在中國(guó)，“八”諧音“發(fā)”成了人人都愛(ài)的吉利數(shù)字。無(wú)論是手機(jī)號(hào)還是車牌號(hào)碼，每個(gè)人都希望里面有一個(gè)數(shù)字8，而包含數(shù)字8的數(shù)字似乎是一種不可再生的稀缺資源。死亡理性主義者自然會(huì)想到一個(gè)問(wèn)題:所有自然數(shù)中有多少百分比包含數(shù)字8？10%?50%?還是90%？

前n位數(shù)字中有多少包含8？

如果你數(shù)0，有10位，但只有一位是8，只占總數(shù)的10%。那么，在所有兩位數(shù)以內(nèi)的數(shù)字中，8這個(gè)數(shù)字是不是只占10%？不是。從0到99有100個(gè)數(shù)字，但有19個(gè)數(shù)字，包括8，18，28，…，78，80，81，82，…，88，89，98。也就是說(shuō)，在所有兩位數(shù)以內(nèi)的數(shù)字中，包含數(shù)字8的數(shù)字占19%。

如果我們進(jìn)一步擴(kuò)大我們考慮的自然數(shù)的范圍，你會(huì)發(fā)現(xiàn)這個(gè)比例會(huì)越來(lái)越大。電腦顯示，0-9 999 999 999之間的數(shù)字中，數(shù)字8的數(shù)字占65.1%。

通過(guò)計(jì)算機(jī)程序運(yùn)算得到的表:對(duì)于不同的N，N位與包含8的數(shù)的比例

當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，

為了得到8在所有自然數(shù)中所占的百分比，我們需要弄清楚，如果上表中的n增加到無(wú)窮大，那么在表的最右一列會(huì)變成什么百分比。為此，我們首先需要推導(dǎo)出計(jì)算表格最右列百分比的公式。

當(dāng)考慮n位以內(nèi)的所有數(shù)字時(shí)，我們可以在小于n位的數(shù)字前面加上0來(lái)組成。這樣，每一個(gè)數(shù)都可以認(rèn)為是由恰好n個(gè)0到9之間的數(shù)組成的。顯然，這樣的數(shù)字有10 n個(gè)，但沒(méi)有數(shù)字8的只有9 n個(gè)(也就是只有數(shù)字0，1，2，…，7，9)。所以沒(méi)有數(shù)字8的數(shù)占所有數(shù)的9 n/10 n = (0.9) n，有數(shù)字8的數(shù)占1-(0.9) n。

當(dāng)n趨于無(wú)窮大時(shí)，(0.9) n會(huì)越來(lái)越小，最終變成0，然后1-(0.9) n變成1。所以結(jié)論是，數(shù)為8的數(shù)占所有自然數(shù)的100%！也就是說(shuō)，幾乎所有的數(shù)字都包含數(shù)字8。

這不是開(kāi)玩笑。8這個(gè)數(shù)字真的占了所有自然數(shù)的100%。當(dāng)樣本空無(wú)窮大時(shí)，100%不一定發(fā)生，0%不一定不一定發(fā)生。比如射箭擊中靶心的概率為0，因?yàn)閾糁心繕?biāo)中特定區(qū)域的概率是這個(gè)區(qū)域的面積大于整個(gè)圓，而且因?yàn)閳A心的“面積”為0，所以仍然比整個(gè)圓為0，也就是擊中靶心的概率為0。

有數(shù)字8的數(shù)字是如此神奇的發(fā)現(xiàn)，但邊肖說(shuō)沒(méi)有數(shù)字8的數(shù)字更神秘。顧名思義，缺8就是自然數(shù)12345679中沒(méi)有8，所以叫“缺8”。雖然它看起來(lái)平淡無(wú)奇，但我們仔細(xì)研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)它有許多奇妙的性質(zhì)。

奇妙自然1:“所有顏色”

缺少8的數(shù)字在乘以1到81的9的倍數(shù)時(shí)可以是“一體”，例如:

12345679×9=111111111

12345679×18=222222222

12345679×27=333333333

12345679×36=444444444

12345679×45=555555555

12345679×54=666666666

12345679×63=777777777

12345679×72=888888888

12345679×81=999999999

神奇的自然2:“三位一體”

“三位一體”可以通過(guò)將8的數(shù)字乘以3的倍數(shù)而不是9的倍數(shù)來(lái)獲得(12種情況)，例如:

12345679×12=148148148

12345679×15=185185185

12345679×21=259259259

12345679×24=296296296

12345679×30=370370370

12345679×33=407407407

12345679×42=518518518

12345679×48=592592592

12345679×51=629629629

12345679×57=703703703

12345679×78=962962962

精彩自然3:《奔跑的燈籠》

當(dāng)缺失的數(shù)字8乘以19，其乘積將是234，567，901。曾經(jīng)排在第二位的2號(hào)，就像一盞奔跑的燈籠，成為了先鋒。例如:

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

12345679×46=567901234

深入研究發(fā)現(xiàn)，當(dāng)乘數(shù)為公差等于9的等差數(shù)列時(shí)，出現(xiàn)“跑馬”現(xiàn)象。例如:

12345679×8=098765432

12345679×17=209876543

12345679×26=320987654

12345679×35=432098765

現(xiàn)在，我們依次將乘數(shù)改為10、19、28、37、46、55、64、73(它們形成公差為9的算術(shù)級(jí)數(shù)):

12345679×10=123456790

12345679×19=234567901

12345679×28=345679012

12345679×37=456790123

12345679×46=567901234

12345679×55=679012345

12345679×64=790123456

12345679×73=901234567

以上產(chǎn)品都是“缺8號(hào)”！數(shù)字1、2、3、4、5、6、7和9依次出現(xiàn)在每個(gè)數(shù)字上。

奇妙的自然4:“回文現(xiàn)象”

把少了8的數(shù)字乘以大家都是9的數(shù)字，奇跡出現(xiàn)了！等號(hào)右邊全是回文，這些回文都是上下“踩”的，神奇，好看，有趣！

12345679×9=111111111

12345679×99=1222222221

12345679×999=12333333321

12345679×9999=123444444321

12345679×99999=1234555554321

12345679×999999=12345666654321

12345679×9999999=123456777654321

12345679×99999999=1234567887654321

12345679×999999999=12345678987654321