高等數(shù)學(xué)中各積分的計(jì)算圖

[注]對(duì)于一些特殊的三重積分、面積的曲面積分、弧長的曲線積分、二重積分，可以直接將基于單元的方法轉(zhuǎn)化為定積分。

1.弧長的曲線積分計(jì)算方法

一般采用直接計(jì)算法，即寫出曲線的參數(shù)方程，被積函數(shù)表達(dá)式轉(zhuǎn)化為定積分的方法直接用圓弧微分計(jì)算公式代替。注意定積分的下限小于上限，借助其實(shí)際意義，用單元法將其轉(zhuǎn)化為其他類型的積分也可完成計(jì)算。

詳情見文章:

●弧長曲線積分計(jì)算的思路、步驟和典型實(shí)例

2.坐標(biāo)曲線積分的計(jì)算方法

(1)直接計(jì)算法，將參數(shù)方程的表達(dá)式直接代入，轉(zhuǎn)換成定積分計(jì)算的方法。注意積分的下限是起點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)，上限是終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的參數(shù)。

(2)兩類曲線積分的關(guān)系。注意方向余弦組成的切向量的方向。

(3)格林公式，當(dāng)積分曲線在空之間時(shí)，使用格林公式(注意三個(gè)條件:封閉性、方向性的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù))

(4)積分與路徑無關(guān)(格林公式)。

詳情見文章:

●坐標(biāo)曲線積分知識(shí)點(diǎn)及公式總結(jié)

●綠色配方及其應(yīng)用步驟和注意事項(xiàng)

●積分與路徑無關(guān)及全微分方程的知識(shí)點(diǎn)及解題思路和步驟

●坐標(biāo)曲線積分參考課件節(jié)選

●綠色公式典型例題和參考課件節(jié)選

●積分與路徑無關(guān)及全微分方程典型例題摘錄及參考課件

●斯托克斯公式及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)和應(yīng)用解題步驟

●斯托克斯公式及其應(yīng)用典型例題參考課件節(jié)選

3.面積的曲面積分計(jì)算方法

一般采用直接計(jì)算法，要求積分面為簡單型，但非簡單型的積分面，借助積分對(duì)積分面積的可加性，分為簡單型，借助面積無窮小的積分變量無窮小的描述形式，轉(zhuǎn)化為二重積分計(jì)算。借助于它的實(shí)際意義，也可以考慮用單元法把它轉(zhuǎn)化為其他類型的積分。對(duì)于面積的曲面積分，只需將曲面視為簡單類型。

詳情見文章:

●面積曲面積分的知識(shí)點(diǎn)和基本計(jì)算步驟

●面積表面積分典型例題和參考課件節(jié)選

4.坐標(biāo)曲面積分的計(jì)算方法

(1)直接計(jì)算法:分別計(jì)算不同坐標(biāo)的曲面積分。考慮到曲面是三種不同的簡單類型，采用直接將泛函表達(dá)式代入二重積分的方法。唯一需要注意的是，法向量與對(duì)應(yīng)坐標(biāo)軸的方向關(guān)系決定了曲面積分直接轉(zhuǎn)化為二重積分。

(2)兩類曲面積分的關(guān)系。注意方向余弦形成的法向量方向要和曲面的法向量方向一致。

(3)利用兩種曲面積分之間的關(guān)系，將三種針對(duì)坐標(biāo)的曲面積分轉(zhuǎn)化為一種針對(duì)坐標(biāo)的曲面積分，這樣只需考慮曲面是簡單類型即可。

(4)高斯公式，當(dāng)積分曲線在空之間時(shí)，采用格林公式(注意三個(gè)條件:封閉性、方向性的連續(xù)性、偏導(dǎo)數(shù))

詳情見文章:

●坐標(biāo)曲面積分的知識(shí)點(diǎn)和基本計(jì)算思路及步驟

●高斯公式及其應(yīng)用的知識(shí)點(diǎn)及應(yīng)用思路和步驟

●坐標(biāo)曲面積分典型例題及參考課件節(jié)選

●高斯公式及其應(yīng)用典型例題和參考課件節(jié)選

5.曲線和曲面積分的直接物理和幾何意義

(1)弧長曲線積分用于計(jì)算曲線的長度和曲面物體的質(zhì)量；坐標(biāo)平面上的曲線積分也可以用來計(jì)算母線平行于另一個(gè)坐標(biāo)軸的圓柱板的面積；用于描述計(jì)算流量和循環(huán)。

(2)坐標(biāo)曲線積分用于計(jì)算功、流量和循環(huán)。

(3)面積的曲面積分用于計(jì)算曲面片的面積和曲面物體的質(zhì)量。

(4)采用坐標(biāo)曲面積分計(jì)算流量。

(5)場論中的三個(gè)重要概念:梯度、散度、旋轉(zhuǎn)。

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