數(shù)字來自對數(shù)量本質(zhì)的抽象，數(shù)量的本質(zhì)是多是少。

因此，數(shù)字就是那些能夠由小到大進行排列的符號。這個抽象過程經(jīng)歷了計數(shù)和符號兩個階段。能夠形成十進制記數(shù)系統(tǒng)是人類的重大進步，其核心是十個符號加上位數(shù)準則。

為了討論數(shù)的表示，就必須先討論數(shù)量的本質(zhì)，因為數(shù)是對數(shù)量的抽象，而抽象的核心工作是對本質(zhì)的提煉和刻畫。

一．數(shù)量的本質(zhì)

我想，數(shù)量的本質(zhì)應當是多與少，因為動物也能夠分辨出多與少：一只狗對一只狼與一群狼的反應是不一樣的。一本名為“數(shù)：科學的語言”的書中描述了一個故事，這個故事表明動物對于數(shù)量的多少具有相當強的分辨能力。

“在歐洲某地莊園的望樓上有一個烏鴉巢，里面住著一只烏鴉。主人打算殺死這只烏鴉，可是幾次都沒有成功，因為他一走進這個望樓烏鴉就飛走，棲在遠遠的樹上，直到他離開望樓才飛回來。后來他想了一個聰明的辦法：兩個人一起走進望樓，一個人出來，一個人留在里面?？墒菫貘f不上當，直到第二人離開望樓才飛回來。主人不死心，連續(xù)試驗了幾天：三個人，四個人都沒有成功。最后用了五個人，四個人走出來，一個人留在里面，現(xiàn)在烏鴉分辨不清了，飛了回來?！?/p>

對于數(shù)量多少的感知，人應當強于烏鴉，不論烏鴉有多么聰明（據(jù)心理學的實驗結果，如果不計數(shù)，人對多少的分辨也是在5左右）。由此可以推斷，人類對于數(shù)量的感知可能比語言的形成還要早，但是，人類能夠從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念卻是非常不容易的。一些書中對此都有記載，比如《天空中的圓周率》中提到，至今為止，一些原始部落依然沒有系統(tǒng)的數(shù)字概念，那里的人們只能區(qū)分一，二和許多。究其原因，就是沒有創(chuàng)造出計數(shù)系統(tǒng)。

二．十進制記數(shù)系統(tǒng)的抽象過程分析

從人類的發(fā)展歷程來分析，十進制計數(shù)系統(tǒng)的抽象過程，經(jīng)歷了計數(shù)，符號兩個層次的抽象。

第一步抽象：計數(shù)

大數(shù)學的文明很早就會計數(shù)了，但是，數(shù)字符號的發(fā)明可能要比文字符號的發(fā)明更晚一些。

有些人可能不同意這個意見，因為可以在甲骨文中發(fā)現(xiàn)許多數(shù)字。我想說的是，那些不是數(shù)字符號，也就是說，那些并不意味著已經(jīng)把關于數(shù)量的感知抽象到數(shù)字符號。仔細看一下甲骨文就會發(fā)現(xiàn)，所以數(shù)字的背后都有著具體的背景：或者是田畝，或者是牛羊，這說明那些是關于與數(shù)量有關的事件的文字記載，或者說，是一種語言符號。在現(xiàn)代漢語中，有一些關于數(shù)量極其后綴名詞的形式已經(jīng)被根深蒂固地保留下來了，比如，一粒米，一條魚，一只雞，一個蛋，一匹馬，一頭牛，一支筆，一頂帽子，一件衣服，一條褲子等等。其中的“一”

并不是數(shù)字符號，我們只能把這些理解為與數(shù)量有關的事件的記載。一粒米與一頭牛是不可同日而語的，雖然都是數(shù)量“一”的具體例子。這里需要一個更為深刻的抽象，或者說是關于數(shù)量的第二步抽象。

