5.3 計算數(shù)據(jù)

參考視頻: 5 - 3 - Computing on Data (13 min).mkv

現(xiàn)在，你已經(jīng)學(xué)會了在 Octave 中如何加載或存儲數(shù)據(jù)，如何把數(shù)據(jù)存入矩陣等等。在這段視頻中，我將介紹如何對數(shù)據(jù)進(jìn)行運算，稍后我們將使用這些運算操作來實現(xiàn)我們的學(xué)習(xí)算法。

這是我的 Octave 窗口，我現(xiàn)在快速地初始化一些變量。比如設(shè)置 A 為一個 3×2 的矩陣，設(shè)置 B 為一個 3 × 2 矩陣，設(shè)置 C 為 2 × 2 矩陣。

我想算兩個矩陣的乘積，比如說 A × C，我只需鍵入 A×C，這是一個 3×2 矩陣乘以2×2 矩陣，得到這樣一個 3×2 矩陣。

你也可以對每一個元素，做運算 方法是做點乘運算 A .*B，這么做 Octave 將矩陣 A 中的每一個元素與矩陣 B 中的對應(yīng)元素相乘A .* B

這里第一個元素 1 乘以 11 得到 11，第二個元素 2 乘以 12 得到 24，這就是兩個矩陣的元素位運算。通常來說，在 Octave 中點號一般用來表示元素位運算。

這里是一個矩陣 A，這里我輸入 A .^ 2，這將對矩陣 A 中每一個元素平方。

我們設(shè) V 是一個向量，設(shè)V 為 [1; 2; 3] 是列向量，你也可以輸入 1 ./ V，得到每一個元素的倒數(shù)，所以這樣一來，就會分別算出 1/1 1/2 1/3。

矩陣也可以這樣操作，1 ./ A 得到 A 中每一個元素的倒數(shù)。同樣地，這里的點號還是表示對每一個元素進(jìn)行操作。

我們還可以進(jìn)行求對數(shù)運算，也就是對每個元素進(jìn)行求對數(shù)運算。

還有自然數(shù) e 的冪次運算，就是以e 為底，以這些元素為冪的運算。

我還可以用 abs 來對 v 的每一個元素求絕對值，當(dāng)然這里 v 都是正數(shù)。我們換成另一個這樣對每個元素求絕對值，得到的結(jié)果就是這些非負(fù)的元素。還有 –v，給出 V 中每個元素的相反數(shù)，這等價于 -1 乘以 v，一般就直接用 -v 就好了，其實就等于 -1*v。

還有一個技巧，比如說 我們想對 v 中的每個元素都加 1，那么我們可以這么做，首先構(gòu)造一個 3 行 1 列的 1 向量，然后把這個 1 向量跟原來的向量相加，因此 v 向量從[1 2 3]

增至 [2 3 4]。我用了一個，length(v) 命令，因此這樣一來，ones(length(v) ,1) 就相當(dāng)于ones(3,1)，然后我做的是 v + ones(3,1)，也就是將 v 的各元素都加上這些 1，這樣就將 v 的每個元素增加了 1。

另一種更簡單的方法是直接用 v+1，v + 1 也就等于把 v 中的每一個元素都加上 1。

現(xiàn)在，讓我們來談?wù)劯嗟牟僮鳌?/p>

矩陣 A 如果你想要求它的轉(zhuǎn)置，那么方法是用 A’,將得出 A 的轉(zhuǎn)置矩陣。當(dāng)然，如果我寫 (A’)’，也就是 A 轉(zhuǎn)置兩次，那么我又重新得到矩陣 A。

還有一些有用的函數(shù)，比如： a=[1 15 2 0.5]，這是一個 1 行 4 列矩陣， val=max(a)，這將返回 A 矩陣中的最大值 15。

我還可以寫 [val, ind] = max(a)，這將返回 a 矩陣中的最大值存入 val，以及該值對應(yīng)的索引，元素 15 對應(yīng)的索引值為 2 存入 ind，所以 ind 等于 2

特別注意一下，如果你用命令 max(A)， A 是一個矩陣的話，這樣做就是對每一列求最大值。

我們還是用這個例子，這個 a 矩陣 a=[1 15 2 0.5]，如果輸入 a<3，這將進(jìn)行逐元素的運算，所以元素小于 3 的返回 1，否則返回 0。

因此，返回[1 1 0 1]。也就是說，對 a 矩陣的每一個元素與 3 進(jìn)行比較，然后根據(jù)每一

個元素與 3 的大小關(guān)系，返回 1 和 0 表示真與假。

如果我寫 find(a<3)，這將告訴我 a 中的哪些元素是小于 3 的。

設(shè) A = magic(3)，magic 函數(shù)將返回一個矩陣，稱為魔方陣或幻方 (magic squares)，它們具有以下這樣的數(shù)學(xué)性質(zhì)：它們所有的行和列和對角線加起來都等于相同的值。

