則 B(t) 是一個標準的布朗運動。

上述定義的白話解釋是：標準布朗運動在 t = 0 時的位置為 0。在任何有限時間區(qū)間 Δt 內(nèi)，布朗運動的變化滿足均值為 0 方差為 Δt 的正態(tài)分布 N(0, Δt)，其方差隨時間區(qū)間的長度線性增加。獨立增量性的意思是布朗運動在任何一個時間區(qū)間內(nèi)的變化與其他與之不重疊的時間區(qū)間內(nèi)的變化無關。由該性質(zhì)可知，布朗運動是一個馬爾科夫過程（Markov process），即該過程在任意 t 時刻之后的位置僅和 t 時刻的位置有關，與 t 之前的歷史軌跡無關。換句話說，該過程的當前值就包含了對其未來做預測所需的全部信息。

3 布朗運動的性質(zhì)

（標準）布朗運動有很多有意思的性質(zhì)，它們對于使用布朗運動及其變化來描述股票價格有非常重要的含義。這些性質(zhì)包括：

1. 它的軌跡會頻繁的穿越時間軸 t（在時間軸上下往復波動）；
2. 在任意時刻 t，它的位置 B(t) 不會偏離正負一個標準差太遠；
3. 令 M(t) 為 0 到 t 時刻內(nèi)的布朗運動 B(t) 所能到達的最大值，即 M(t) = max_｛0≤s≤t｝B(t)，則“ M(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率”等于“ B(t) 不小于任意給定閾值 a 的概率的兩倍”，即 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a)；
4. 布朗運動雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這是非常關鍵的一個性質(zhì)）。

首先來解釋前兩個性質(zhì)。下圖給出了 0 到 t 時刻內(nèi) 15 條標準布朗運動的樣本軌跡。盡管它們呈現(xiàn)出各自的隨機性，但基本上每條軌跡都往復的穿越 y=0 這條線（即時間軸 t），僅有個別的樣本軌跡在 y=0 的單邊震蕩（對于這些軌跡，隨著 t 的增加，它們也一定會穿越 t 軸的）。此外，黑色的拋物線是方程 t=y^2 的曲線。可以看到，雖然每條樣本軌跡都有足夠的隨機性，但是在 t 時刻，它們都不會偏離這條拋物線上的點 B(0) ± 根號 t 太遠。下圖右側是 t 時刻均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布的概率密度函數(shù)。這條拋物線的范圍對應的就是該正態(tài)分布正負一個標準差之內(nèi)的變化。

假設我們使用布朗運動來描述股價日內(nèi)的高頻走勢（下文會說明更加準確的描述股價的模型是帶漂移項的幾何布朗運動，但在此作為一個簡單的例子，假設使用布朗運動來描述股價），這兩個性質(zhì)意味著股價很大概率會在開盤價上下波動，而非一直維持在開盤價上方或者下方；此外，隨著交易時間的推移，在t時刻股票的價格不會偏離“開盤價 ± 根號 t × 價格波動的標準差”太遠。這些性質(zhì)對于想根據(jù)日內(nèi)高頻數(shù)據(jù)進行投機操作的人非常重要。之前的文章《錯過開盤，不一定是“過錯”》也對此有一些實證，它指出日內(nèi)股價在很大概率上會再次到達開盤區(qū)間內(nèi)出現(xiàn)的價格，而非單邊震蕩。

第三條性質(zhì)給出了量化 t 時刻內(nèi)布朗運動極值的概率模型。由于 B(t) 是滿足均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布，因此 Prob(M(t) ≥ a) = 2Prob(B(t) ≥ a) 這個結果可以讓我們非常容易的求出 Prob(M(t) ≥ a) 的概率，即

其中 Φ 是標準正態(tài)分布的累積分布函數(shù)。上式可以通過布朗運動的馬爾科夫性和反射性證明，在這里不在贅述。同樣的，如果令 m(t) 為 0 到 t 時刻內(nèi)的布朗運動 B(t) 所能到達的最小值，即 m(t) = min_｛0≤s≤t｝B(t)，則再次利用反射性不難推導出 B(t) 的最小值低于給定閾值 a 的概率：

