摸摸標(biāo)題下面一行“北京邵雍”后面的藍(lán)色單詞“數(shù)學(xué)教學(xué)研究”。這個(gè)微信官方賬號(hào)的內(nèi)容都是邵雍自己創(chuàng)建的。每周推兩三篇內(nèi)容比較有分量的數(shù)學(xué)文章，但力求寫得簡(jiǎn)單。幾分鐘就能看完，輕松學(xué)數(shù)學(xué)。

九點(diǎn)圓和歐拉線

上一期我們講了九點(diǎn)圓，里面涉及了三角形中的高線、中線等概念。我們知道，一個(gè)三角形的三條高線在一個(gè)點(diǎn)相交，這個(gè)點(diǎn)叫做“聚焦”。我們也知道一個(gè)三角形的三條中線也在一個(gè)點(diǎn)相交，這個(gè)點(diǎn)叫做關(guān)鍵點(diǎn)(或中心)。之所以稱之為重心，是因?yàn)槿绻切问琴|(zhì)量分布均勻的薄板，那么從重心處系一根繩子，將三角形薄板提起，三角形薄板處于平衡狀態(tài)，即薄板處于水平狀態(tài)。三角形有幾個(gè)其他的心。先說(shuō)震中，它是三角形三條邊的垂線的交點(diǎn)。線段的垂直線(這里是邊)是指從線段上任意一點(diǎn)到線段兩端的距離相等。因此，從外中心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離必須相等。然后以外中心為中心，以外中心到任意頂點(diǎn)的距離為半徑做一個(gè)圓，這個(gè)圓就是三角形的外接圓。所謂外中心，外接圓中心也是。然后是心(外有內(nèi)有，好巧)。內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)。

本期我們要講的是心、心、重心的關(guān)系，引出了歐拉線的概念。然后我們?cè)賮?lái)說(shuō)說(shuō)歐拉線和九點(diǎn)圓的關(guān)系。下圖中畫的是九點(diǎn)圓，當(dāng)然組成它的九個(gè)點(diǎn)叫做九點(diǎn)圓也是畫出來(lái)的。該圖還顯示了九點(diǎn)圓的垂直中心h、外部中心w、重心g和中心o。對(duì)了，outer中心本來(lái)應(yīng)該是用大寫字母O來(lái)表示的(英文out的意思是Outer)，但是由于上一期我們用O來(lái)表示九點(diǎn)圓的中心，所以這里用W來(lái)表示外接圓(用W是有意義的，因?yàn)闈h語(yǔ)外面的拼音是Wai)。g作為重心是因?yàn)橛⒄Z(yǔ)中的重量是重力。我謹(jǐn)慎使用h，可能是因?yàn)楦呔€和英語(yǔ)水平高有關(guān)。另外，內(nèi)心一般用大寫英文字母I表示，因?yàn)閮?nèi)心在。這讓我想起了現(xiàn)在的流行語(yǔ)，說(shuō)一個(gè)人過(guò)時(shí)了，就說(shuō)他過(guò)時(shí)了或者過(guò)時(shí)了。說(shuō)一個(gè)人與時(shí)俱進(jìn)，緊跟潮流，就說(shuō)他是In。我跟不上潮流。如果這里有問(wèn)題，請(qǐng)隨意說(shuō)我出去了。好了，言歸正傳。先說(shuō)數(shù)學(xué)，九點(diǎn)圓和歐拉線。

上圖紅色線段所在的線是歐拉線。三角形的垂直線(h)、重心(w)和重心(g)位于一條直線上，重心位于垂直中心和外中心之間。線段WH被分成兩部分，從外部中心到垂直中心的距離之比為1∶2，即重心是線段WH的兩個(gè)三等分點(diǎn)中靠近外部中心的三等分點(diǎn)。上圖中，WG: GH = 1: 2。這個(gè)不難證明，只要三角形A’GW和三角形AGH相似，相似比為1: 2。首先，角度GWA'=角度GAH。其次，因?yàn)間是三角形ABC的重心，所以有一個(gè)‘g:ag = 1:2’。所以說(shuō)明a' w: ah = 1: 2就足夠了。這個(gè)有點(diǎn)難，很難想到。所以仔細(xì)觀察，可以看出W是三角形ABC的中值三角形A'B'C '的中心。所以，因?yàn)槿切蜛'B'C和三角形ABC相似，相似比為1: 2，所以這兩個(gè)三角形中A'W和AH的比例也是1: 2。最終WG: GH = 1: 2。當(dāng)然，我們也不能忘記解釋，角度WGA’=角度AGH，這樣這兩個(gè)角度就可以變成相反的角度，從而使W，G，H三點(diǎn)共線。

再看看這張圖。也就是上圖所示，還有一個(gè)點(diǎn)o，也就是九點(diǎn)圓的中心，沒(méi)有提到。可以證明，九點(diǎn)鐘的圓心是由垂直的外中心組成的線段，即點(diǎn)O是WH的中點(diǎn)。這個(gè)不難證明，因?yàn)槿切蜳DA '(圖中天藍(lán)色區(qū)域)是直角三角形，九點(diǎn)圓的中心o是這個(gè)直角三角形斜邊的中點(diǎn)，所以A'O=AO?？梢宰C明三角形WA'G與三角形PHO全等。所以WO=OH。

三角形有這么多有趣的性質(zhì)！

另外，九點(diǎn)圓還有一個(gè)無(wú)窮的魅力:它與三角形的內(nèi)切圓和三個(gè)外接圓相切！