當(dāng)然據(jù)我所知，這在機器學(xué)習(xí)里基本用不上，但我可以用這個方法很方便地生成一個

3 行 3 列的矩陣，而這個魔方矩陣這神奇的方形屏幕。每一行、每一列、每一個對角線三個數(shù)字加起來都是等于同一個數(shù)。

在其他有用的機器學(xué)習(xí)應(yīng)用中，這個矩陣其實沒多大作用。

如果我輸入 [r,c] = find( A>=7 )，這將找出所有A 矩陣中大于等于 7 的元素，因此，r 和c 分別表示行和列，這就表示，第一行第一列的元素大于等于 7，第三行第二列的元素大于等于 7，第二行第三列的元素大于等于 7。

順便說一句，其實我從來都不去刻意記住這個 find 函數(shù)，到底是怎么用的，我只需要會用 help 函數(shù)就可以了，每當(dāng)我在使用這個函數(shù)，忘記怎么用的時候，我就可以用 help 函數(shù)，鍵入 help find 來找到幫助文檔。

最后再講兩個內(nèi)容，一個是求和函數(shù)，這是 a 矩陣：

鍵入 sum(a)，就把 a 中所有元素加起來了。

如果我想把它們都乘起來，鍵入 prod(a)，prod 意思是 product(乘積)，它將返回這四個

元素的乘積。

floor(a) 是向下四舍五入，因此對于 a 中的元素 0.5 將被下舍入變成 0。

還有 ceil(a)，表示向上四舍五入，所以 0.5 將上舍入變?yōu)樽罱咏恼麛?shù)，也就是 1。 鍵入 type(3)，這通常得到一個 3×3 的矩陣，如果鍵入 max(rand(3), rand(3))，這樣做的

結(jié)果是返回兩個 3×3 的隨機矩陣，并且逐元素比較取最大值。假如我輸入 max(A,[],1)，這樣做會得到每一列的最大值。

所以第一列的最大值就是 8，第二列是 9，第三列的最大值是 7，這里的 1 表示取 A 矩陣第一個維度的最大值。

相對地，如果我鍵入 max(A,[],2)，這將得到每一行的最大值，所以，第一行的最大值是等于 8，第二行最大值是 7，第三行是 9。

所以你可以用這個方法來求得每一行或每一列的最值，另外，你要知道，默認(rèn)情況下max(A)返回的是每一列的最大值，如果你想要找出整個矩陣 A 的最大值，你可以輸入max(max(A))，或者你可以將 A 矩陣轉(zhuǎn)成一個向量，然后鍵入 max(A(:))，這樣做就是把 A 當(dāng)做一個向量，并返回 A 向量中的最大值。

最后，讓我們把 A 設(shè)為一個 9 行 9 列的魔方陣，魔方陣具有的特性是每行每列和對角線的求和都是相等的。

這是一個 9×9 的魔方陣，我們來求一個 sum(A,1)，這樣就得到每一列的總和， 這也驗證了一個 9×9 的魔方陣確實每一列加起來都相等，都為 369。

現(xiàn)在我們來求每一行的和，鍵入 sum(A,2)，這樣就得到了 A 中每一行的和加起來還是

369。

現(xiàn)在我們來算 A 的對角線元素的和。我們現(xiàn)在構(gòu)造一個 9×9 的單位矩陣， 鍵入 eye(9)

設(shè)為 I9

然后我們要用 A 逐點乘以這個單位矩陣，除了對角線元素外，其他元素都會得到 0。鍵入 sum(sum(A.*eye(9))

這實際上是求得了，這個矩陣對角線元素的和確實是 369。你也可以求另一條對角線的和也是是 369。

flipup/flipud 表示向上/向下翻轉(zhuǎn)。

同樣地，如果你想求這個矩陣的逆矩陣，鍵入 pinv(A)，通常稱為偽逆矩陣，你就把它看成是矩陣 A 求逆，因此這就是 A 矩陣的逆矩陣。

設(shè) temp = pinv(A)，然后再用 temp 乘以 A，這實際上得到的就是單位矩陣，對角線為

1 其他元素為 0。

如何對矩陣中的數(shù)字進(jìn)行各種操作，在運行完某個學(xué)習(xí)算法之后，通常一件最有用的事情是看看你的結(jié)果，或者說讓你的結(jié)果可視化，在接下來的視頻中，我會非常迅速地告訴你， 如何很快地畫圖，如何只用一兩行代碼，你就可以快速地可視化你的數(shù)據(jù)，這樣你就能更好地理解你使用的學(xué)習(xí)算法。