我們知道數(shù)字的平方總是正數(shù)，10的2次方是正數(shù)100，負(fù)數(shù)10的2次方或正數(shù)100。

所以可以理所當(dāng)然地認(rèn)為，只有正數(shù)才有平方根，負(fù)數(shù)是沒有平方根的。但數(shù)學(xué)家們在進(jìn)行計(jì)算的時(shí)候，其實(shí)經(jīng)常會(huì)碰到負(fù)數(shù)的平方根。比如說，有沒有可能找出兩個(gè)數(shù)字，讓它們加起來等于10，乘積等于40呢？在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)來看，答案是不存在的。但如果允許負(fù)數(shù)的平方根存在的話，那我們就可以找出一個(gè)答案，只不過這個(gè)答案中會(huì)包含根號(hào)-15這個(gè)奇怪的數(shù)字。數(shù)學(xué)家給負(fù)數(shù)的平方根起了個(gè)名字，跟實(shí)數(shù)相對應(yīng)，叫虛數(shù)，還規(guī)定，根號(hào)-1叫i，這樣的話，根號(hào)-20就是20i，根號(hào)-15就是15i。

虛數(shù)

但虛數(shù)這個(gè)東西，實(shí)在是看不出它有什么意義，所以即使它在數(shù)學(xué)計(jì)算里大量出現(xiàn)，數(shù)學(xué)家們一開始還是不承認(rèn)它的名分。比如著名的數(shù)學(xué)家歐拉就說，虛數(shù)是想象出來的數(shù)，是不可能存在的，它們什么都不是，純屬虛幻。不過話雖這么說，歐拉該用虛數(shù)的時(shí)候還是用，因?yàn)閷?shí)在沒辦法，不用的話，很多計(jì)算根本無法進(jìn)行。

空間中的數(shù)

虛數(shù)的這種尷尬地位持續(xù)了整整有200多年，最后還是兩個(gè)業(yè)余數(shù)學(xué)家給了它一個(gè)名分。這倆人一個(gè)是測繪員，一個(gè)是會(huì)計(jì)師，他倆從幾何的角度，給虛數(shù)做了這樣一個(gè)解釋：你看啊，我們平常說的“數(shù)軸”，一般就是畫一條橫線，然后標(biāo)上一個(gè)零點(diǎn)，左邊是負(fù)數(shù)，右邊是正數(shù)。那虛數(shù)如果要在數(shù)軸上找一個(gè)位置，應(yīng)該怎么找呢？這兩位說，在這條橫線上，那肯定是找不到的，我們應(yīng)該在零點(diǎn)處畫一條跟橫軸垂直的縱軸，也標(biāo)上1、2、3、4……只不過這條線是代表虛數(shù)，所以其實(shí)是1i、2i、3i……這樣一來，兩條線組成一個(gè)坐標(biāo)系，所有的數(shù)字，就都能在這個(gè)坐標(biāo)系里找到了。比如15i，也就是根號(hào)-15，就在坐標(biāo)軸里的縱軸上，如果是20+根號(hào)-15，那就在橫軸上找到20，縱軸上找到15i，然后二者一交會(huì)，就能在坐標(biāo)軸里找到這個(gè)數(shù)字。

坐標(biāo)軸

你肯定想問，道理我都懂，但這個(gè)虛數(shù)不還是沒用嗎？其實(shí)，虛數(shù)還真有用，而且有大用處。我們可以用虛數(shù)，來把時(shí)間和空間結(jié)合起來，構(gòu)建出一套四維空間的幾何學(xué)。而這套幾何學(xué)會(huì)讓我們發(fā)現(xiàn)，時(shí)間和空間并不是絕對獨(dú)立的，也不是恒定不變的。如果你對物理學(xué)比較熟悉就會(huì)發(fā)現(xiàn)，這個(gè)觀點(diǎn)就是愛因斯坦相對論的雛形。

虛數(shù)有用嗎

維度

我們生活的世界，在空間上是一個(gè)三維世界，意思就是說，確定任何一個(gè)位置，無論你采用哪種方法，都至少需要三個(gè)維度的數(shù)據(jù)才能確定，比如經(jīng)度、緯度和高度。但如果我們要確定某件事情的具體狀況，那光有空間還不夠，還得加上另一個(gè)維度，時(shí)間。比方說，在2017年9月24日晚上10點(diǎn)，北京市海淀區(qū)下了一場雨，這才能準(zhǔn)確地說出一個(gè)具體的事件。所以，我們需要四個(gè)維度，才能準(zhǔn)確地確定某件事的時(shí)空位置。也就是說，我們生活在一個(gè)四維的時(shí)空世界中。

