最小二乘法，這名詞看著挺專業(yè)的，一用上就感覺自己的水平好像莫名其妙高出了一個檔次似的，但具體使用的時候，覺得又沒深奧到哪里去，甚至和之前做過的東西有點(diǎn)重疊

不廢話，直接舉個例子：

我們有兩列數(shù)據(jù)，目前我們猜他們之間可能是有關(guān)聯(lián)的，但又不清楚它們是怎么關(guān)聯(lián)在一起的，數(shù)據(jù)如下：

為了能看得清楚點(diǎn)，咱畫個散點(diǎn)圖表示表示：

為了能總結(jié)出一個方便后續(xù)使用的規(guī)律，咱需要沿著這些點(diǎn)的分布畫條線，最好能再總結(jié)出個公式來，后續(xù)當(dāng)咱有了（X）的數(shù)據(jù)后，就可以直接通過Y=f（X）做個預(yù)估了

這時候問題就來了，姑且不要說線有很多種，哪怕形式最簡單如直線，咱還得判斷下這條直線畫在圖上哪個位置最合適不是？

雖說之前在線性擬合那篇里，咱已經(jīng)有了直接計(jì)算直線系數(shù)的公式和工具，但是為了解釋今天的最小二乘法，我還是用線性規(guī)劃求解再操作一下

首先，咱先確定下公式的形式，直線的話是Y=aX+b，需要求的系數(shù)是a和b，所以，咱先留出試算系數(shù)的位置：

然后，放入公式Y(jié)=aX+b，此時因?yàn)橄禂?shù)是空的，計(jì)算結(jié)果都是0

再然后，我們加一列計(jì)算殘差值，殘差等于用公式估計(jì)出來的Y值減原本真實(shí)的數(shù)值

為了說明問題，我先隨便在系數(shù)a和b那里打了兩個數(shù)字進(jìn)去，試算出來的結(jié)果像這樣：

如果我們希望畫出來的線最接近原來的點(diǎn)，那自然是想讓所有的殘差都盡可能的小，而一次性評判所有的殘差總歸有點(diǎn)難度，所以為了簡化問題，我們可以把殘差加起來，只要他們的總和最小，那相應(yīng)得到的系數(shù)就最符合我們的期望

但大家可以看到，殘差這個地方的數(shù)據(jù)，計(jì)算出來是有正有負(fù)的，如果直接全部加一塊兒，正負(fù)抵消的話，計(jì)算總和就沒效果了，而所謂最小二乘法，就是在這個基礎(chǔ)上做的一種改進(jìn)的算法，把所有殘差先平方，再全部加起來，這樣計(jì)算出來的總和最小的時候，就能得到我們要的系數(shù)a和b，具體操作：

計(jì)算一個殘差平方和的總數(shù)（此處是數(shù)組公式）

打開規(guī)劃求解工具（沒裝過這個加載項(xiàng)的可以參考下鏈接，雖然那篇寫得也不算特完整）：

規(guī)劃求解鏈接：

需要填寫的地方請重點(diǎn)關(guān)注下圖的三個紅色圈圈

填好了點(diǎn)求解，得到結(jié)果：

由于Excel自行做線性擬合的時候用的就是這個算法，所以規(guī)劃求解的結(jié)果和在散點(diǎn)圖上添加趨勢線是一樣的，不信邪的兄弟們可以比對下：

那恐怕有人要問了，既然Excel有提供方便的工具給我們，我們是不是就不用記著這么麻煩的做法了？？

對于這個問題，我個人的看法是，有方便那當(dāng)然是按方便的法子來，但如果沒有呢？

比如說，現(xiàn)在這個圖形雖然用直線可以畫出來一個趨勢，但感覺直線畫出來的結(jié)果并不好，相關(guān)系數(shù)R2才0.64，咱如果嘗試下改成曲線呢？

還是先定義個線條的公式形式，比如這次嘗試下Y=aX^2+bX+c，規(guī)劃求解的過程跟上面類似，只要改幾個地方就行

1） 改動一：系數(shù)區(qū)域增加個空系數(shù)c

2） 改動二：公式Y(jié)=aX+b那列改成新的公式

3） 改動三：規(guī)劃求解里面的系數(shù)區(qū)域（可變單元格）

什么？你問殘差那地兒要不要改？

不用的，不管是直線還是曲線，最小二乘法的最終要求都是殘差平方和最小，所以殘差那片兒都不用動，看下求解的結(jié)果：

相關(guān)系數(shù)R2可以用殘差數(shù)據(jù)和真實(shí)數(shù)值直接計(jì)算：

當(dāng)然，有興趣的可以再對照下趨勢線看看，計(jì)算結(jié)果稍稍的有點(diǎn)差異，不過差得不多

小小的總結(jié)下：這個方法雖然早就被融合在Excel自帶的一些計(jì)算工具里，但是如果單獨(dú)拿出來理解并使用的話，能拓展出其他的可能性，我們可以通過嘗試各種公式的形式來看是否能得到更好的擬合效果

今天寫的感覺跟之前的內(nèi)容確實(shí)有點(diǎn)類似，但好像比以前整理得通順點(diǎn)了呢~~