“我想就數(shù)學(xué)和物理的關(guān)系發(fā)表一些看法。”

1965年，理查德·費(fèi)曼在康奈爾大學(xué)舉辦了一系列關(guān)于數(shù)學(xué)和物理之間關(guān)系的Courier講座，其中“偉大的解釋者”談到了他發(fā)現(xiàn)的數(shù)學(xué)和物理之間的主要差異。他的思想總結(jié)如下。

認(rèn)識論的差異

“數(shù)學(xué)家們準(zhǔn)備了可以使用的抽象推理，即使他們不知道它是用來做什么的?！?/p>

首先，費(fèi)曼解決了研究數(shù)學(xué)的人，特別是精選的數(shù)學(xué)家在認(rèn)識論分析水平上的差異:

數(shù)學(xué)家僅處理推理的結(jié)構(gòu)，他們并不真正在乎他們在說什么。他們甚至不需要知道自己在說什么，也不必知道自己說的是真的。

接下來，他將描述形式系統(tǒng)的可計(jì)算性和人工機(jī)器推斷人類無法理解的定理的理論可能性:

現(xiàn)在，我解釋說，如果您說公理說“某某事物如此”和“某某事物如此”，那該怎么辦？這樣就可以在不知道“某某某物”一詞含義的情況下進(jìn)行邏輯運(yùn)算。也就是說，如果有關(guān)公理的陳述是正確的，即經(jīng)過精心制定和完善，那么進(jìn)行推理的人就不必具有對這些詞的含義的任何了解。他將能夠用相同的語言得出新的結(jié)論。如果我在其中一個公理中使用三角形一詞，結(jié)論中可能會有一些關(guān)于三角形的陳述。而做推理的人甚至可能不知道三角形是什么！但是，然后他可以讀回自己的東西，然后說：“哦，一個三角形，那只是一個三邊形的東西，等等”，所以我知道了這個新事實(shí)。換句話說，數(shù)學(xué)家準(zhǔn)備的抽象推理就是準(zhǔn)備“被使用”。

這與物理分析的認(rèn)識論水平相反:

物理學(xué)家對所有短語都有意義，而且有一個非常重要的事情是，許多學(xué)習(xí)物理學(xué)但不來自數(shù)學(xué)的人都不懂：物理學(xué)不是數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)不是物理學(xué)。一個可以幫助另一個。但是，您必須對單詞與現(xiàn)實(shí)世界之間的聯(lián)系有所了解。如有必要，最后將您想出的內(nèi)容翻譯成英文，再放入要進(jìn)行實(shí)驗(yàn)的銅塊和玻璃塊的世界中，以找出后果是否正確。這是一個根本不是數(shù)學(xué)問題的問題。我已經(jīng)提到了唯一的其他關(guān)系. 當(dāng)然，很明顯，已開發(fā)的數(shù)學(xué)推理是如何發(fā)揮巨大作用并在物理學(xué)中得到使用的。另一方面，有時物理學(xué)家的推理對數(shù)學(xué)家很有用。

費(fèi)曼沒有進(jìn)一步的解釋就停了下來，但一個相關(guān)的例子是愛德華·威滕在正能量定理方面的工作，為此他獲得了菲爾茲獎。在關(guān)于愛德華·威滕著作的論文中，數(shù)學(xué)家邁克爾·阿蒂亞描述了它對數(shù)學(xué)的重要性:

他用數(shù)學(xué)形式解釋物理思想的能力非常獨(dú)特。一次又一次，通過物理洞見的出色應(yīng)用，他產(chǎn)生了新的深刻的數(shù)學(xué)定理，讓數(shù)學(xué)界大吃一驚。e對當(dāng)代數(shù)學(xué)有著深遠(yuǎn)的影響。在他的手中，物理學(xué)再次為數(shù)學(xué)提供了豐富的靈感和見解?！啊~克爾·哈迪埃。”

適用范圍的差異

“數(shù)學(xué)家們喜歡盡可能地使他們的推理一般化”

費(fèi)曼繼續(xù)幽默地討論數(shù)學(xué)的適用性，與大多數(shù)物理學(xué)家的興趣形成鮮明對比:

