圖1

首先，我們來看看什么是數(shù)學(xué)通才?；A(chǔ)數(shù)學(xué)的研究基本上可以分為五個(gè)部分:分析、代數(shù)、數(shù)論、幾何、拓?fù)鋵W(xué)。各部分之間差別很大，但也會(huì)有一些聯(lián)系。我們所說的“數(shù)學(xué)全才”，就是在這幾個(gè)部分都有很大成就的數(shù)學(xué)家。

1.艾薩克·牛頓和戈特弗里德·萊布尼茨——微積分的創(chuàng)始人

我們可以從微積分的兩位創(chuàng)始人牛頓和萊布尼茨開始。受限于時(shí)代環(huán)境，17世紀(jì)中葉的數(shù)學(xué)分類遠(yuǎn)非全面，更確切地說，甚至屬于數(shù)學(xué)的自然科學(xué)也沒有完全脫離哲學(xué)的殿堂。著名的牛頓第二定律記載在《自然哲學(xué)的數(shù)學(xué)原理》一書中，就是很好的證明。當(dāng)時(shí)很多數(shù)學(xué)成果可能還是今天的一些基本認(rèn)識。同時(shí)，這些成果分類不清，便于數(shù)學(xué)家跨境研究。從這個(gè)角度看，像牛頓、萊布尼茨這樣的大師似乎有“鉆了空時(shí)代之子”的嫌疑，但不要單純用今天的眼光去評判老年人。畢竟，目前來看，這是一個(gè)劃時(shí)代的開創(chuàng)性成就，深深影響著我們的未來。

圖2牛頓和萊布尼茨

17世紀(jì)微積分建立之前，數(shù)學(xué)還處于初等數(shù)學(xué)的成熟階段，研究對象多為常數(shù)關(guān)系，具有獨(dú)立數(shù)形的特點(diǎn)。微積分的出現(xiàn)標(biāo)志著進(jìn)入變量時(shí)代，它已經(jīng)成為數(shù)學(xué)發(fā)展中的一個(gè)重要分支——數(shù)學(xué)分析，并將進(jìn)一步發(fā)展為微分幾何、微分方程等?，F(xiàn)在現(xiàn)代數(shù)學(xué)的建設(shè)也是建立在微積分的基石上。這樣，“數(shù)學(xué)全才”的稱號是牛頓和萊布尼茨當(dāng)之無愧的。

圖3

當(dāng)然，除了微積分的杰出成就之外，他們在數(shù)學(xué)史上留下了許多寶貴的財(cái)富:18世紀(jì)初牛頓在《普通算術(shù)》中論述了代數(shù)基礎(chǔ)及其實(shí)際應(yīng)用，1736年在《解析幾何》中提出了曲率公式等重要的幾何成果，并提出了二項(xiàng)式定理等對分析和方程有重大意義的定理；萊布尼茨還研究過復(fù)數(shù)、線性方程、符號邏輯等等。

第二，萊昂哈德·歐拉——數(shù)學(xué)中的莎士比亞

歐拉是科學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家，在數(shù)學(xué)上被稱為莎士比亞。據(jù)統(tǒng)計(jì)，他不知疲倦的一生寫了886本書和論文，其中分析、代數(shù)和數(shù)論占40%，幾何占18%，物理和力學(xué)占28%，天文學(xué)占14%。彼得堡科學(xué)院為了整理他的作品忙了47年。18世紀(jì)在數(shù)學(xué)史上被稱為“歐拉時(shí)代”。

圖4歐拉和圣彼得堡大學(xué)

由于他的巨大成就，歷史學(xué)家將歐拉與阿基米德、牛頓和高斯并列為數(shù)學(xué)史上的“四大大師”。如今，歐拉的名字幾乎可以在數(shù)學(xué)的每個(gè)領(lǐng)域看到——初等幾何的歐拉線、三維解析幾何的歐拉變換公式、數(shù)論的歐拉函數(shù)、微分方程的歐拉多邊形曲線、復(fù)變函數(shù)的歐拉公式...1748年，歐拉以他的第一部溝通微積分和初等數(shù)學(xué)的分析著作——《無窮小分析導(dǎo)論》獲得“分析的化身”稱號；1776年發(fā)表《曲面上的曲線研究》，這是歐拉對微分幾何最重要的貢獻(xiàn)，也是微分幾何發(fā)展史上的里程碑。1748年，歐拉提出歐拉恒等式，建立了數(shù)論與分析的聯(lián)系，使用微積分研究數(shù)論成為可能。歐拉成為解析數(shù)論的創(chuàng)始人。

