題目：

幾個(gè)重要定理的內(nèi)熔：梅涅勞斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理.有什么例題麼

解答：

塞瓦定理 塞瓦定理 開放分類： 數(shù)學(xué)、三角形、定理 塞瓦定理 設(shè)O是△ABC內(nèi)任意一點(diǎn), AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F,則 (BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 證法簡(jiǎn)介 （Ⅰ）本題可利用梅涅勞斯定理證明： ∵△ADC被直線BOE所截, ∴ (CB/BD)*(DO/OA)*(AE/EC)=1 ① 而由△ABD被直線COF所截,∴ (BC/CD)*(DO/OA)*(AF/BF)=1② ②÷①:即得：(BD/DC)*(CE/EA)*(AF/FB)=1 （Ⅱ）也可以利用面積關(guān)系證明 ∵BD/DC=S△ABD/S△ACD=S△BOD/S△COD=(S△ABD-S△BOD)/(S△ACD-S△COD)=S△AOB/S△AOC ③ 同理CE/EA=S△BOC/ S△AOB ④ AF/FB=S△AOC/S△BOC ⑤ ③×④×⑤得BD/DC*CE/EA*AF/FB=1 利用塞瓦定理證明三角形三條高線必交于一點(diǎn): 設(shè)三邊AB、BC、AC的垂足分別為D、E、F, 根據(jù)塞瓦定理逆定理,因?yàn)?AD:DB)*(BE:EC)*(CF:FA)=[(CD*ctgA）/[(CD*ctgB）]*[(AE*ctgB)/(AE*ctgC)]*[(BF*ctgC)/ [(AE*ctgB)]=1,所以三條高CD、AE、BF交于一點(diǎn). 托勒密定理 定理的提出 [編輯本段] 一般幾何教科書中的“托勒密定理”,實(shí)出自依巴谷(Hipparchus)之手,托勒密只是從他的書中摘出. 定理的內(nèi)容 [編輯本段] 托勒密(Ptolemy)定理指出,圓內(nèi)接凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積. 原文：圓內(nèi)接四邊形中,兩對(duì)角線所包矩形的面積等于 一組對(duì)邊所包矩形的面積與另一組對(duì)邊所包矩形的面積之和. 從這個(gè)定理可以推出正弦、余弦的和差公式及一系列的三角恒等式,托勒密定理實(shí)質(zhì)上是關(guān)于共圓性的基本性質(zhì)． 證明 [編輯本段] （以下是推論的證明,托勒密定理可視作特殊情況.） 在任意四邊形ABCD中,連接AC,作∠BAE=∠CAD,因?yàn)椤螦BE=∠ACD 則△ABE∽△ACD 所以BE/CD=AB/AC,即BE·AC=AB·CD (1) 又有比例式AB/AC=AE/AD 而∠BAC=∠DAE 所以△ABC∽△AED相似. BC/ED=AC/AD即ED·AC=BC·AD (2) (1)+(2),得 AC(BE+ED)=AB·CD+AD·BC 又因?yàn)锽E+ED≥BD （僅在四邊形ABCD是某圓的內(nèi)接四邊形時(shí),等號(hào)成立,即“托勒密定理”） 所以命題得證 推論 [編輯本段] 1.任意凸四邊形ABCD,必有AC·BD≤AB·CD+AD·BC,當(dāng)且僅當(dāng)ABCD四點(diǎn)共圓時(shí)取等號(hào). 2.托勒密定理的逆定理同樣成立：一個(gè)凸四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積,則這個(gè)凸四邊形內(nèi)接于一圓、 推廣 [編輯本段] 托勒密不等式：四邊形的任兩組對(duì)邊乘積不小于另外一組對(duì)邊的乘積,取等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)共圓或共線. 簡(jiǎn)單的證明：復(fù)數(shù)恒等式：(a-b)(c-d)+(a-d)(b-c)=(a-c)(b-d),兩邊取模, 得不等式AC·BD≤|(a-b)(c-d)|+|(b-c)(a-d)|=AB·CD+BC·AD 注意： 1.等號(hào)成立的條件是(a-b)(c-d)與(a-d)(b-c)的輻角相等,這與A、B、C、D四點(diǎn)共圓等價(jià). 2.四點(diǎn)不限于同一平面. 歐拉定理：在一條線段上AD上,順次標(biāo)有B、C兩點(diǎn),則AD·BC+AB·CD=AC·BD 滿意請(qǐng)采納