題目：

什么是有理數(shù),什么是無(wú)理數(shù)

解答：

有理數(shù)（rational number)：能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù).包括整數(shù)和通常所說(shuō)的分?jǐn)?shù),此分?jǐn)?shù)亦可表示為有限小數(shù)或無(wú)限循環(huán)小數(shù).這一定義在數(shù)的十進(jìn)制和其他進(jìn)位制（如二進(jìn)制）下都適用.如3,-98.11,5.72727272……,7/22都是有理數(shù).有理數(shù)還可以劃分為正有理數(shù)、負(fù)有理數(shù)和0.全體有理數(shù)構(gòu)成一個(gè)集合,即有理數(shù)集,用粗體字母Q表示,較現(xiàn)代的一些數(shù)學(xué)書則用空心字母Q表示.有理數(shù)集是實(shí)數(shù)集的子集.相關(guān)的內(nèi)容見數(shù)系的擴(kuò)張.有理數(shù)集是一個(gè)域,即在其中可進(jìn)行四則運(yùn)算（0作除數(shù)除外）,而且對(duì)于這些運(yùn)算,以下的運(yùn)算律成立（a、b、c等都表示任意的有理數(shù)）：①加法的交換律 a+b=b+a；②加法的結(jié)合律 a+(b+c)=(a+b)+c；③存在數(shù)0,使 0+a=a+0=a；④對(duì)任意有理數(shù)a,存在一個(gè)加法逆元,記作-a,使a+(-a)=(-a)+a=0；⑤乘法的交換律 ab=ba；⑥乘法的結(jié)合律 a(bc)=(ab)c；⑦分配律 a(b+c)=ab+ac；⑧存在乘法的單位元1≠0,使得對(duì)任意有理數(shù)a,1a=a1=a；⑨對(duì)于不為0的有理數(shù)a,存在乘法逆元1/a,使a(1/a)=(1/a)a=1.此外,有理數(shù)是一個(gè)序域,即在其上存在一個(gè)次序關(guān)系≤.有理數(shù)還是一個(gè)阿基米德域,即對(duì)有理數(shù)a和b,a≥0,b>0,必可找到一個(gè)自然數(shù)n,使nb>a.由此不難推知,不存在最大的有理數(shù).值得一提的是有理數(shù)的名稱.“有理數(shù)”這一名稱不免叫人費(fèi)解,有理數(shù)并不比別的數(shù)更“有道理”.事實(shí)上,這似乎是一個(gè)翻譯上的失誤.有理數(shù)一詞是從西方傳來(lái),在英語(yǔ)中是rational number,而rational通常的意義是“理性的”.中國(guó)在近代翻譯西方科學(xué)著作,依據(jù)日語(yǔ)中的翻譯方法,以訛傳訛,把它譯成了“有理數(shù)”.但是,這個(gè)詞來(lái)源于古希臘,其英文詞根為ratio,就是比率的意思（這里的詞根是英語(yǔ)中的,希臘語(yǔ)意義與之相同）.所以這個(gè)詞的意義也很顯豁,就是整數(shù)的“比”.與之相對(duì),“無(wú)理數(shù)”就是不能精確表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù),而并非沒有道理. 無(wú)理數(shù)是實(shí)數(shù)中不能精確地表示為兩個(gè)整數(shù)之比的數(shù),即無(wú)限不循環(huán)小數(shù). 如圓周率、2的平方根等.·無(wú)理數(shù)與有理數(shù)的區(qū)別：1、把有理數(shù)和無(wú)理數(shù)都寫成小數(shù)形式時(shí),有理數(shù)能寫成有限小數(shù)和無(wú)限循環(huán)小數(shù), 比如4=4.0, 4/5=0.8, 1/3=0.33333……而無(wú)理數(shù)只能寫成無(wú)限不循環(huán)小數(shù), 比如√2=1.414213562…………根據(jù)這一點(diǎn),人們把無(wú)理數(shù)定義為無(wú)限不循環(huán)小數(shù).2、所有的有理數(shù)都可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比；而無(wú)理數(shù)不能.根據(jù)這一點(diǎn),有人建議給無(wú)理數(shù)摘掉“無(wú)理”的帽子,把有理數(shù)改叫為“比數(shù)”,把無(wú)理數(shù)改叫為“非比數(shù)”.本來(lái)嘛,無(wú)理數(shù)并不是不講道理,只是人們最初對(duì)它不太了解罷了. 