基于聲學(xué)的聲波方程的推導(dǎo)來源于理想流體介質(zhì)的三個基本方程:運動方程、連續(xù)性方程和狀態(tài)方程(絕熱過程)。關(guān)于流體力學(xué)還有三個方程，分別是質(zhì)量守恒方程、動量守恒方程(N-S方程)和能量守恒方程。其實在絕熱過程中，小擾動下的流體方程也可以由聲學(xué)方程推導(dǎo)出來。

質(zhì)量守恒:

Euler觀點推導(dǎo)：單位時間內(nèi)穿過界面S 流出的質(zhì)量，等于單位時間內(nèi)體積V 內(nèi)質(zhì)量的減少； Lagrange觀點推導(dǎo)：體積V 內(nèi)流體質(zhì)量在運動過程中不變

根據(jù)雷諾輸運定理，上述兩個關(guān)系是等價的:體積V中總物理量在某一時刻的時間變化率等于V 空之間區(qū)域內(nèi)物理量的時間變化率與單位時間內(nèi)通過V 空之間邊界的物理量凈通量之和。

動量守恒(N-S方程)；

Lagrange觀點推導(dǎo)：體積V 內(nèi)的總動量隨時間變化率等于總體積力和總面力之和。 Euler觀點推導(dǎo)：體積V 內(nèi)的動量變化與流出體積V 的動量變化率之和等于總體積力和總面力之和。

同樣，根據(jù)雷諾輸運定理，上述兩種觀點是等價的。

能量守恒:

這里引用一個表達式:內(nèi)能和動能之和隨時間的變化率等于外功和換熱功之和。

根據(jù)動量守恒:動能變化率+應(yīng)力功率=外力功率

結(jié)合以上兩個公式，展開應(yīng)力，去掉積分符號

第一、二項是總內(nèi)能隨時間的變化率in 空，第三項是傳導(dǎo)熱和輻射熱，右邊第一項是應(yīng)力，右邊第二項是外熱源。

上述方程由熱力學(xué)方程轉(zhuǎn)換而來:

這里要注意的是，這里的內(nèi)能e和熱力學(xué)中常用的內(nèi)能符號u是同一個物理量。

我認為內(nèi)能E相當于熱力學(xué)中的Q，因為壓強做的功已經(jīng)包含在應(yīng)力項里了。

根據(jù)熱力學(xué)轉(zhuǎn)換關(guān)系

根據(jù)麥克斯韋關(guān)系

根據(jù)下面的定義，可以推導(dǎo)出能量守恒的本構(gòu)關(guān)系(這里要注意，體積膨脹系數(shù)中的v可以轉(zhuǎn)化為密度倏，我們認為質(zhì)量守恒，體積與密度成反比)。

聲波方程的推導(dǎo)

我們認為介質(zhì)中的聲波是微小的擾動，可以假設(shè)

代入質(zhì)量守恒和動量守恒方程，省略二階小量

那么，如何用能量守恒方程來寫方程呢？在這里，《聲學(xué)基礎(chǔ)》認為聲波過程進行得比較快，體積壓縮膨脹過程比熱傳導(dǎo)花費的時間少得多，聲波過程可以認為是絕熱過程，所以《聲學(xué)基礎(chǔ)》用絕熱過程的狀態(tài)方程來推導(dǎo)。

如何推導(dǎo)絕熱過程的狀態(tài)方程？絕熱過程不與外界交換熱能，上述熱能E(熱力學(xué)Q)為0

根據(jù)理想氣體(這個前提很關(guān)鍵)

有一個結(jié)論，在理想氣體下，內(nèi)能u只是t的函數(shù)(可以證明)，所以可以推導(dǎo)

可以得到絕熱過程的狀態(tài)方程

為了與上述變量一致，體積被轉(zhuǎn)換成密度

而不是擾動，此時的密度是擾動(小量)

結(jié)合質(zhì)量守恒和動量守恒方程，可以得到聲波方程

由流體方程導(dǎo)出的線性聲學(xué)方程僅限于理想介質(zhì)中的線性聲學(xué)。

理想氣體假設(shè)和絕熱過程是推導(dǎo)線性聲學(xué)方程的關(guān)鍵。什么時候會出現(xiàn)明顯的非線性？壓力功包括壓力變化做功嗎？

參考:

熱力學(xué)方程在計算熱力學(xué)函數(shù)中的應(yīng)用(朱)

流體力學(xué)控制方程(Xi交通大學(xué)航空航天學(xué)院王獻)

公式Cp=Cv+nR(物理論壇)的推導(dǎo)我看不懂

熱量傳遞的熱力學(xué)描述...

https://www.zhihu.com/search?類型=內(nèi)容和；Q=流體方程的推導(dǎo)(id:生活在現(xiàn)實中)

https://blog . csdn . net/HJ 199404182515/article/details/88616824