主成分分析法應(yīng)用廣泛，一直是熱門話題。關(guān)于PCA的文章很多，不考慮它的原理，圖形解釋，繪制方法。它還廣泛應(yīng)用于轉(zhuǎn)錄組、種群進(jìn)化、微生物生態(tài)學(xué)，甚至金融和教育。
今天我們簡單介紹一下PCA分析與微生物物種多樣性的關(guān)系。在微生物群落的研究中，正常的PCA圖如圖1所示，一般以二維坐標(biāo)顯示，其中樣本為點，物種為箭頭。
很多常見的PCA圖像因為不顯示所以沒有箭頭，但最原始的PCA圖像其實是有箭頭的。這種圖也叫雙標(biāo)圖，就是一個圖同時顯示物種和樣本。
圖1。典型主成分分析圖
主坐標(biāo)
主成分分析的特點是“主坐標(biāo)”，這在大多數(shù)解釋中都應(yīng)該提到。主要坐標(biāo)是什么？這里有一個簡單的例子，比如表1中物種X樣本的豐度表，包括S1-S6的6個樣本點和A、B、C三個物種，其中S1、S2、S3為一組，另外三個樣本為另一組。
因為在一般的實驗設(shè)計中，樣本是根據(jù)某些性質(zhì)分組的，所以同一組中的物種在理論上會有相似的豐度模式，所以實際上，樣本之間的關(guān)系可以通過一些物種來判斷。從表1中我們可以發(fā)現(xiàn)，不同樣品中A和B物種的豐度是不同的，但是C是相同的，所以我們不能用C來區(qū)分樣品，所以只有A和B適合區(qū)分樣品。
但是A和B的歧視程度是有區(qū)別的。a在所有樣本中跨度較大，表現(xiàn)出前三個樣本和后三個樣本分別聚集的趨勢；B在所有樣本中均勻分布，所以A比B更能區(qū)分樣本分組，這里A更能說明樣本的分布規(guī)律，即“第一主坐標(biāo)”，B是“第二主坐標(biāo)”，C是“第三主坐標(biāo)”，因為區(qū)分度最差。
表1物種多度表
S1
S2
S3
第四心音
表面抗原-5
S6
A
100
90
80
40
30
20
B
45
四十二歲
39
36
33
30
C
80
80
80
80
80
80
群集
PCA的作用其實是通過物種多度模型找到樣本的距離關(guān)系，使同一分組的點在圖中更加接近。怎么做？我們再舉一個簡單的例子。我們使用omicshare工具繪制了上標(biāo)數(shù)據(jù)的三維散點圖，結(jié)果如圖2所示。為了便于解釋，我順便標(biāo)注了三個物種軸A、B、C和所有樣本點。
從圖中可以簡單看出，物種豐富度模式相似的點(如S1、S2、S3)在圖中靠得更近，形成“聚集”效應(yīng)。那么，最極端的是，如果S1，S2，S3都是A: 100，B: 45，C: 80，那么這三點就完全重合了！
圖2。三維效果圖
降維
降維是PCA中最常提到的詞。社區(qū)里檢測到了成千上萬的微生物。前面說過，一個物種是一維的，那么1000個物種就是1000維空。我們正常人是無法識別和理解空這樣的高維的，所以需要把空這樣的高維簡化成三維甚至二維，這樣大家才能明白降維就是這樣。
要理解和實現(xiàn)降維，需要依靠前面的“主坐標(biāo)”概念。我將圖2的三維圖形投影在坐標(biāo)a、b和c上，這是圖3的效果。圖3的本質(zhì)是三維化簡為一維，是一個相對簡單的降維例子。降維后，我們可以將A、B、C三個投影與圖2中的原始三維圖形進(jìn)行對比，發(fā)現(xiàn)A軸上的點聚類模式最能還原原始三維圖形，C軸上的投影還原效果最差(簡直是誤解！)。
原來降維可能失真了！怎么辦？結(jié)合主坐標(biāo)的重要性，我們可以發(fā)現(xiàn)從數(shù)據(jù)表上看A軸的數(shù)據(jù)最有代表性，從降維圖上看A軸的效果也最好。所以我們在降維的時候一定要保證選定的軸是最有代表性的，那么圖形失真的比例自然會降低。
圖3。降維效果圖
坐標(biāo)變換
這部分應(yīng)該是最難理解和解釋的，不打算在這里花太多篇幅。上面說的降維，盡量找最有代表性的物種來顯示圖形作為坐標(biāo)軸，以減少失真效果。但實際上，由于數(shù)據(jù)的復(fù)雜性，很難有一個可以直接作為坐標(biāo)的“已知物種”。這時，我們必須“創(chuàng)造”一個虛假的物種。
在表1的A、B、C三個物種中，A物種很有代表性。但實際數(shù)據(jù)往往如表2所示，A、B、C作為代表物種不是很合適。非得降維，怎么辦？當(dāng)物種足夠多的時候，空之間的維數(shù)會很高。通過空(這個我們無法理解)之間不斷的投影和變換，總會找到一個新的物種坐標(biāo)A '，B '。
算法上，A '和B '是通過分解其他物種合成的。不存在，但在映射中最有代表性。這類似于圖4中的投影。我們不斷的移動燈泡位置，總能找到白紙上一個點最合理的投影。這時候白紙的坐標(biāo)就是我們說的新合成的坐標(biāo)。
表2 .物種多度表
S1
S2
S3
第四心音
表面抗原-5
S6
A
100
56
60
43
20
0
B
20
22
64
54
40
12
C
80
35
55
97
九
43
圖4。燈泡投影效應(yīng)
實際應(yīng)用
不可忽視的一點是，PCA在社區(qū)研究中的應(yīng)用越來越少，這主要與其線性模型有關(guān)。它會默認(rèn)所有物種都沿著環(huán)境梯度線性變化，但實際上是不可能的(如果你對線性解釋感興趣，可以自行搜索)。要解決這個問題，需要CA，PCoA等方法。
另外，由于PCA的線性特征，會過分強調(diào)優(yōu)勢種在群落中的作用。在稀有物種較多的樣品(如環(huán)境土壤樣品)中，PCA的分析效果可能很差，值得注意。
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