圖5四位數(shù)學(xué)大師

說起歐拉，他晚年的數(shù)學(xué)創(chuàng)業(yè)史是一部令人難忘的人類奮斗史。歐拉失明后，口述內(nèi)容，學(xué)生和兒子寫，以這種極其困難的方式堅(jiān)持了17年。不可思議的是，這一時(shí)期完成的數(shù)學(xué)成果相當(dāng)于他一生研究成果的一半。同時(shí)，在這段時(shí)間里，歐拉仍然堅(jiān)持培養(yǎng)學(xué)生。他以自己在歐洲的高尚品格和淵博學(xué)識為榮，被歐洲所有數(shù)學(xué)家視為最受尊敬的老師。拉普拉斯曾經(jīng)說過，“歐拉是我們的導(dǎo)師”。

第三，約翰·卡爾·弗里德里?！じ咚埂踝拥尿湴?/p>

18世紀(jì)的歐拉成了數(shù)學(xué)上的“噩夢”。很多人研究了半輩子的問題，卻發(fā)現(xiàn)歐拉早就解決了。而數(shù)學(xué)家開始忘記歐拉主導(dǎo)的恐懼，上帝派高斯。如果你對高斯的印象還停留在解老師苦思良久的N項(xiàng)之和，用正七邊形尺子畫圖，那就不夠了。畢竟這些只能算是高斯青年的前功盡棄。

圖6高斯

高斯是個(gè)多面手?jǐn)?shù)學(xué)家。他的數(shù)學(xué)研究幾乎涵蓋了所有領(lǐng)域，如數(shù)論、代數(shù)、非歐幾何、復(fù)變函數(shù)、微分幾何等。以他的名字“高斯”命名的成果多達(dá)110項(xiàng)，在數(shù)學(xué)家中是最高的。高斯首先證明了“二次倒數(shù)定律”，開辟了數(shù)論中“代數(shù)數(shù)論”的全新領(lǐng)域。1801年的《算術(shù)研究》一書奠定了現(xiàn)代數(shù)論的基礎(chǔ)；《曲面的一般研究》一書系統(tǒng)地闡述了空之間曲面的微分幾何，包括高斯曲面等。......

圖7

高斯的精彩故事遠(yuǎn)不止這些:比如雅可比在橢圓函數(shù)領(lǐng)域做了大量的研究工作，然后他把自己的研究成果展示給高斯，但高斯每次都能從辦公桌上拿出一堆手稿，向雅可比證明“你剛才說的我已經(jīng)發(fā)現(xiàn)了”；高斯也是最早懷疑歐幾里得幾何的人之一。1833年左右，匈牙利數(shù)學(xué)家喬治·w·波爾約獨(dú)立發(fā)表了非歐幾何。老波爾約送高斯他兒子的成就，沒想到高斯回信了:我不能夸他，因?yàn)榭渌褪强湮易约?。因?yàn)楦咚孤暦Q他在30年前得到了同樣的結(jié)論，他沒有發(fā)表，因?yàn)樗c同時(shí)代的人相反。

第四，亨利·龐加萊——最后一位全才數(shù)學(xué)家

龐加萊是19世紀(jì)末20世紀(jì)初公認(rèn)的領(lǐng)先數(shù)學(xué)家，也是最后一個(gè)對數(shù)學(xué)及其應(yīng)用有全面了解的人。龐加萊的研究涉及許多領(lǐng)域，如數(shù)論、代數(shù)、幾何、拓?fù)鋵W(xué)、數(shù)學(xué)物理、多元復(fù)變函數(shù)理論等。他在數(shù)學(xué)方面的杰出工作對20世紀(jì)和今天的數(shù)學(xué)產(chǎn)生了深遠(yuǎn)的影響。那有人曾經(jīng)說過:把一個(gè)微分幾何學(xué)家和一般相對論者從睡眠中搖醒，問他龐加萊引理是什么。如果他答不出來，那他一定是假的。當(dāng)然，最重要的是最近引起轟動(dòng)的龐加萊猜想。

圖8龐加萊

在大學(xué)里，龐加萊很欣賞伽羅瓦的偉大作品，所以他學(xué)習(xí)他的作品和李群的知識。這使得龐加萊不僅看到了群論在研究方程中的作用，也認(rèn)識到了伽羅瓦理論在揭示幾何、代數(shù)和數(shù)論之間更深層次的內(nèi)在聯(lián)系方面的意義。同時(shí)，喜歡新思想的龐加萊也注重羅巴切夫斯基等人的非歐幾何，以及柯西和黎曼的復(fù)變函數(shù)。這種在大學(xué)里廣泛的興趣和學(xué)習(xí)，為龐加萊以后在很多方面的貢獻(xiàn)打下了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。

