歷史上有個數(shù)學(xué)家叫歐拉，他的徒弟叫拉格朗日，他的徒弟叫柯西。

雖然這個徒弟的徒弟比不上他，但是他還是寫了一些東西，也有了一些成績。男性....

他的作品共有28卷。

收縮了那個時期數(shù)學(xué)公式的前綴...

他開創(chuàng)了積分幾何。首先，他證明了階數(shù)超過的矩陣都有特征值，并成功地建立了極限理論。首先，他明確了定積分的概念，并用這個積分來研究各種問題等等

用參數(shù)方程表示的曲線上至少有一點(diǎn)，該點(diǎn)的切線與連接兩端的弦平行。

應(yīng)用示例

1)泰勒公式

柯西中值定理最重要的應(yīng)用是用拉格朗日余項(xiàng)證明泰勒公式，可以通過多次重復(fù)使用柯西中值定理來證明。以下是一個例子。

例1是二次可微的，證明它是任意的，存在于兩者之間，所以

這是點(diǎn)鄰域內(nèi)函數(shù)的一階泰勒公式。

證書順序，使用。兩次應(yīng)用于柯西中值定理后，我們可以得到:

命題證明。

……

2)洛必達(dá)定律

柯西中值定理的一個重要應(yīng)用是推導(dǎo)出計(jì)算待定型極限的最有效方法——洛必達(dá)法則。

洛必達(dá)定律是求兩個無窮小或兩個無窮量之比的極限。在一定條件下，可以化為兩個函數(shù)導(dǎo)數(shù)的比值極限，這可能使原待定型成為求待定型極限的一個簡單有效的問題。

我們得出以下定理(阿比達(dá)定律):

(1)兩個函數(shù)的和在開區(qū)間上可微，且和的導(dǎo)數(shù)在這個開區(qū)間上不等于0；

⑵存在極限(或)，其中A為有限常數(shù)。然后在下列情況下:(或和)。然后就是:(或者)。類似的結(jié)果存在于區(qū)間的另一端。這個定理被稱為洛必達(dá)定律，可以有效地應(yīng)用于待定型極限計(jì)算。

3)不平等

柯西中值定理也廣泛應(yīng)用于不等式的證明。關(guān)鍵是適當(dāng)選擇f(x)和g(x)。

例3試圖證明當(dāng)。

證明了柯西中值定理的條件在區(qū)間上滿足，所以它存在，所以，也就是說，

結(jié)論得到了證明。

4)中間點(diǎn)

中值點(diǎn)存在性的證明是柯西中值定理最典型的應(yīng)用之一。

例4:如果函數(shù)在區(qū)間上是連續(xù)的，在區(qū)間內(nèi)是可導(dǎo)的，那么它是存在的，這使得

。

證明了假設(shè)，，顯然滿足柯西中值定理的條件，所以它存在，使得

即存在，以便得出結(jié)論。

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