第二步抽象：符號

符號的表達必須擺脫具體內(nèi)容，否則這種表達將不具有一般性，在這種表述基礎上的計算和推理也將不具有普適性。因此，數(shù)字符號后面不能綴有名數(shù)，需要完全脫離具體的背景，否則，不可能一般地建立起關于“多少”的概念。2比1多，可是很難想象兩粒米要比一頭牛多。另一方面，從“多少”這一基本概念出發(fā)，可以自然而然地推導出這樣一個事實：在一些東西上再加一些東西要比原來的“多”，如果數(shù)字符號后面綴有名數(shù)，則很難表現(xiàn)出這一事實。一粒米加上一頭牛是什么呢？因此，數(shù)字符號只能是一些表示數(shù)量多少的符號，除了多少以外沒有任何具體的含義，而每一個具體的事件都是這種表示的特例。

把那些所有表示數(shù)量的符號放在一起，則得到了一個集合，我們稱這個集合為“數(shù)集”。從上面的推斷可以知道，這個數(shù)集中的符號之間至少要滿足一種關系，那便是“多少”，或者稱之為“大小”。為了做到這一點，就必須在這個數(shù)集中定義一個“序”的關系，我們可以稱之為“大于”。那么，數(shù)集中的任何兩個符號之間都必須滿足這種序關系。比如a和b是數(shù)集中的兩個符號，則不是a大于b就是b大于a；如果a大于b同時b也大于a，則表示同一個符號，即a和b相等。顯然，十進制的數(shù)字的集合滿足這種序關系。容易驗證，二進制的數(shù)字的集合也滿足這種序關系。這樣，我們便完成了對于數(shù)字符號的抽象：數(shù)字是那些能夠由小到大進行排列的符號。

關鍵點一：進位

因為數(shù)量可以無限制的多，于是數(shù)字符號也應當是無窮無盡的，我們將遇到一個天大的難題：必須用無窮多個符號來表示所有的數(shù)字。聰明的人類發(fā)明了進位，有些符號可以重復使用了。如果計數(shù)規(guī)則是十進制，那么，除了一到九的符號外，再創(chuàng)造出十進位基數(shù)的符號：在中國是十，百，千；在古羅馬相應的是X,C,M等等。請注意到，在這個符號系統(tǒng)中，五十并不是指50，而是指五個十；三萬也不是指30000，而是指三個一萬。因此，這是一個由語言符號系統(tǒng)向完全數(shù)字符號系統(tǒng)的過渡的符號系統(tǒng)，可以稱為準數(shù)字符號系統(tǒng)。這個準數(shù)字符號系統(tǒng)能夠相當廣泛地適用于人類的日常生活，因此被沿用至今。但是這個準數(shù)字符號系統(tǒng)有兩個致命的弱點：一是不利于運算；二是不完備。

不利于運算是很好理解的，可以翻看一下中國宋代的數(shù)學名著《數(shù)書九章》，其中關于剩余定理，關于高次方程的求解方法是當時世界數(shù)學的頂峰，但是其邏輯推理過程和計算方法的記載實在是繁雜，使人望而生畏。在歐洲也是這樣，在歐洲的許多古老城市都矗立著紀念碑，上面雕刻的時間大多用的是古羅馬數(shù)字符號系統(tǒng)，也是相當?shù)姆彪s。當然，如果我們是從美學的角度考慮，那就另當別論了。

所謂不完備，是準數(shù)字符號系統(tǒng)在原則上依然需要創(chuàng)造無窮多個不同的符號。在漢字系統(tǒng)中，表示數(shù)字符號最大的基數(shù)是“兆”，這是10的12次方，這確實是很大的數(shù)了，但是對于一個與信息有關的符號系統(tǒng)來說這卻是遠遠不夠的，今天我們隨處可見的PC計算機，每分鐘要處理的信息量就要大大超過這個基數(shù)。那么，如何來改善這個準數(shù)字符號系統(tǒng)呢？

關鍵點二：位數(shù)

現(xiàn)在只需要再進行一個小小的創(chuàng)造，但是為了這個小小的創(chuàng)造，人類用了幾個世紀。這個創(chuàng)造就是位數(shù)準則：數(shù)字符號在不同的“位”表示基數(shù)不同的量?？梢曰叵胛覀兊淖嫦劝l(fā)明的算盤，在算盤中，同樣多的珠在不同的位置表示的量是不同的：兩個珠在個位表示二，在十位表示二十。多么巧妙地設計！可是，如何通過數(shù)字符號來表達這個功能呢？可以看到，這就像算盤中地空檔一樣，只需要再發(fā)明一個符號：零。