但如果要把時(shí)間看成是第四維度，就必須要面對一個(gè)問題，就是怎么才能把時(shí)間和空間聯(lián)系到一起進(jìn)行計(jì)算呢？比如說，我們怎么才能測量一個(gè)四維時(shí)空里兩個(gè)事件之間的距離呢？如果要測量長寬高，那我們可以用統(tǒng)一的單位，比如多少米、多少英尺。但如果要測量時(shí)間的話，就只能用小時(shí)、分鐘、年這些計(jì)量單位。那1米跟1小時(shí)，怎么結(jié)合？

測量

乍看起來，這個(gè)問題就跟負(fù)數(shù)的平方根一樣，毫無意義，但其實(shí)也有辦法解決。舉個(gè)例子。如果你出門問路，說地鐵站還有多遠(yuǎn)??？那人家可能會(huì)跟你說，有點(diǎn)遠(yuǎn)，走路還要20分鐘，你不如騎個(gè)共享單車，5分鐘就到了。這就是一個(gè)典型的，用時(shí)間來表示距離的辦法。我們只要找到一個(gè)確定的速度，就可以把時(shí)間轉(zhuǎn)換成空間。那怎么找到這個(gè)確定的速度呢？你可能已經(jīng)想到了，就是光速。科學(xué)家已經(jīng)發(fā)現(xiàn)，光在真空中的傳播速度是恒定的，不受任何情況的影響。如果我們把光速和時(shí)間結(jié)合到一起，就可以得到一個(gè)距離單位，比如光年就是一個(gè)距離單位，代表光在一年時(shí)間內(nèi)傳播的距離。如果我們要計(jì)算5分鐘相當(dāng)于多遠(yuǎn)，那就用5分鐘乘以光速，就能得到一個(gè)距離。

超正方體

現(xiàn)在所有的工具都全了，我們看看科學(xué)家是如何確定四維時(shí)空里，兩個(gè)事件的距離的。測量兩個(gè)事件在空間上的距離很簡單，而時(shí)間上的距離剛才也說了，我們可以測出兩個(gè)事件之間的時(shí)間間隔，然后乘以光速，就能得到一個(gè)距離。

關(guān)鍵在于，時(shí)間和空間，畢竟還是不一樣的兩種東西。不能把這兩個(gè)結(jié)果簡單地加在一起，那樣是沒有意義的。這兩個(gè)距離必須要有所區(qū)分，顯示出不同才行。那怎么區(qū)分呢？科學(xué)家想了個(gè)辦法：建立一個(gè)坐標(biāo)系，然后把空間距離當(dāng)做橫軸，時(shí)間距離當(dāng)成縱軸，這樣一來，四維時(shí)間里的距離，就既有空間意義，也有時(shí)間意義，能把兩者完美地結(jié)合到一起。

維度之外

聽到這個(gè)坐標(biāo)軸，你應(yīng)該想起了剛才說到的虛數(shù)吧？沒錯(cuò)，在這種計(jì)算中，虛數(shù)就發(fā)揮了重要的作用。因?yàn)榇頃r(shí)間距離的那根縱軸，實(shí)際上就相當(dāng)于虛數(shù)軸。在四維空間的計(jì)算中，時(shí)間距離前面，是要乘以i的，也就是乘以根號(hào)負(fù)1，以顯示出時(shí)間和空間的本質(zhì)不同。

計(jì)算

利用虛數(shù)將時(shí)間和空間結(jié)合在一起，組成坐標(biāo)系之后，科學(xué)家發(fā)現(xiàn)了一個(gè)非常奇異的現(xiàn)象：我們平常所說的兩個(gè)事件之間的時(shí)間距離和空間距離，其實(shí)可以看作是四維距離在時(shí)間和空間這兩根坐標(biāo)軸上的投影。這么一來，一旦旋轉(zhuǎn)這個(gè)四維坐標(biāo)系，就可以讓時(shí)間和距離相互轉(zhuǎn)化。從這一點(diǎn)出發(fā)，我們會(huì)發(fā)現(xiàn)，時(shí)間和空間都不是恒定不變的，而是跟物體的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)有關(guān)。什么意思呢？一個(gè)靜止的人，和一個(gè)高速運(yùn)動(dòng)的人，時(shí)間在他們身上流逝的快慢是不同的。這就相當(dāng)于運(yùn)動(dòng)旋轉(zhuǎn)了時(shí)空坐標(biāo)系，因此改變了四維距離在時(shí)空坐標(biāo)軸上的投影。聽到這里，你可能已經(jīng)意識(shí)到了，這不就是狹義相對論嘛。也就是說，數(shù)學(xué)家們曾經(jīng)以為沒用的虛數(shù)，在相對論的計(jì)算中就派上了一個(gè)大用場。人們恍然間發(fā)現(xiàn)，原來看似毫無意義的虛數(shù)之下，居然隱藏著如此重要的意義。