如果用布朗運動來描述股價，那么上述結果可以量化股價極值的概率分布。這對風控以及在買賣股票時計算合理的限價單價格都是很有幫助的。

最后一個性質(zhì)是布朗運動作為隨機過程的一個至關重要的性質(zhì)，即它雖然連續(xù)，但是它處處不可微分（這一點可以通過利用中值定理以及性質(zhì)三的結論，使用反證法來證明）。這從直觀上非常好理解。再來看看上面那 15 條布朗運動的樣本軌跡，每一條都一直在上下波動、充分地展示了其隨機性。顯然，布朗運動的軌跡和我們熟悉的任何連續(xù)、平滑的方程軌跡完全不同。

不可微分性意味著古典微積分（classical calculus）中的分析手段在布朗運動面前黯然失效。這在當時無疑是個令人沮喪的消息。因為人們好不容易找到了一個簡單實用的隨機過程，但卻缺少進一步研究它的手段。然而，這一切都隨著伊藤微積分（Itō calculus）的出現(xiàn)而迎刃而解。毫不夸張的說，伊藤微積分奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學的基礎。

4 二次變分

考慮時間區(qū)間 [0, T] 和該區(qū)間內(nèi)的一個劃分 Π = ｛0 = t_0 < t_1 < t_2 < … < t_N = T｝，則對于任意一個連續(xù)函數(shù) f(t)，它的二次變分（quadratic variation）定義為：

對于一個連續(xù)且在 0 到 T 內(nèi)處處可微的函數(shù) f(t)，通過利用古典微積分中的中值定理很容易得到如下不等式：

這說明隨著對時間區(qū)間 [0, T] 越來越細的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，這個連續(xù)且處處可微的函數(shù) f(t) 的二次變分為 0。

那么，如果將 f(t) 換為布朗運動 B(t) 會怎樣呢？不要忘了，它雖然連續(xù)，但是處處不可微。關于 B(t) 的二次變分有如下定理：

隨著對時間區(qū)間 [0, T] 越來越細的劃分，即 max_i｛t_[i+1] - t_i｝趨于0，B(t) 的二次變分等于 T，即

其中 |Π| = max_i｛t_[i+1] - t_i｝。

布朗運動的這個性質(zhì)可以通過獨立同分布隨機變量的大數(shù)定理證明。對它的白話說明是，作為一個隨機過程，布朗運動的二次變分是 T 而不是 0（與之相對應的是，連續(xù)可微函數(shù)的二次變分為 0）。如何理解它呢？

考慮下面這個示意圖。其中藍色曲線為布朗運動的軌跡，紅點為時間劃分點對應的該軌跡的位移。顯然，(B(t_[i+1]) – B(t_i))^2 為任意相鄰兩個時間點的位移差的平方。二次變分就是這些逐段位移差的累積平方和。

對于一個普通的連續(xù)可微函數(shù)，隨著對區(qū)間T越來越細的劃分，它的二次變分趨于 0。然而對于布朗運動，其非 0 的二次變分說明隨機性使得它的波動太頻繁，以至于不管我們?nèi)绾渭毞謪^(qū)間 T、得到多么微小的劃分區(qū)間，這些微小區(qū)間上的位移差的平方逐段累加起來的總和都不會消失（即二次變分不為 0），而是等于這個區(qū)間的長度 T！這是布朗運動的一個非常重要的性質(zhì)。

布朗運動的二次變分公式也可以寫作如下所示的無窮小量（infinitesimal difference）的形式：

碼了這么多的字來解釋二次變分，當然不是為了用它說明布朗運動的波動太頻繁；在本文第六節(jié)可以看到，二次變分在推導伊藤引理時有非常重要的意義。

5 用幾何布朗運動描述股價

前文介紹了標準布朗運動，它在任意長度為 t 內(nèi)的分布是均值為 0 方差為 t 的正態(tài)分布?，F(xiàn)在，考慮給標準布朗運動加上一個僅和時間 t 有關的漂移項 μt，以及一個尺度參數(shù) σ，便得到一個帶漂移的布朗運動（Brownian motion with drift），記作 X(t) = μt + σB(t)。它在任意長度 t 內(nèi)的分布滿足均值為 μt，方差為 (σ^2)t 的正態(tài)分布?？紤]無窮小量的形式，上式寫作

