美國科學院院士、中國海外院士、著名物理學家張首晟先生。

張首晟先生在美國中國科學技術(shù)協(xié)會第25屆年會上發(fā)表了題為“科學、創(chuàng)新與投資”的演講。

2017年10月初，美國中國科學技術(shù)協(xié)會第25屆年會在紐約哥倫比亞大學舉行。在會議上，老顧有幸再次見到了張?zhí)埔惴驄D和張首晟先生。張先生曾用杜甫的兩句詩來形容自己:余馨一生最悲催，暮年更是山水甲天下。以前看到張先生的時候，總覺得他冷冰冰的，目光犀利。這次看到他，才發(fā)現(xiàn)他的臉很軟，眼神很克制。偶爾一眼，眼睛突然躥起來，攝人心魄。張?zhí)琅f溫雅。

會議組織者、美國科學技術(shù)協(xié)會副會長在機場迎接教授并宴請張教授時，對老顧說，他談到了老顧。張教授對老顧寫的一些文章很感興趣。張教授原本是讓嚴先生安排與教授和張先生共進午餐的。在顏老師的介紹下，張教授特意邀請了老顧一起吃午飯。(見《哈德遜河上的午餐》)。

近幾年，老谷暑假經(jīng)常在清華大學教計算共形幾何，放學后經(jīng)常在清華校園里隨意閑逛，尋找數(shù)學方面的靈感，回憶青春的回憶。清華的教室走廊里，貼著清華系院士的畫像和傳記。其中一位是海外院士，溫文爾雅，帥氣自然。當你看著他的時候，腦海里突然出現(xiàn)了“玉面書生”這個人物。這就是張首晟先生，他離諾貝爾物理學獎只有一步之遙。老顧這次看到自己的偶像很激動。

張首晟先生在會上做了精彩的報告《科學、創(chuàng)新與投資》，回應了創(chuàng)新時代的呼喚，將優(yōu)雅非凡的科學品味與睿智深遠的投資眼光相結(jié)合，為喧囂浮躁的科技投資界帶來了一股清流。張首晟的主要原則是以簡單驅(qū)動復雜，并追溯到真相，這是一個發(fā)人深省的事情。

張首晟接受了他下榻的川普國際酒店的采訪。陪同他們的有中國科協(xié)美國佛羅里達分會的骨干姚遠明教授和老顧前訪法國里昂的弟子、現(xiàn)就職于Xi交通大學數(shù)學與統(tǒng)計學院的李慧斌教授。張先生學識淵博，涉獵領域廣泛，對數(shù)學、金融、信息科學等諸多領域有著獨特而深刻的見解。大家一起熱烈討論。

首要原則

憑借深厚的科學素養(yǎng)、敏銳的技術(shù)洞察力和非凡的市場遠見，張首晟先生成功投資了VMWare，最高市值達到480億美元。最近張先生在萬麗公司創(chuàng)始人賽蒙斯先生的加持下，創(chuàng)辦了丹華資本。賽蒙斯先生是先生的高足，陳-賽蒙斯的指示類已成為理論物理的基石之一。他創(chuàng)辦的復興公司幾十年來一直是華爾街最賺錢的金融公司。他仇富，支撐著美國理論物理博士后生涯的一半。清華校園內(nèi)，林故居“陳-賽門樓”附近有一座由賽門捐贈的雅致別墅。楊振寧和翁帆隱居在這里，寫下了一個現(xiàn)代傳奇。

張首晟先生優(yōu)雅的投資品味和他堅定的科學價值觀一脈相承，這就是第一原則。張先生認為，科學的最高志向是簡單性和普遍性。張先生說:“我們生活的世界是復雜多變的，但如果我們能把一切都追溯到它的源頭，我們就能以簡單對抗復雜，贏得效率的提高。當我們理解并運用了第一個原則，就可以創(chuàng)新性地進行新聯(lián)通，成為中心路由器。丹華資本也期望創(chuàng)業(yè)者從第一原則出發(fā)，思考問題。”

