正式介紹

有一天一個(gè)朋友在微信群里問(wèn):幫忙，兒子問(wèn)怎么推導(dǎo)出球表面積和體積的公式，怎么用小學(xué)五年級(jí)能聽(tīng)懂的語(yǔ)言解釋？

這真是個(gè)好問(wèn)題。孩子們對(duì)知識(shí)的渴求不再滿足于死記硬背

想知道背后的原因。孩子還小，還處于理解加減的階段，問(wèn)不出這么深入的問(wèn)題。但是，我相信父母，面對(duì)渴望的孩子，會(huì)無(wú)所不知，無(wú)話不說(shuō)。但是，怎么解釋清楚呢？本文試圖梳理推導(dǎo)過(guò)程，看看能否用初等數(shù)學(xué)來(lái)解釋，這也是一個(gè)挑戰(zhàn)。剪短，慢慢聽(tīng)。

矩形、三角形和梯形區(qū)域

從矩形區(qū)域開(kāi)始。眾所周知，一個(gè)矩形的面積是底*高，直觀上很好理解:這只是在統(tǒng)計(jì)圖形中的小方塊數(shù)。m排小方塊堆砌，每排有N個(gè)，總數(shù)為m * N；每個(gè)小方塊的面積是1，所以總面積是m * n，整數(shù)m，n換成分量數(shù)也是一樣，只是在小方塊里計(jì)數(shù)。

將兩個(gè)三角形或兩個(gè)梯形放在一起，得到一個(gè)矩形。三角形的面積是矩形的一半，即(底*高)/2，而梯形的面積是(上底+下底)*高/2。甚至可以說(shuō)，三角形是梯形面積公式的特例，三角形是上底=0的梯形，矩形是上下底相同的梯形。所以只需要一個(gè)梯形公式就夠了，總結(jié)了三種情況。

照片:兩個(gè)直角梯形拼接成一個(gè)矩形，攝于easycoursesportal.com

大數(shù)學(xué)家高斯計(jì)算1+2+3+的故事恐怕大家都很熟悉...+100=5050他小時(shí)候。高斯使用的算術(shù)數(shù)列求和公式，和=(第一項(xiàng)+最后一項(xiàng))*項(xiàng)數(shù)/2，本質(zhì)上與梯形面積公式相同:第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)分別為上下基，項(xiàng)數(shù)高。這個(gè)例子說(shuō)明數(shù)學(xué)是一個(gè)聯(lián)系廣泛的整體。求級(jí)數(shù)和，求面積和體積，求積分都是一回事，只是符號(hào)不同。

斜三角形面積與祖魯原理

一個(gè)好學(xué)的孩子可能會(huì)馬上指出，上述計(jì)算三角形和梯形面積的方法只適用于直角三角形和直角梯形。為什么一般的“斜三角形和斜梯形”是真的？

簡(jiǎn)單解釋就是斜三角形，它是等底等高的平行四邊形。平行四邊形可以切掉斜角填充到另一邊(有時(shí)可能會(huì)做很多次)，變成等底等高的矩形。所以平行四邊形的面積也是底*高，上面的三角形和梯形公式依然成立。

圖片:平行四邊形面積等于矩形面積，取自mathbits.com

不過(guò)有更好的解釋:對(duì)于任意兩個(gè)高度相同的圖形，如果對(duì)應(yīng)高度的平行剖面線長(zhǎng)度相同，那么它們的面積也相同。這是一個(gè)強(qiáng)大的原理，不限于三角形和梯形。而且在3D 空中也是如此:如果任意兩個(gè)高度相同的物體具有相同的平行截面積，那么它們的體積是相同的。

圖片:根據(jù)祖?zhèn)髟?，左右圖面積相同，取自mathbits.com

這就是著名的祖?zhèn)髟恚赡媳背瘮?shù)學(xué)家祖璇提出。祖璇是中國(guó)古代數(shù)學(xué)的驕傲祖沖之的兒子。在西方數(shù)學(xué)文獻(xiàn)中，這一原理被歸功于17世紀(jì)的意大利數(shù)學(xué)家卡瓦列里。

祠堂的原理不難理解:想象每一個(gè)高度都被一條很細(xì)的長(zhǎng)條覆蓋，長(zhǎng)條的長(zhǎng)度就是這個(gè)高度處的截面長(zhǎng)度，厚度是一個(gè)很小的d，所有長(zhǎng)條的面積加起來(lái)就是圖的面積——有一些小的誤差，但是當(dāng)d->:當(dāng)0時(shí)，誤差降為0，就得到準(zhǔn)確的面積。由于這兩個(gè)圖形的橫截面長(zhǎng)度在每個(gè)高度上是相同的，并且相應(yīng)條帶的面積也是相同的，因此總面積自然也是相同的。上述推理在應(yīng)用于3D 空時(shí)也成立，只要將“截面長(zhǎng)度”替換為“截面面積”即可。

維基百科的詞條給出了一個(gè)有趣的說(shuō)明:想象桌子上有一摞硬幣，摞起來(lái)的圓柱體的體積就是硬幣的總體積(左)。隨意水平移動(dòng)硬幣，得到另一列(右)。新柱的每個(gè)截面積與原柱對(duì)應(yīng)的截面積相同，體積沒(méi)有變化，因?yàn)檫€是那堆硬幣的總體積。這個(gè)例子說(shuō)明了祖?zhèn)髟瓌t的原因。