利用有理數(shù)和無(wú)理數(shù)的主要區(qū)別,可以證明√2是無(wú)理數(shù).證明：假設(shè)√2不是無(wú)理數(shù),而是有理數(shù).既然√2是有理數(shù),它必然可以寫成兩個(gè)整數(shù)之比的形式： √2=p/q又由于p和q有公因數(shù)可以約去,所以可以認(rèn)為p/q 為既約分?jǐn)?shù).把 √2=p/q 兩邊平方得 2=(p^2)/(q^2)即 2(q^2)=p^2由于2q^2是偶數(shù),p 必定為偶數(shù),設(shè)p=2m由 2(q^2)=4(m^2)得 q^2=2m^2同理q必然也為偶數(shù),設(shè)q=2n既然p和q都是偶數(shù),他們必定有公因數(shù)2,這與前面假設(shè)p/q是既約分?jǐn)?shù)矛盾.這個(gè)矛盾是有假設(shè)√2是有理數(shù)引起的.因此√2是無(wú)理數(shù).畢達(dá)哥拉斯大約生于公元前580年至公元前500年,從小就很聰明,一次他背著柴禾從街上走過,一位長(zhǎng)者見他捆柴的方法與別人不同,便說(shuō)：“這孩子有數(shù)學(xué)奇才,將來(lái)會(huì)成為一個(gè)大學(xué)者.”他聞聽此言,便摔掉柴禾南渡地中海到泰勒斯門下去求學(xué).畢達(dá)哥拉斯本來(lái)就極聰明,經(jīng)泰勒一指點(diǎn),許多數(shù)學(xué)難題在他的手下便迎刃而解.其中,他證明了三角形的內(nèi)角和等于180度；能算出你若要用瓷磚鋪地,則只有用正三角、正四角、正六角三種正多角磚才能剛好將地鋪滿,還證明了世界上只有五種正多面體,即：正4、6、8、12、20面體.他還發(fā)現(xiàn)了奇數(shù)、偶數(shù)、三角數(shù)、四角數(shù)、完全數(shù)、友數(shù),直到畢達(dá)哥拉斯數(shù).然而他最偉大的成就是發(fā)現(xiàn)了后來(lái)以他的名字命名的畢達(dá)哥拉斯定理（勾股弦定理）,即：直角三角形兩直角邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積之和等于以斜邊為邊長(zhǎng)的正方形的面積.據(jù)說(shuō),這是當(dāng)時(shí)畢達(dá)哥拉斯在寺廟里見工匠們用方磚鋪地,經(jīng)常要計(jì)算面積,于是便發(fā)明了此法.畢達(dá)哥拉斯將數(shù)學(xué)知識(shí)運(yùn)用得純熟之后,覺得不能只滿足于用來(lái)算題解題,于是他試著從數(shù)學(xué)領(lǐng)域擴(kuò)大到哲學(xué),用數(shù)的觀點(diǎn)去解釋一下世界.經(jīng)過一番刻苦實(shí)踐,他提出“凡物皆數(shù)”的觀點(diǎn),數(shù)的元素就是萬(wàn)物的元素,世界是由數(shù)組成的,世界上的一切沒有不可以用數(shù)來(lái)表示的,數(shù)本身就是世界的秩序.畢達(dá)哥拉斯還在自己的周圍建立了一個(gè)青年兄弟會(huì).在他死后大約500年間,他的門徒們把這種理論加以研究發(fā)展,形成了一個(gè)強(qiáng)大的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派.一天,學(xué)派的成員們剛開完一個(gè)學(xué)術(shù)討論會(huì),正坐著游船出來(lái)領(lǐng)略山水風(fēng)光,以驅(qū)散一天的疲勞.這天,風(fēng)和日麗,海風(fēng)輕輕的吹,蕩起層層波浪,大家心里很高興.一個(gè)滿臉胡子的學(xué)者看著遼闊的海面興奮地說(shuō)：“畢達(dá)哥拉斯先生的理論一點(diǎn)都不錯(cuò).你們看這海浪一層一層,波峰浪谷,就好像奇數(shù)、偶數(shù)相間一樣.世界就是數(shù)字的秩序.”“是的,是的.”這時(shí)一個(gè)正在搖槳的大個(gè)子插進(jìn)來(lái)說(shuō)：“就說(shuō)這小船和大海吧.用小船去量海水,肯定能得出一個(gè)精確的數(shù)字.一切事物之間都是可以用數(shù)字互相表示的.”“我看不一定.”這時(shí)船尾的一個(gè)學(xué)者突然提問了,他沉靜地說(shuō)：“要是量到最后,不是整數(shù)呢?”“那就是小數(shù).”“要是小數(shù)既除不盡,又不能循環(huán)呢?”