這是一個隨機微分方程（stochastic differential equation）。隨機微分方程是普通微分方程的延伸，不同之處在于前者之中至少包括一項隨機過程。注意，上式與布朗運動不可微并不矛盾。雖然 B(t) 處處不可微，但是 dB(t) 仍有明確的含義，它表示布朗運動在一個無窮小的時間間隔內(nèi)的變化。

即便是有了帶漂移項和尺度參數(shù)的布朗運動 X(t)，它仍然不是描述股價運動的最佳選擇。這是因為 X(t)，或者 B(t)，的取值隨著時間 t 的變化可以是負數(shù)，但是股票的價格顯然不能是負數(shù)。股價雖然不能是負數(shù)，但是股票的收益率卻有正有負，因此 X(t) 可以被用來描述收益率。

假設 S(t) 為股票的價格，則 dS(t) 為股價在無窮小的時間間隔內(nèi)的變化量，而 dS(t)/S(t) 就是這段間隔內(nèi)的收益率，因此有

因此 S(t) 的隨機微分方程為：

滿足上述隨機微分方程的股價 S(t) 是一個幾何布朗運動。人們喜歡使用幾何布朗運動來描述股價的原因是：

1. 正態(tài)分布：經(jīng)驗事實證明，股票價格的連續(xù)復利收益率近似地服從正態(tài)分布；
2. 馬爾科夫過程：由布朗運動的性質(zhì)可知，服從上述模型的股票價格是一個馬爾科夫過程，即當前價格就包含了對其未來做預測所需的全部信息，這與弱有效市場假說相符；
3. 布朗運動在時間上處處不可微以及二次變分不為零的性質(zhì)符合股票收益率在時間上存在轉折尖點的特征。

當然，為了使用 S(t) 對股價進行分析，必須能夠求解上述隨機微分方程。這需要用到伊藤微積分中的相關內(nèi)容。因此關于 S(t) 的求解將會在本系列的后篇中具體介紹。

在結束本節(jié)之前，再來看一個關于帶漂移項的布朗運動的有意思的例子。考慮一個正實數(shù) μ，令 X(t) = μt + B(t)。由于 B(t) 的期望為 0，因此 X(t) 的期望為 E[X(t)] = μt。我們好奇的是，隨著時間 t 的推移，X(t) 的取值到底是由 μt 主宰還是由 B(t) 主宰。事實上，可以證明，X(t) 的取值是由 μt 支配。對于任何給定的 ε，只要時間 t 足夠長，那么可以證明 X(t) 總會在 y = (μ – ε)t 和 y = (μ + ε)t 之間！

怎么樣？有沒有從這個例子中受到什么啟發(fā)？它說明，如果我們堅信股市長期來看有慢牛行情（μ > 0），那么我們就應該欣然的接受它的任何（短期）波動而堅持持股（即忽略 B(t) 的隨機性造成的擾動）。因為長期來看股價的變化是由 μt 決定的。我猜巴菲特一定是個數(shù)學家，他一定深諳此道，且通過其價值投資體系使得他的投資組合有著比美股指數(shù)更高的 μ，因此獲得了長期穩(wěn)定的超額收益。

6 伊藤引理

布朗運動為人們研究股票價格提供了基礎。然而，對于金融衍生品，它們的價格是股票價格的函數(shù)。令 f(B_t) 為布朗運動 B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)，在金融數(shù)學領域的一個重要的分析課題是研究在無窮小的時間區(qū)間內(nèi) f 是如何變化的，即 df 的性質(zhì)。由下文可知，由于布朗運動是不可微的，古典微積分對于求解 df 無能為力，而日本數(shù)學家伊藤清（Itō Kiyoshi）提出了與古典微積分不同的伊藤微積分打開了解決這個問題的大門，并為隨機分析奠定了堅實的基礎。

讓我們首先來看看古典微積分是如何失效的。為求 df（f 是布朗運動 B_t 的連續(xù)平滑函數(shù)），應用古典微積分中的鏈式法則（chain rule）可得：