離散幾何

老顧給張先生講解了一些最近證明的數(shù)學定理，他的主要視野是在離散范疇中重構(gòu)經(jīng)典連續(xù)幾何。這樣做的目的一方面是為了適應計算機科學的發(fā)展，另一方面是為了從更直接、更基本的角度重新發(fā)現(xiàn)這些定理。經(jīng)典幾何需要流形的光滑結(jié)構(gòu)，這樣微積分的工具才能實現(xiàn)；計算機中的幾何表示大多是離散的數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)。基本的幾何原理應該與光滑性無關(guān)，而是本質(zhì)上更本質(zhì)的規(guī)律。

比如經(jīng)典的高斯-博納定理揭示了一個曲面的全局曲率是拓撲不變的，證明了它需要二階光滑性和相對現(xiàn)代的幾何工具，比如動框架法。離散曲面的高斯-博納定理證明只使用初等組合技巧。李慧斌的博士論文是關(guān)于幾何近似理論，它建立了離散曲率和光滑曲率之間的關(guān)系。使用的理論工具是正態(tài)循環(huán)理論。在這個理論中，曲面嵌入在歐氏空和球面空的直積之間，在這個背景空中找到了特殊的微分形式，它在曲面上的積分給出了各種曲率測度。這樣，我們將內(nèi)在的高斯曲率外化，通過曲面嵌入的差異來控制曲率度量的差異。對于給定的光滑曲面，可以利用保角幾何原理在曲面上均勻采樣，然后建立測地線三角剖分，再用歐氏三角形替換每個測地線三角形，從而得到光滑曲面的離散逼近。隨著采樣密度的增加和三角剖分的細化，離散曲率測度收斂到光滑曲率測度。這樣，我們用離散組合的方法證明了經(jīng)典的高斯博納定理。用這種思想，我們系統(tǒng)地證明了曲面微分幾何的一些基本定理。

雙曲線幾何

歐幾里得幾何

球面幾何

唯一性定理

根據(jù)張首晟先生的第一原理，曲面幾何中最簡單、最普遍的定理不是單值定理。各種復雜的曲面最終會共形地歸結(jié)為三種標準幾何之一，即球面幾何、歐氏幾何和雙曲幾何。這種簡化復雜性，統(tǒng)一一切的理論，大大簡化了純理論的探索和實用幾何算法的設計。埃舍爾的天使與魔鬼系列形象地刻畫了單值定理。張首晟先生將最近發(fā)現(xiàn)的粒子命名為“天使粒子”，正是因為他讀過湯姆·漢克斯的《天使與魔鬼》。

這種追求簡單性和普適性的思想，是幾何學中一貫的基本原理。三維流形上表面均勻化定理的推廣是瑟斯頓幾何定理。一個三維流形可以通過拓撲和運算分解為圖元三流形，每個圖元三流形允許八種幾何之一。如果一個緊致閉三流形的所有圓都可以收縮到一個點，那么它就是一個三維球面拓撲的同胚，這就是著名的龐加萊猜想。

劉立淇

為了證明龐加萊猜想，漢密爾頓提出了里奇流的概念。Ricci流隨時間演化出流形度量，度量的變換速率與當前Ricci曲率成正比，使得曲率變化滿足某種非線性擴散反應方程。當系統(tǒng)達到平衡狀態(tài)時，處處曲率不變。但在某些幾何拓撲條件下，反應項占優(yōu)勢，曲率會在有限的時間內(nèi)爆發(fā)。我們在爆發(fā)點將流形分成兩部分，對每一部分應用Ricci流進行進一步變形。我們需要證明曲率爆破的次數(shù)是有限的。