如果您說“我有一個三維空間”，然后問數(shù)學(xué)家有關(guān)定理，然后他們說“現(xiàn)在看，如果您有n個維的空間”，那么這里就是這些定理?！蔽抑幌胍S的情況……”“好吧，然后代換n = 3！”。事實(shí)證明，它們具有的許多復(fù)雜定理要簡單得多，因?yàn)樗鼈兦『檬翘厥馇闆r。物理學(xué)家總是他對特殊情況感興趣，對一般情況不感興趣，他在談?wù)撃承┦虑椋皇窃诔橄蟮卣務(wù)撊魏问虑?，他知道他在說什么，他想討論新的引力定律，他不想要武斷的力量因此，要進(jìn)行一定程度的簡化，因?yàn)閿?shù)學(xué)家已經(jīng)為各種各樣的問題準(zhǔn)備了這些東西，這是非常有用的，后來總會發(fā)現(xiàn)，可憐的物理學(xué)家必須回來并且說“對不起，您想告訴我這四個維度?！敝庇X與嚴(yán)謹(jǐn)

“可憐的數(shù)學(xué)家沒有任何指導(dǎo)，但論證中的精確數(shù)學(xué)是嚴(yán)謹(jǐn)而謹(jǐn)慎的?！?/p>

費(fèi)曼接著談到了這兩個主題的發(fā)現(xiàn)過程，強(qiáng)調(diào)物理學(xué)家應(yīng)用了他們的主題，而不是在某種本質(zhì)上純粹的抽象優(yōu)勢:

當(dāng)您知道您在說什么，這些東西是力量，這些東西是質(zhì)量，這是慣性等等時，您就可以使用很多常識性的，關(guān)于憑借經(jīng)驗(yàn)的感覺世界。您已經(jīng)看過各種各樣的東西，或多或少地知道了現(xiàn)象的表現(xiàn)方式。可憐的數(shù)學(xué)家他將其轉(zhuǎn)換為方程式，符號對他沒有任何意義，他沒有指導(dǎo)性，但精確的數(shù)學(xué)嚴(yán)謹(jǐn)性和關(guān)心論點(diǎn)。鑒于物理學(xué)家或多或少地知道答案的去向，他們會走出來并進(jìn)行一些猜測，然后很快就進(jìn)行下去。精確度很高的數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格性在物理學(xué)中不是很有用，現(xiàn)代態(tài)度也不是。在數(shù)學(xué)中看公理?，F(xiàn)在，數(shù)學(xué)家可以做他們想做的事，不應(yīng)批評他們，因?yàn)樗麄儾皇俏锢韺W(xué)的奴隸。不必要僅僅因?yàn)檫@對您有用，他們就必須這樣做。他們可以做自己想做的事，這是他們自己的工作，如果您想要其他東西，那么您可以自己解決。

費(fèi)曼在這里認(rèn)為，由于物理學(xué)關(guān)注自然現(xiàn)象，人類在這一領(lǐng)域有更好的直覺傾向。這與描述一些數(shù)學(xué)定理的過程相反，包括小約翰·福布斯·納什對非線性偏微分方程的發(fā)現(xiàn):

20世紀(jì)50年代的數(shù)學(xué)家知道使用計(jì)算機(jī)求解常微分方程(ODE)的相對瑣碎的例程。然而，沒有求解非線性偏微分方程的方法，例如在噴氣發(fā)動機(jī)的湍流運(yùn)動中發(fā)現(xiàn)的那些方法。

然而，到1958年春天，納什已經(jīng)能夠用自己的發(fā)明方法獲得基本的存在性、唯一性和連續(xù)性定理。令人驚訝的是，這些方法涉及到“將非線性方程轉(zhuǎn)化為線性方程，然后用非線性手段對其進(jìn)行攻擊”——彼得·拉克斯(Peter Lax)密切關(guān)注著自己的進(jìn)步，這是一只前所未有的“天才之筆”。關(guān)于這項(xiàng)技術(shù)，隆德大學(xué)的數(shù)學(xué)教授、偏微分方程專家拉斯金后來也類似地宣稱:“要做到這一點(diǎn)，你必須是個天才。”。

論模型的實(shí)用性

費(fèi)曼接著討論了模型在物理學(xué)中的有用性，以及它們在新發(fā)現(xiàn)過程中的無用性:

接下來的問題是，我們是否應(yīng)該在嘗試制定新定律時進(jìn)行猜測，是否應(yīng)該使用憑借經(jīng)驗(yàn)的感覺和哲學(xué)原理，即“我不喜歡最低限度的原則，我愿意例如最低限度的控制”或“我不喜歡遠(yuǎn)距離的動作，或者我喜歡遠(yuǎn)距離的動作”。問題是模型在多大程度上有所幫助。這是一件非常有趣的事情。模型經(jīng)常會提供幫助，物理老師經(jīng)常會嘗試講授如何使用這些模型，并對事情的發(fā)展有很好的物理感覺。但是，最偉大的發(fā)現(xiàn)總會從模型中抽象出來。它從來沒有做過任何事情。麥克斯韋的電動力學(xué)發(fā)現(xiàn)首先是在惰輪和太空中的其他所有物體上，使用了許多假想的輪子完成的。如果您擺脫了所有的閑人和太空中的所有其他東西，那事就好了。狄拉克僅通過猜測方程即可發(fā)現(xiàn)相對論的量子力學(xué)定律。猜測方程式的方法似乎是猜測新定律的一種非常有效的方法。這再次表明，數(shù)學(xué)是表達(dá)自然的一種深層方式，而試圖以哲學(xué)原理或在經(jīng)驗(yàn)的機(jī)械感覺中表達(dá)自然并不是一種有效的方式。論數(shù)學(xué)物理的適用性