由于布朗運動 B_t 處處不可微，因此導數(shù) dB_t/dt 不存在，所以上式?jīng)]有意義。第一次嘗試失敗。

那么我們能不能繞過 dB_t/dt 呢，而僅僅使用 dB_t 呢？前文已經(jīng)指出 dB_t 有明確的含義，它表示布朗運動在一個無窮小的時間間隔內(nèi)的變化。因此我們有：

在這個表達式下，f’(B_t) 是可求的（因為 f 是一個連續(xù)平滑函數(shù)），而 dB_t 也是可求的。看似我們繞過了 B_t 處處不可微的問題。不幸的是，上面這個等式是不成立的。第二次嘗試依然以失敗收場。

來看看上面這個式子為什么是錯的。不要忘了，它實際上來自泰勒展開（Taylor expansion）。考慮一個一般函數(shù) f(x) 的泰勒展開：

事實上，對于一般的函數(shù)，由泰勒展開確實有 df = f’(x)dx，這是因為當 Δx 趨近于 0 時，上式右側中除了第一項 f’(x) Δx 外，其他所有項相當于第一項都是高階小量、可以被忽略，因此上式的無窮小量的形式就是 df = f’(x)dx。但是，當 x = B_t 時，這個性質(zhì)并不成立。將 x 替換為 B_t 代入上式：

顯然，在上式右側中，第一項 f’(B_t)ΔB_t 是重要的。那么其他項相對它來說可以忽略嗎？你也許已經(jīng)猜到答案了：二次變分 (dB)^2 = dt！因為布朗運動的二次變分非 0，因此上式右側的第二項相對于第一項不是更高階的小量，而是同階的，因此它不能被略去（從第三項之后仍然是相對前兩項的高階小量，可以被忽略）。在無窮小量形式下忽略掉右側第三項開始之后的所有項，并利用 (dB)^2 = dt，我們得到伊藤引理（Itō's lemma）的最基本形式：

它也是伊藤微積分中的基本關系式。

更一般的，如果一個平滑函數(shù) f 是時間 t 和某標量 x 的函數(shù)，由古典微積分可知：

如果 x 為布朗運動 B_t，則由伊藤微積分有：

可見，布朗運動的二次變分造成求解 df 時，必須在古典微積分的基礎上考慮一個額外項。它就是f對標量項（這里，標量是 B_t 的取值）的二階導數(shù)（如果 f 僅僅是 B_t 的函數(shù)）或者二階偏導數(shù)（如果 f 即是 B_t 的函數(shù)又是 t 的函數(shù)）。這個結論，現(xiàn)在看來“不怎么起眼”，但是它改變了一切，它使人們可以將微積分運用到隨機過程中。

我們會在本系列后篇中從伊藤引理出發(fā)繼續(xù)闡述如何求解幾何布朗運動的隨機微分方程以及如何推導出 BS 期權定價公式。

7 小結

首先恭喜你看到這里……隨機分析絕不是一個令人愉悅的課題；這篇文章也比我想象的寫起來更加耗時，原因是我想盡可能把復雜的概念簡單的說清楚，并把數(shù)學模型和股票波動聯(lián)系起來。

讓我們來簡單總結一下本文都說了點啥。

布朗運動是一個用來描述股價走勢的有效模型。它的馬爾科夫性符合弱有效市場假說。通過反射性，很容易計算出布朗運動在一段時間內(nèi)能夠到達的極值的概率分布，這對于投資中的風控至關重要。進一步的，幾何布朗運動可以作為對股價建模的更精確的模型。從長期來看，幾何布朗運動的走勢由漂移項控制，這意味著對于慢牛的市場我們要做的是堅定價值投資、長期持股、忽視股價短期由隨機游走帶來的波動。

另一方面，布朗運動雖然連續(xù)，但是它處處不可微，這和股價的劇烈波動上躥下跳給人的感受是一致的。在金融數(shù)學中，很重要的課題是分析隨機過程的函數(shù)（比如衍生品的價格是股票價格的函數(shù)）在無窮小的時間區(qū)間內(nèi)如何變化，但布朗運動的不可微性和二次變分使得古典微積分對它無能為力。日本數(shù)學家伊藤清提出了古典微積分的變種——伊藤微積分，它考慮了布朗運動的二次變分，從而提供了使用微積分的手段分析隨機過程及其函數(shù)的框架，奠定了現(xiàn)代金融數(shù)學的基礎。