圖9

大學(xué)畢業(yè)后，龐加萊選擇了工科，但憑借他強(qiáng)大的數(shù)學(xué)功底，很快在微分方程領(lǐng)域取得了成就，獲得了卡昂大學(xué)講師、后來巴黎大學(xué)教授的職位。在研究微分方程的過程中，龐加萊開始關(guān)注自同構(gòu)函數(shù)。雖然受到時(shí)代的批判，但數(shù)學(xué)的發(fā)展表明，龐加萊的自治函數(shù)理論揭示了分析與幾何、代數(shù)、數(shù)論之間深刻的內(nèi)在聯(lián)系，充分體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的統(tǒng)一性，對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的發(fā)展產(chǎn)生了很大的影響，使龐加萊成為自治函數(shù)理論的創(chuàng)始人之一。利用自同構(gòu)函數(shù)和后三體問題對微分方程穩(wěn)定性的研究使他成為法國科學(xué)院院士。之后，龐加萊研究了拓?fù)鋵W(xué)，創(chuàng)立了拓?fù)鋵W(xué)的一系列基本方法和概念，提出了同調(diào)群、基本群等重要的拓?fù)洳蛔兞?，幾乎一人完成了早期拓?fù)鋵W(xué)的創(chuàng)建，可謂是一大貢獻(xiàn)。

5.大衛(wèi)·希爾伯特——無冕之王

經(jīng)過慎重考慮，我決定加希爾伯特，一個(gè)數(shù)學(xué)大牛。被稱為“數(shù)學(xué)無冕之王”的希爾伯特，在20世紀(jì)初開創(chuàng)了數(shù)學(xué)大發(fā)展的時(shí)代。他在20世紀(jì)初提出的23個(gè)數(shù)學(xué)問題被認(rèn)為是20世紀(jì)數(shù)學(xué)的最高點(diǎn)。此外，他還領(lǐng)導(dǎo)了德國哥廷根學(xué)派，使其成為當(dāng)時(shí)世界數(shù)學(xué)研究的中心。

圖10希爾伯特

希爾伯特對數(shù)學(xué)的貢獻(xiàn)是多方面的。他的研究領(lǐng)域包括代數(shù)不變量、代數(shù)數(shù)域、幾何基礎(chǔ)、變分方法、積分方程、無窮維空、一般數(shù)學(xué)基礎(chǔ)等。當(dāng)然，影響最大的貢獻(xiàn)是著名的幾何基礎(chǔ)和“23個(gè)數(shù)學(xué)問題”，它們貫穿了20世紀(jì)乃至現(xiàn)在的整個(gè)數(shù)學(xué)，其深遠(yuǎn)的影響是不可估量的。

圖11重力方程

希爾伯特的眾多故事中，有一個(gè)與廣義相對論有關(guān)。愛因斯坦在研究廣義相對論的時(shí)候，當(dāng)時(shí)需要深入、前沿的數(shù)學(xué)理論，所以找不到正確的方程來描述引力。于是愛因斯坦找到了希爾伯特，和他討論了廣義相對論。作為一名數(shù)學(xué)家，希爾伯特憑借其高超的數(shù)學(xué)技巧，通過變分原理迅速推導(dǎo)出了引力場方程的正確形式。但希爾伯特并沒有和愛因斯坦?fàn)帄Z發(fā)現(xiàn)引力場方程的優(yōu)先權(quán)。希爾伯特曾經(jīng)說過，“哥廷根的任何一個(gè)孩子都比愛因斯坦更懂黎曼幾何，但愛因斯坦是唯一發(fā)現(xiàn)相對論的人”?？梢娤柌氐男貞押蛯Ω缤⒏男判摹?/p>

數(shù)學(xué)發(fā)展至今，體系不斷壯大，數(shù)學(xué)內(nèi)部的分工也越來越細(xì)化。然而，當(dāng)我們回顧歷史時(shí)，我們總能發(fā)現(xiàn)牛頓、萊布尼茨、歐拉、高斯、龐加萊、希爾伯特，以及許多著名的杰出數(shù)學(xué)家，如笛卡爾、黎曼、安德雷·柯爾莫哥洛夫等。，已經(jīng)廣泛涉及數(shù)學(xué)的許多方面。分析、代數(shù)、數(shù)論、幾何、拓?fù)鋵W(xué)，以及不同思維的相互啟發(fā)和印證，對于數(shù)學(xué)的研究是非常重要的，另一方面，我們呼吁培養(yǎng)和探索更多像笛卡爾、牛頓、龐加萊這樣的天才數(shù)學(xué)家，他們能夠指導(dǎo)一個(gè)時(shí)代的數(shù)學(xué)發(fā)展。

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