與連續(xù)曲面黎曼流理論平行的離散曲面黎曼流理論已經(jīng)完全建立并轉(zhuǎn)化為一種強大的算法，在許多工程和醫(yī)學領域發(fā)揮著重要作用。張先生告訴老顧，物理學家也做過類似的工作，并給出了具體的名字。同時，張先生也十分關(guān)注三維流形中離散黎曼流的進展。我向他解釋了我們在雙曲三重流形中所做的一些工作。幾何定理的自動證明一直是數(shù)學家的夢想。

吳文俊先生對機器定理的證明

張先生講了人工智能的發(fā)展，聯(lián)結(jié)主義的神經(jīng)網(wǎng)絡進步很快；象征主義的機器定理證明也在穩(wěn)步推進。吳文俊先生對機器定理的證明幾乎可以證明所有的歐氏幾何命題，而且經(jīng)常給出奇怪而新穎的證明方法。但是計算機無法將冗長的證明分解成幾何引理，使得人類很難理解計算機給出的證明。同時，到目前為止，計算機還沒有發(fā)現(xiàn)人類尚未知道的非常深刻的基本定理。

吳先生發(fā)明的機器證明法的思想是這樣的:我們用多項式表示條件，結(jié)論也用多項式表示。我們需要證明結(jié)論多項式包含在條件多項式生成的理想中。這可以用格羅布納基法或吳法來驗證。吳法忽略了根的多重性，所以更有效率。Grobner基方法給出完整的信息。希爾伯特定理保證了兩種算法的收斂性:多項式環(huán)中的所有理想都是有限生成的。但是Grobner基方法的復雜度可以很高，解決一些問題的復雜度可以超過指數(shù)級。這種代數(shù)方法非常普遍，可以用來研究黎曼曲面的幾何問題。

研究黎曼曲面的方法有很多。一種方法是利用幾何分析建立幾何偏微分方程求解；另一種是用代數(shù)曲線表示黎曼曲面，用代數(shù)幾何研究。代數(shù)方法絕對準確，最后歸結(jié)到判斷理想成員的問題，所以計算復雜度很高。幾何偏微分方程的方法可以適度逼近，因此更快速有效，在實踐中得到廣泛應用。然而，有許多幾何問題只能用代數(shù)方法來回答，如連接分析和拓撲學的黎曼-羅赫定理。

費馬最后定理

虧格為1的黎曼平面對應的代數(shù)曲線是橢圓曲線。當我們把橢圓曲線的域從復域變?yōu)橛邢抻驎r，連續(xù)曲面就變成了離散點集，黎曼平面的一些幾何性質(zhì)就表現(xiàn)出數(shù)論性質(zhì)。橢圓曲線是三次曲線，可以用一些函數(shù)來表示。如果參數(shù)表示的函數(shù)可以是模形式，我們稱之為模曲線。顧山治村猜想所有的橢圓曲線都是模曲線，每個橢圓曲線對應一個模形式。如果費馬定理不成立，我們可以構(gòu)造一個橢圓曲線，它不是模曲線。所以孤山-志村猜想包含費馬大定理。

1995年，懷爾斯證明了孤山-志村猜想和費馬大定理的一部分。因為顧山無法證明自己的猜想，他在結(jié)婚后不久就在海里自殺了，一個星期后新娘也跟著去了，尷尬至極。模曲線在橢圓曲線的?？罩g，模形式可視為模空之間的函數(shù)，與黎曼猜想有關(guān)。孤山之村定理是當今數(shù)學的核心問題——朗蘭茲計劃的特例。Langlands的程序使數(shù)論幾何化，集代數(shù)幾何、數(shù)論、群論于一體。

美國科學技術(shù)協(xié)會年會的熱點之一是區(qū)塊鏈。區(qū)塊鏈的核心是用技術(shù)代替第三方擔保，尤其是分布式存儲技術(shù)和數(shù)據(jù)加密技術(shù)。數(shù)據(jù)加密的核心是數(shù)論。隨著費馬定理的征服，橢圓曲線加密技術(shù)蓬勃發(fā)展。黎曼猜想和量子計算的發(fā)展將極大地推動金融技術(shù)的發(fā)展。