圖片:摘自維基百科

祖?zhèn)髟砀嬖V我們，平行四邊形的面積等于基底高度相等的矩形的面積，因?yàn)槊總€(gè)高度的截面長(zhǎng)度相等。同理，等底等高的三角形(或梯形)的面積也是相等的，因?yàn)楦鶕?jù)它們的相似性，它們也滿足祖堯原理的條件。

圖:根據(jù)平行線段的比例定理，左右三角形對(duì)應(yīng)高度的截線相等。按照祖?zhèn)鞯脑瓌t，他們面積相等。摘自mathbits.com

圖:三維之間的祖禹原理空:左右物體體積相同。摘自brown.edu

長(zhǎng)方體、棱錐體、圓柱體、圓錐體和平截頭體的體積

現(xiàn)在說(shuō)說(shuō)音量。眾所周知，棱柱或圓柱體的體積=底部面積*高度，而棱錐和圓錐體的體積是底部和高度相同的棱柱或圓柱體的1/3，即底部面積*高度/3。為什么？

利用上面的計(jì)算正方形的方法，我們知道長(zhǎng)方體的體積=底面積*高度。一個(gè)立方體可以被切割成三個(gè)全等的“直角金字塔”，每個(gè)金字塔的底部是立方體的一邊，高度是立方體的邊長(zhǎng)。

照片:摘自math.brown.edu

所以方底方高的金字塔體積是等底等高的棱柱體積的1/3。根據(jù)祖先原理和相似性，很容易把這個(gè)結(jié)論推廣到普通的金字塔和錐體。

計(jì)算球體體積

不耐煩的觀眾可能要等一等:為什么這么久了我們還沒(méi)談球體？好消息是:現(xiàn)在就說(shuō)——因?yàn)闇?zhǔn)備工作已經(jīng)完成。

表面積

說(shuō)到這里，第一個(gè)問(wèn)題已經(jīng)回答了。然而，有兩件事值得一談。第一，不僅球的表面積可以看作球的“底面”，而且球的體積可以用金字塔公式推導(dǎo)出來(lái)；平面上的一個(gè)圓也可以看作是許多高度相同的小三角形的馬賽克，用三角形面積公式=底*高/2計(jì)算。這里，高度是圓的半徑，三角形的底邊之和是周長(zhǎng)。所以圓面積=周長(zhǎng)*高度/2。

這條規(guī)則甚至在更高維度也成立。N維之間的球面體積空有如下優(yōu)美公式:球面體積=球面面積*半徑/n，這里的系數(shù)1/N來(lái)源于N維空中金字塔(學(xué)名為單純形)與對(duì)應(yīng)長(zhǎng)方體(超矩形)的體積關(guān)系?？?，原來(lái)這個(gè)球是一個(gè)底部自動(dòng)關(guān)閉的金字塔，僅此而已。

球表面積的直接計(jì)算

還有一點(diǎn)值得一提的是，是否可以不使用體積直接計(jì)算球的表面積。事實(shí)上，球的表面積與半徑為r、高度為2R的圓柱形側(cè)面積相同。下圖中左邊的球和右邊的圓柱體半徑和高度是一樣的，就是球剛好能裝進(jìn)圓柱體卡住。這個(gè)圓柱體的橫向面積(不包括上下底部)很容易計(jì)算:

我們所知道的球的表面積。

照片:摘自wolfram mathworld

實(shí)際上，球體的表面積與圓柱體的側(cè)向面積是“一一對(duì)應(yīng)”的，任意一對(duì)平行平面所切的球體面積(左淺藍(lán)面積)與圓柱體對(duì)應(yīng)的側(cè)向面積(右淺藍(lán)面積)相等。這件事最早是阿基米德在《論球與圓柱》中寫的，后來(lái)被稱為阿基米德的帽箱定理。

總結(jié)

球體的幾何性質(zhì)是一個(gè)迷人的領(lǐng)域。在這里，我們?cè)噲D用初等數(shù)學(xué)和幾何直覺(jué)來(lái)解釋阿基米德和祖父子是怎樣被先驅(qū)者發(fā)現(xiàn)的。無(wú)法判斷是否達(dá)到了“讓五年級(jí)學(xué)生理解”的目的，但最終還是避開(kāi)了微積分等高級(jí)數(shù)學(xué)語(yǔ)言。個(gè)人認(rèn)為，用簡(jiǎn)單的語(yǔ)言解釋數(shù)學(xué)原理是一個(gè)巨大的挑戰(zhàn)，也是一個(gè)“回歸自然”重新看到隱藏在抽象符號(hào)背后的直觀原理的機(jī)會(huì)。

問(wèn)讀者:這個(gè)推理錯(cuò)誤的原因是什么？

圖:計(jì)算球表面積的錯(cuò)誤方法，轉(zhuǎn)自百度文庫(kù)

本文作者waikok是清華的計(jì)算機(jī)本科和博士研究生，谷歌代碼農(nóng)民，小爸爸。他喜歡讀書，擅長(zhǎng)古文，熱愛(ài)編程，業(yè)余時(shí)間琢磨數(shù)學(xué)。