奇怪的是，費(fèi)曼繼續(xù)預(yù)言，在未來的某個時刻，世界的本質(zhì)不會用數(shù)學(xué)語言來表達(dá)。相反，會有其他方式來表達(dá)自然是如何運(yùn)作的，需要的計(jì)算更少:

我必須說，我經(jīng)常做出一個假設(shè)，即物理學(xué)最終將不需要數(shù)學(xué)陳述。機(jī)械最終將被揭示。總是令我感到困擾的是，盡管有這些本地業(yè)務(wù)，但根據(jù)定律以及我們今天對它們的理解，無論一個空間區(qū)域多么微小，時間區(qū)域多么微小，發(fā)生的一切都需要計(jì)算。進(jìn)行無數(shù)次邏輯運(yùn)算以找出答案?，F(xiàn)在，在這么小的空間中如何進(jìn)行所有操作？為什么要花無窮的邏輯來弄清楚一小段時空將要做什么？因此，我經(jīng)常做一個假設(shè)，即定律最終將變得像棋盤一樣簡單，并且所有復(fù)雜性都來自規(guī)模，但是，這與其他人做出的其他猜測具有相同的性質(zhì)。 上面寫著“我喜歡”，“你不喜歡”。對這些事情過于偏見是不好的。關(guān)于數(shù)學(xué)的需要

接下來，費(fèi)曼引用了詹姆斯·讓爵士的話，并在討論物理數(shù)學(xué)時提到了小說家和物理化學(xué)家C. P. Show的名著《兩種文化》:

總而言之，我想用詹姆士·簡斯爵士的話說：“這位偉大的建筑師似乎是一位數(shù)學(xué)家，而對于那些不懂?dāng)?shù)學(xué)的人來說，要想真正地感受到一種真實(shí)的感覺是非常困難的。感受大自然的美?！?P. Snow談到了兩種文化。我真的認(rèn)為這兩種文化是有過和沒有過足夠了解數(shù)學(xué)的經(jīng)驗(yàn)，來一次欣賞自然的人，這很糟糕，必須要數(shù)學(xué)并且對某些人來說數(shù)學(xué)很難。當(dāng)其中一位國王試圖向歐幾里得學(xué)習(xí)幾何學(xué)時，他抱怨說這很困難，歐幾里德說：“沒有通往幾何學(xué)的皇家之路”。傳播論

“也許地平線是有限的，這樣這些人就可以想象，感興趣的宇宙的中心是人?！?/p>

最后，費(fèi)曼談到物理學(xué)家需要掌握數(shù)學(xué)才能發(fā)現(xiàn)關(guān)于自然的新發(fā)現(xiàn)，并指出數(shù)學(xué)對于我們目前理解世界是如何工作的非常重要:

作為觀察這些事物的人們，我們不能像物理學(xué)家那樣將其轉(zhuǎn)換為我們擁有的任何其他語言。如果您想討論自然，了解自然，欣賞自然，則有必要找出她所使用的語言。她僅以一種形式提供信息。我們并沒有那么謙虛，以至于“要求她更改”，然后再進(jìn)行任何關(guān)注。在我看來，您可以提出的所有理智論點(diǎn)很少會充耳不聞。世界上所有的知識論據(jù)都不會說服“其他文化”的論點(diǎn)。那些試圖通過定性地告訴你這件事來教你的哲學(xué)家。我，正在嘗試描述它，但是因?yàn)椴豢赡?，所以無法傳播。我們正在充耳不聞地交談，也許是因?yàn)橐曇坝邢蓿惯@些人可以想象感興趣的宇宙的中心是人。

這篇文章是《康托爾的天堂》每周出版的一系列數(shù)學(xué)相關(guān)故事的一部分。感謝閱讀！

單擊查看更多觀看此視頻。

(本文翻譯自理查德·費(fèi)曼的文章《數(shù)學(xué)和物理的區(qū)別》。參考:https://medium . com/cantors-paradise/Richard-Feynman-on-differences-on-of-theory-physics-c 0847 E8 a3 d 75)