伽羅瓦群論

說到群論，張首晟先生非常欣賞伽羅瓦的理論。為了解決高階多項式方程根解的存在性問題，伽羅瓦親手發(fā)明了群論。伽羅瓦認為，如果我們可以將一個N次多項式方程進行多步變換，每一步都變成一個變量的冪等于一個常數(shù)的形式，那么由N個元素排列而成的對稱群就可以分解成一系列嵌套的子群，這樣每兩個相鄰子群的商群就是一個循環(huán)群，即N次對稱群就是一個可解群。因為五階及更高階的對稱群不是可解群，所以五階及更高階的方程沒有通式解。

伽羅瓦群論是每一個青少年成長過程中智力升華的關(guān)鍵環(huán)節(jié)。伽羅瓦群論所蘊含的審美價值和精神力量，在塑造青年人的價值觀和人格方面，并不比唐詩宋詞遜色。在法國，每個男孩成年后從母親那里得到的禮物，往往是一份法國歷史上著名數(shù)學家的手稿，就像中國父親送給孩子的唐詩宋詞選集一樣。

比伯巴赫猜想

代數(shù)曲線是黎曼曲面的代數(shù)表示，是魏良周定理的特例。周定理證明了任意復解析流形在復投影空之間的全純嵌入是代數(shù)的。研究黎曼曲面的另一種方法是復變函數(shù)理論。午餐時，張老師講了比伯巴赫猜想，它有如下幾何意義。我們研究從單位圓到復平面的保角映射。

圖2。保角映射的像集是復平面上的有界單連通區(qū)域。

這種保角映射可以用單葉解析函數(shù)表示。假設這個映射保持零點不變，零點處的導數(shù)為1，因此它具有級數(shù)表示:

,

Bieberbach猜測每個系數(shù)的模。

保角映射的像集是復平面上的簡單連通區(qū)域，可以是有界區(qū)域，如圖2所示；

圖3。保角映射的像集是復平面上的有界單連通區(qū)域。

保角映射的像集是復平面上的簡單連通區(qū)域，可以是無界區(qū)域，如圖3所示。然而，Koebe1/4定理斷言保角映射的像集包含一個半徑為1/4的圓盤。

圖4。Koebe映射。

在極端情況下，保角映射的像集覆蓋整個復平面，其補是一組零測度，如曲線。該曲線盡可能延伸，直到觸及Koebe1/4圓，如圖4所示，此時映射冪級數(shù)的系數(shù)模也達到最大:

。

這是復分析幾何理論中非常常見的神秘現(xiàn)象:幾何極值包含解析極值。幾何極值與解析極值的這種一致性可以用來證明許多保角變換的存在，如黎曼映射定理、狹縫映射定理等。

這再次證明了張首晟先生的簡單而普遍的原則。

生成對抗網(wǎng)絡GAN

近年來，人工智能的連接主義蓬勃發(fā)展。張首晟先生對此做了簡要總結(jié)。“人工智能的爆發(fā)源于三個重要趨勢的神奇融合:摩爾定律描述的計算能力的指數(shù)增長；互聯(lián)網(wǎng)和物聯(lián)網(wǎng)的爆炸式增長產(chǎn)生的海量數(shù)據(jù)；智能算法的快速發(fā)展?！睆埵钻上壬澷p對抗生成網(wǎng)絡(GAN)原理:生成器試圖生成欺騙鑒別器的樣本，鑒別器試圖識別真實數(shù)據(jù)并生成樣本，兩個神經(jīng)網(wǎng)絡同時訓練，通過博弈相互提高，直到達到納什均衡，鑒別器無法區(qū)分真實數(shù)據(jù)和生成數(shù)據(jù)，整個系統(tǒng)達到最優(yōu)狀態(tài)。

