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一個簡單的面積計算問題，但是需要一個巧妙的方法而不是一個計算公式。

邊長為1的正六邊形位于邊長相等的正十二邊形內(nèi)部，如下圖所示。它們有重合的一面。兩個正多邊形的面積差是多少？也就是說，去除陰影后的圖形在正十二邊形內(nèi)部的面積是多少？

正十二邊形和正六邊形都是中心對稱的圖形，因此向上平移正六邊形直到兩個正多邊形的中心重合是至關(guān)重要的。如下圖所示。

將新得到的正六邊形的每個頂點與最近的兩個正十二邊形頂點連接起來，如下圖中的CE和CA；DB、DF .有12個這樣的連接。通過對稱，這12個環(huán)節(jié)都是相等的。再者，這12條連接線將正十二邊形和正六邊形之間的“環(huán)形區(qū)域”劃分為12個小區(qū)域，其中6個區(qū)域(間隔)為四邊形ABDC表示的矩形(圖中綠色，其中AB平行等于CD，AC垂直于AB)，其余6個區(qū)域為三角形ace表示的等腰三角形(圖中粉色，其中AC=EC)

上面這張圖是我用數(shù)學軟件做的，好像很標準?？矗雌饋砭匦蜛BDC是一個正方形，三角形ACE是一個正三角形嗎？如果是這樣的話，我們要解決的面積問題就變得極其簡單了。

要證明上面的猜想，我們只需要證明AC=CD。如下圖所示，我們制作輔助線AO和BO。根據(jù)對稱性，三角形AOB是一個等腰直角三角形，大小∠OAB是正十二邊形每個內(nèi)角的一半。正十二邊形內(nèi)角之和等于(12-2) * 180 = 1800。所以

≈OAB =≈EAB/2 =(1800/12)/2 = 150/2 = 75

∠AOB = 180 -2×75 = 30

因此

∠1 = 90 -75 = 15

≈2 =(≈COD-≈AOB)/2 =(60-30)/2 = 15

即

∠1 = ∠2

因此

交流電=一氧化碳

而且因為三角形COD是正三角形(正六邊形的六分之一)，所以

交流=光盤

由此，我們證明了“環(huán)面積”之間的12條連線都等于正十二邊形和正六邊形的邊長，即都等于1。

接下來，我們找到

(1×1)× 6 = 6