1.曲面頂部圓柱體

曲頂圓柱:以有界平面面積D為底面，該面積的邊界D為準(zhǔn)線，垂直于底面的直線為其母線，曲面為其頂面的圓柱。一般底面d所在的平面為xOy坐標(biāo)平面，指向彎曲頂面的母線方向為z軸正西施工空之間的直角坐標(biāo)系。

2.二重積分的建模思想和步驟

(1)建模思想:無窮小方法

(2)建模步驟:“變大變小，不斷變化，近似求和，取極限”

(3)模型轉(zhuǎn)換:

公式中的△σk表示小面積的面積，括號中的△σk表示面積。

3.定積分的幾何和物理意義

幾何意義:(1)當(dāng)f(x，y)=1時，表示積分面積d的面積；

(2)當(dāng)f(x，y)≥0時，指積分面積為d，d的邊界為準(zhǔn)線，母線平行于z軸的圓柱體為邊，頂部為z=f(x，y)的曲面圓柱體的體積。

物理意義:當(dāng)f (x，y) >: 0時，表示平面密度ρ=f(x，y)且占據(jù)平面面積d的平面切片的質(zhì)量.

4.二重積分的存在定理

定理1:如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域d上是連續(xù)的，那么f(x，y)在d上是可積的。

定理2:如果函數(shù)f(x，y)除了有限個數(shù)的點或有限個數(shù)的光滑曲線外，在有界閉區(qū)域d上是連續(xù)的，那么f(x，y)在d上是可積的。

5.二重積分的積分性質(zhì)

性質(zhì)1(線性運算性質(zhì))如果函數(shù)f(x，y)，g(x，y)在有界閉區(qū)域d內(nèi)可積，且α，β為實常數(shù)，則有

[注]在應(yīng)用中，可以利用線性運算的性質(zhì)來拆分積分；利用逆運算，多重積分也可以組合成一個積分。即同一面積上兩個不同函數(shù)的積分和可以組合成積分面積上被積函數(shù)之和的積分。

性質(zhì)2(積分區(qū)域的可加性)將有界閉區(qū)域D分成兩個閉子區(qū)域D1和D2，除了邊界之外，這兩個閉子區(qū)域彼此不重疊。如果函數(shù)f(x，y)在區(qū)域D上可積，那么就有

性質(zhì)3(保序)(1)如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上是可積且非負(fù)的，那么

(2)如果函數(shù)f(x，y)，g(x，y)在有界閉區(qū)域d上可積，并且f(x，y)≤g(x，y)存在于d上，那么

尤其是絕對值不等式

性質(zhì)4(估計定理)如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上是可積的，并且在D上有常數(shù)M和M使得m≤f(x，y)≤M，那么存在

其中a是面積d的面積.

如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上是連續(xù)且非負(fù)的，并且D1是D的閉子區(qū)域，那么存在

性質(zhì)5(積分中值定理)如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上是連續(xù)的，那么至少有一個點(ξ，η)∈D，所以

其中a是面積d的面積.

性質(zhì)6(偶次奇零)設(shè)函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域d上是連續(xù)的:

●如果D關(guān)于X軸對稱，X軸以上的區(qū)域是D1，那么有

●如果D關(guān)于Y軸對稱，Y軸右側(cè)的面積是D1，那么有

即積分區(qū)域關(guān)于x軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于y變量奇偶性。如果積分區(qū)域關(guān)于Y軸對稱，被積函數(shù)關(guān)于X變量有奇偶性，那么積分就是偶次奇零。

性質(zhì)7(旋轉(zhuǎn)對稱)如果函數(shù)f(x，y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，積分區(qū)域關(guān)于直線y=x軸對稱，直線y=x軸的下部表示為D1，直線y=x軸的上部表示為D2，則有

6.不要借助二重積分性質(zhì)來計算和比較積分大小

問題類型1:積分面積相同，但被積函數(shù)不同。通過分析被積函數(shù)的特征及其相互關(guān)系，比較同一積分區(qū)域內(nèi)被積函數(shù)的大小，借助積分的保序性來比較積分的大小。

問題類型2:被積函數(shù)相同，但積分區(qū)域不同。通過分析積分區(qū)域的特征和相互關(guān)系，利用積分的可加性和保序性對積分進(jìn)行了比較。

7.利用二重積分中值定理解決問題的特點

如果問題中包含二重積分模型，且條件或結(jié)論中也包含積分面積或被積函數(shù)表達(dá)式，則可以利用二重積分中值定理求解。二重積分中值定理在二重積分和被積函數(shù)之間架起了一座橋梁，使得二重積分可以直接用被積函數(shù)來描述，甚至可以將二重積分的一些問題轉(zhuǎn)化為被積函數(shù)來討論。

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