大于10的自然數(shù)，除以5和3，除以7和1，除以9和8；那么，滿足條件的最小自然數(shù)是多少？

分析:

余數(shù)定理中的一類中等難度問題。

從難度上，大致可以分為以下幾個(gè)層次:

1、最簡(jiǎn)單的:

除以 5 余數(shù)是 0，除以 7 余數(shù)是 0， 除以 9 余數(shù)是 0： 此時(shí)，就是一個(gè)最小公倍數(shù)的問題！ 同時(shí)是 5、 7、 9 的倍數(shù)，那最小公倍數(shù)就是： 5×7×9＝315

2.難度略有提高:

除以 5 余數(shù)是 1，除以 7 余數(shù)是 1， 除以 9 余數(shù)是 1： 此時(shí)，如果是把這個(gè)數(shù)減掉 1，得到的這個(gè)新的數(shù)字，就會(huì)轉(zhuǎn)換成最小公倍數(shù)的問題！ 減掉 1 之后得到的新的數(shù)字同時(shí)是 5、 7、 9 的倍數(shù)，那就是： 5×7×9＝315所以，原來(lái)的這個(gè)數(shù)字最小就是： 315＋1＝316

3.難度和第二個(gè)差不多，但是看起來(lái)沒那么直觀:

除以 5 余數(shù)是 4，除以 7 余數(shù)是 6， 除以 9 余數(shù)是 8： 此時(shí)，余數(shù)看上去是不同的，但是如果是把這個(gè)數(shù)加上 1，得到的這個(gè)新的數(shù)字，也會(huì)轉(zhuǎn)換成最小公倍數(shù)的問題！ 加上 1 之后得到的新的數(shù)字同時(shí)是 5、 7、 9 的倍數(shù)，那就是： 5×7×9＝315所以，原來(lái)的這個(gè)數(shù)字最小就是： 315－1＝314

4.困難又提出來(lái)了，這就是現(xiàn)在的問題:

除以 5 余數(shù)是 3，除以 7 余數(shù)是 1， 除以 9 余數(shù)是 8： 此時(shí)，余數(shù)不同，而且要補(bǔ)成倍數(shù)的值也不同： 整除 5 要補(bǔ) 5－3＝2整除 7 要補(bǔ) 7－1＝6整除 9 要補(bǔ) 9－8＝1 這個(gè)時(shí)候，就有兩個(gè)方向了： 從原來(lái)的數(shù)字里面往外拿： 整除 5 的話，可以從原來(lái)數(shù)字里面拿出來(lái)： 3、 3＋5＝8整除 7 的話，可以從原來(lái)數(shù)字里面拿出來(lái)： 1、 1＋7＝8整除 9 的話，可以從原來(lái)數(shù)字里面拿出來(lái)： 8、 8＋9＝17這個(gè)時(shí)候，就可以發(fā)現(xiàn)，出現(xiàn)了一個(gè)共同的數(shù)字： 8 也就是說： 減掉 8 之后得到的新的數(shù)字同時(shí)是 5、 7、 9 的倍數(shù)，那就是： 5×7×9＝315 所以， 原來(lái)的這個(gè)數(shù)字最小就是： 315＋8＝323 另外一個(gè)方向就是： 往原來(lái)的數(shù)字里面補(bǔ)： 整除 5 的話，需要補(bǔ)的是： 5－3＝2、 2＋5＝7、 7＋5＝13、……整除 7 的話，需要補(bǔ)的是： 7－1＝6、 6＋7＝13、 13＋7＝20、……整除 9 的話，需要補(bǔ)的是： 9－8＝1、 1＋9＝10、 10＋9＝19、……很明顯，這個(gè)方向上要找這個(gè)共同的數(shù)字的話，就不明顯了實(shí)際上，要找到的話，一定是： 315－8＝307真要這么找，要耗費(fèi)相當(dāng)長(zhǎng)時(shí)間了

5.如果再提難度，就是:

不管是往外拿，還是往里補(bǔ)， 試算了四、五個(gè)之后，兩個(gè)方向都找不同相同的數(shù)字這個(gè)時(shí)候，就要： 用上另外一種方法了 這類問題，明天再來(lái)看一起看一道題