“不可能,世界上的一切東西,都可以相互用數(shù)字直接準(zhǔn)確地表達(dá)出來(lái).”這時(shí),那個(gè)學(xué)者以一種不想再爭(zhēng)辯的口氣冷靜地說(shuō)：“并不是世界上一切事物都可以用我們現(xiàn)在知道的數(shù)來(lái)互相表示,就以畢達(dá)哥拉斯先生研究最多的直角三角形來(lái)說(shuō)吧,假如是等腰直角三角形,你就無(wú)法用一個(gè)直角邊準(zhǔn)確地量出斜邊來(lái).”這個(gè)提問的學(xué)者叫希帕索斯,他在畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中是一個(gè)聰明、好學(xué)、有獨(dú)立思考能力的青年數(shù)學(xué)家.今天要不是因?yàn)闋?zhēng)論,還不想發(fā)表自己這個(gè)新見解呢.那個(gè)搖槳的大個(gè)子一聽這話就停下手來(lái)大叫著：“不可能,先生的理論置之四海皆準(zhǔn).”希帕索斯眨了眨聰明的大眼,伸出兩手,用兩個(gè)虎口比成一個(gè)等腰直角三角形說(shuō)：“如果直邊是3,斜邊是幾?”“4.”“再準(zhǔn)確些?”“4.2.”“再準(zhǔn)確些?”“4.24.”“再準(zhǔn)確些呢?”大個(gè)子的臉漲得緋紅,一時(shí)答不上來(lái).希帕索斯說(shuō)：“你就再往后數(shù)上10位、20位也不能算是最精確的.我演算了很多次,任何等腰直角三角形的一邊與余邊,都不能用一個(gè)精確的數(shù)字表示出來(lái).”這話像一聲晴天霹靂,全船立即響起一陣怒吼：“你敢違背畢達(dá)哥拉斯先生的理論,敢破壞我們學(xué)派的信條!敢不相信數(shù)字就是世界!”希帕索斯這時(shí)十分冷靜,他說(shuō)：“我這是個(gè)新的發(fā)現(xiàn),就是畢達(dá)哥拉斯先生在世也會(huì)獎(jiǎng)賞我的.你們可以隨時(shí)去驗(yàn)證.”可是人們不聽他的解釋,憤怒地喊著：“叛逆!先生的不肖門徒.”“打死他!批死他!”大胡子沖上來(lái),當(dāng)胸給了他一拳.希帕索斯著：“你們無(wú)視科學(xué),你們竟這樣無(wú)理!”“捍衛(wèi)學(xué)派的信條永遠(yuǎn)有理.”這時(shí)大個(gè)子也沖了過來(lái),猛地將他抱起：“我們給你一個(gè)最高的獎(jiǎng)賞吧!”說(shuō)著就把希帕索斯扔進(jìn)了海里.藍(lán)色的海水很快淹沒了他的軀體,再也沒有出來(lái).這時(shí),天空飄過幾朵白云,海面掠過幾只水鳥,一場(chǎng)風(fēng)波過后,這地中海海濱又顯得那樣寧?kù)o了.一位很有才華的數(shù)學(xué)家就這樣被奴隸制度的學(xué)閥們毀滅了.但是這倒真使人們看清了希帕索斯的思想價(jià)值.這次事件后,畢達(dá)哥拉斯學(xué)派的成員們確實(shí)發(fā)現(xiàn)不但等腰直角三角形的直角邊無(wú)法去量準(zhǔn)斜邊,而且圓的直徑也無(wú)法去量盡圓周,那個(gè)數(shù)字是3.14159265358979……更是永遠(yuǎn)也無(wú)法精確.慢慢地,他們感覺后悔了,后悔殺死希帕索斯的無(wú)理行動(dòng).他們漸漸明白了,明白了直覺并不是絕對(duì)可靠的,有的東西必須靠科學(xué)的證明；他們明白了,過去他們所認(rèn)識(shí)的數(shù)字“0”,自然數(shù)等有理數(shù)之外,還有一些無(wú)限的不能循環(huán)的小數(shù),這確實(shí)是一種新發(fā)現(xiàn)的數(shù)——應(yīng)該叫它“無(wú)理數(shù)”.這個(gè)名字反映了數(shù)學(xué)的本來(lái)面貌,但也真實(shí)的記錄了畢達(dá)哥拉斯學(xué)派中學(xué)閥的蠻橫無(wú)理.由無(wú)理數(shù)引發(fā)的數(shù)學(xué)危機(jī)一直延續(xù)到19世紀(jì).1872年,德國(guó)數(shù)學(xué)家載德金從連續(xù)性的要求出發(fā),用有理數(shù)的“分割”來(lái)定義無(wú)理數(shù),并把實(shí)數(shù)理論建立在嚴(yán)格的科學(xué)基礎(chǔ)上,從而結(jié)束了無(wú)理數(shù)被認(rèn)為“無(wú)理”的時(shí)代,也結(jié)束了持續(xù)2000多年的數(shù)學(xué)史上的第一次大危機(jī).