“零”是印度人發(fā)明地，用sunya表示，原意是“空”。當今很有影響地印度哲學家奧修再分析自己地民族時說，印度是一個內(nèi)向型的國家，因此在印度能夠產(chǎn)生禪宗，印度的精神能夠創(chuàng)造出有生命力的種子，但不能夠給它們提供土壤。確實如此，印度人認為“空”是一種存在，甚至是絕對的存在，在佛學或禪宗中，我們可以找到許多關于這方面的論述。

但是，在數(shù)學里，“0”是實實在在的存在，在數(shù)字符號系統(tǒng)中加上0，一個有效且簡捷的十進制數(shù)字符號系統(tǒng)就建立起來了：十個符號加上位數(shù)準則。

后來阿拉伯人把這個數(shù)字符號系統(tǒng)帶到了歐洲，于是這個數(shù)字符號系統(tǒng)在歐洲也流行起來，那已經(jīng)是公元10世紀以后的事情了，現(xiàn)在人們?nèi)匀环Q這個數(shù)字符號系統(tǒng)為阿拉伯數(shù)。意大利數(shù)學家斐波那契是第一個著書向歐洲人介紹印度的十進制的，他的那本1202年出版的《算經(jīng)》開始就說：

“這是印度的九個數(shù)碼：9 8 7 6 5 4 3 2 1，還有一個阿拉伯人稱之為零的符號0，任何數(shù)都可以表示處理。”

馬克思終生喜愛研究數(shù)學，在《數(shù)學手稿》中他稱贊十進制記數(shù)法是“最妙的發(fā)明之一”。關于十進制記數(shù)系統(tǒng)，法國數(shù)學家拉普拉斯有一段非常精彩的闡述：

“用十個記號來表示一切的數(shù)，每個記號不但有絕對的值，而且有位置的值，這種巧妙地方法出自印度。這是一個深遠而又重要的思想，它今天看了如此簡單，以致我們忽視了它的真正偉績。但恰恰是它的簡單性以及對一切計算都提供了極大的方便，才使我們的算術在一切有用的發(fā)明中列在首位；而當我們想到它竟逃過了古代最偉大的兩位人物阿基米德和阿波羅尼斯的天才思想的關注時，我們更感到這成就的偉大了?！?/p>

可惜在那個年代，拉普拉斯對于中國還不十分了解，于是把這項發(fā)明完全歸功于印度。許多史料表明，更早使用了十進制記數(shù)法的是中國，正如吳文俊所說：

“位值制的數(shù)字表示方法及其簡單，因而也掩蓋了它的偉大業(yè)績。它的重要作用與重要意義，非但為一般人們所不了解，甚至眾多數(shù)學專家對它的重要性也熟視無睹。而法國的數(shù)學家拉普拉斯則獨具慧眼，提出算術應在一切有用的發(fā)明中列首位。中華民族是這一發(fā)明當之無愧，獨一無二的發(fā)明者。這一發(fā)明對人類文化貢獻之巨，縱然不能與火的發(fā)明相比，至少是可與文化史上我國的四大發(fā)明相媲美的。中華民族應以出現(xiàn)這一發(fā)明而引以自豪。”

人類從數(shù)量的多少中抽象出數(shù)的概念，并且用十個符號來表示，這不僅是對于數(shù)學，即便是對于人類文明的發(fā)展的貢獻都是巨大的。同時，這些符號的出現(xiàn)也是自然的，是合情合理的，于是，人們稱這個數(shù)字符號系統(tǒng)為自然數(shù)集，我們用N表示自然數(shù)集。

關于數(shù)，德國數(shù)學家克羅內(nèi)克有一句名言：“上帝創(chuàng)造了自然數(shù)，其余的都是人的工作?！彼环矫媸窃诒硎鲎匀粩?shù)的重要，一方面在表示對于其他“數(shù)”的理解的苦惱。后面我們將會看到苦惱之所在。