圖5。甘模型生成人臉圖像的結(jié)果。

圖6。WGAN的框架。

這一階段，丘成桐先生帶領老顧和幾位合作者從理論層面探索人工智能的計算模型。對抗生成網(wǎng)絡可以用最優(yōu)傳輸理論來解釋。從統(tǒng)計視覺的觀點出發(fā)，我們把所有nxn個圖像組成的線性空空間定義為圖像空空間(背景空空間，每個圖像都是這個空空間中的一個點。我們考慮一個概念，比如人臉，所以每張圖片都有一個概率來描述這張圖片是否是人臉，所以我們定義一個概率分布。那么大部分圖片都不是人臉，所以支持集是圖像中的低維子流形空。

深度神經(jīng)網(wǎng)絡最成功的特點是可以將概念子流形映射到低維特征空，也稱為潛在空間。特征空的維數(shù)遠低于原始圖像空當然深度神經(jīng)網(wǎng)絡也可以解碼，解碼圖從特征空映射到圖像空。

在特征空中，我們?nèi)∫粋€標準的概率分布，如均勻分布或高斯分布。生成器構(gòu)建解碼圖以將特征空之間的分布“向前推”到圖像空之間的分布，該分布被記錄為生成的分布。鑒別器深層網(wǎng)絡計算數(shù)據(jù)分布和生成分布之間的距離。根據(jù)最佳傳輸理論，兩種分布之間的差異可以通過所謂的瓦瑟斯坦距離來測量:

這里是所謂的c-變換，傳遞代價函數(shù)是例如從點到點傳遞單位質(zhì)量的代價。

分布生成和替換后的最終優(yōu)化問題可以簡化為極大極小問題:

能量由鑒別器最大化，由發(fā)生器最小化，分別由兩個深度網(wǎng)絡承擔。這兩個網(wǎng)絡交替訓練，直到達到平衡。在這個模型中，它們是獨立的，并且是單獨優(yōu)化的。

然而，經(jīng)過深入研究，邱先生的團隊發(fā)現(xiàn)了以下結(jié)論:

如果傳輸成本大于1，那么最優(yōu)鑒別器和最優(yōu)發(fā)生器之間有一個簡單的數(shù)學關(guān)系，一個可以直接從另一個寫下來。換句話說，我們只需要訓練鑒別器和發(fā)生器中的一個，它們之間的交替訓練是不必要的，它們之間的競爭實際上是虛構(gòu)的。

計算最優(yōu)傳輸相當于解凸幾何中的閔可夫斯基問題和亞歷山大洛夫問題，這兩個問題用加斯帕爾·蒙日-安培方程描述。加斯帕爾·蒙日-安培方程在物理光學中具有明顯的物理意義。

最優(yōu)傳輸與幾何上的Voronoi圖/Delaunay三角剖分有著很深的內(nèi)在聯(lián)系。在計算幾何中，功率圖可以給出最優(yōu)傳輸?shù)膸缀谓忉?鑒別器相當于功率距離，發(fā)生器相當于功率圖的單元分解，加斯帕爾·蒙日-安培方程的解相當于功率圖的上包絡，等等。

這些發(fā)現(xiàn)有助于更深入地理解GAN模型的本質(zhì)，并有助于設計更嚴格和更有效的計算模型。

張首晟先生贊同用嚴格的理論來解釋深度學習模式的分析方向，并鼓勵老谷盡快將這些研究成果公之于眾。這和他的第一原則密切相關(guān)。

時光飛逝，夜幕降臨。我們同意張先生下次見面，在哥倫布圓環(huán)說再見。暮色中，曼哈頓的燈亮著，車水馬龍，摩天大樓拔地而起，烏云滾滾空閃電若隱若現(xiàn)。老顧看著先生消失在曼哈頓的紅塵里，像一個白衣俠客，武功絕世，儒雅靈動，沒有幻影。一個量子拓撲，傳唱于世；資本利劍殺人，投資江湖必然掀起血潮。。。