】CSDN編輯】最近面試中經(jīng)常出現(xiàn)大量的運(yùn)算，在編寫代碼的過程中也經(jīng)常涉及到相對(duì)較大數(shù)量的運(yùn)算，如果超出了程序的基本類型可以表示的范圍，就會(huì)發(fā)生溢出，整形的一般加法和減法將無法再實(shí)現(xiàn)，此時(shí)需要自己編寫程序。

作者 | bigsai 責(zé)編 | 歐陽姝黎

前言

各位有過分類刷題的小伙伴，可能看到很多人分類 字符串、貪心、動(dòng)態(tài)規(guī)劃、bfs、dfs、大數(shù)、數(shù)論等，初聽大數(shù)，你可能會(huì)差異：大數(shù)是個(gè)啥？聽起來怪高大上的。

這個(gè)數(shù)字一般用字符串、鏈表等形式表示、返回，大數(shù)運(yùn)算的核心就是：模擬，模擬我們?nèi)粘Ｓ眉埞P算數(shù)字的加減乘除流程，然后再根據(jù)計(jì)算機(jī)、編程語言等特性適當(dāng)存儲(chǔ)計(jì)算即可，不過，大數(shù)除法運(yùn)算稍微特殊一點(diǎn)，和我們直接模擬的思維方式稍有不同，它就是轉(zhuǎn)換了一下成特殊的加減法運(yùn)算，后面會(huì)細(xì)談。

大數(shù)加法

大數(shù)加法是最簡(jiǎn)單的，簡(jiǎn)單模擬即可。首先，我們想一下兩個(gè)數(shù)加法的流程：從右向左計(jì)算求和、進(jìn)位，一直到最后。

在編程語言中同樣也是模擬從右向左逐位相加的過程，不過在具體實(shí)現(xiàn)上需要注意一些細(xì)節(jié)。

1. 枚舉字符串將其轉(zhuǎn)換成 char提高效率

2. 從右往左進(jìn)行計(jì)算，可以將結(jié)果放到一個(gè)數(shù)組中最后組成字符串，也可以使用 StringBuider 拼接，拼接的時(shí)候最后要逆置一下順序。

3. 余數(shù)每次疊加過需要清零，兩數(shù)相加如果大于等于 10 即有余數(shù)，添加到結(jié)果中該位置的數(shù)也應(yīng)該是該數(shù) %10 的結(jié)果。

4. 計(jì)算完最后還要看看余數(shù)是否為1，如果為1需要將其添加到結(jié)果，例如 "991"+"11"算三個(gè)位置為002但還有一個(gè)余數(shù)需要添加，所以應(yīng)該是1002。

一個(gè)加法流程

當(dāng)然在具體實(shí)現(xiàn)上方法較多，你可以首先就將字符串逆置然后從前往后就可以計(jì)算了。當(dāng)然我這里實(shí)現(xiàn)的是字符串從后向前各個(gè)位對(duì)應(yīng)計(jì)算，然后將結(jié)果順序添加到 StringBuilder 上。

這題在力扣【415兩數(shù)相加】可以檢驗(yàn)自己代碼，實(shí)現(xiàn)代碼為：

public String addStrings(String num1, String num2) {
// 公眾號(hào)：bigsai 歡迎你的關(guān)注
int len1=num1.length-1,len2=num2.length-1;
char ch1=num1.toCharArray;
char ch2=num2.toCharArray;

StringBuilder sb=new StringBuilder;
int remainder =0;//計(jì)算余數(shù)
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;
int num=n1+n2+remainder;//求和對(duì)應(yīng)數(shù)字
remainder=num/10;//是否進(jìn)位
(num%10);// 添加到結(jié)果字符串中
}

if(remainder>0)//是否還需要進(jìn)位
{
(remainder);
}
//反裝即為結(jié)果
return ;
}


大數(shù)減法

加法對(duì)應(yīng)的就是減法，有了上面大數(shù)加法的實(shí)現(xiàn)思路，那么我想你在大數(shù)減法也應(yīng)該有點(diǎn)想法，但是減法和加法不同的是減法有位置的區(qū)別，加法需要進(jìn)位而減法需要借位。并且大整正數(shù)減法可能產(chǎn)生正負(fù)也不一定。

兩個(gè)正數(shù)，如果大數(shù)減去小數(shù)，那么一切正常，結(jié)果是一個(gè)正數(shù)；但如果小數(shù)減去大數(shù)，那么結(jié)果將是一個(gè)負(fù)數(shù)，并且結(jié)果處理起來比較麻煩。所以在這里全部轉(zhuǎn)成大-小處理(大-小不存在不能借位的情況)。

減法轉(zhuǎn)成大-小

1. 執(zhí)行計(jì)算前首先比較減數(shù)(num1)和被減數(shù)(num2)的大小，如果num1>num2,那么就模擬num1-num2的過程，如果num1<num2，那么結(jié)果就為-(num2-num1) 。當(dāng)然可以為了穩(wěn)定模擬時(shí)候一個(gè)大一個(gè)小，可將 num1 始終指向較大的那個(gè)數(shù)，少寫一個(gè) if/else.

2. 在比較兩個(gè)數(shù)字大小的時(shí)候，因?yàn)槭亲址问剑紫缺容^兩個(gè)字符串的長(zhǎng)度，長(zhǎng)的那個(gè)更大短的那個(gè)更小，如果兩個(gè)字符串等大，那么就可以通過字典序從前往后進(jìn)行比較(Java 可直接使用 compareTo 方法)。

3. 和加法不同的是，減法前面可能產(chǎn)生若干前綴 0，這些0是需要你去掉的，例如"1100"-"1000"計(jì)算得到的結(jié)果為"0100",你就要把前面的0去掉返回"100"。

4. 具體實(shí)現(xiàn)的時(shí)候和加法相似，如果使用 StringBuilder 存儲(chǔ)，需要逆置順序，如果是個(gè)負(fù)數(shù)，前面還要加上'-'.

5. 每個(gè)位置正常進(jìn)行減法運(yùn)算，如果值小于0，那么就需要向上借位(+10),那么處理上一位進(jìn)行減法時(shí)候還要將借位的處理一下。

這題在力扣上沒有原題，但是可以在小米 OJ【大數(shù)相減】上驗(yàn)證自己代碼的正確性，具體實(shí)現(xiàn)的代碼為：

public static boolean compare(String num1,String num2)
{
i;num2.length)
return false;
else i;num2.length)
return true;
else
return num1.compareTo(num2)>0;
}
public static String subtractString(String num1,String num2) {
char sign='+';//正負(fù)號(hào)
//讓num1>num2 如果num1<num2 那么結(jié)果就是—(num2-num1)
//可以先將num1和num2交換和前面情況統(tǒng)一
if(!compare(num1,num2))
{
sign='-';
String team = num2;
num2 = num1;
num1 = team;
}
int len1=num1.length-1;
int len2=num2.length-1;

char ch1 = num1.toCharArray;
char ch2 = num2.toCharArray;
StringBuilder sb=new StringBuilder;
int borrow=0;//借位
while (len1>=0||len2>=0)
{
int n1=len1>=0?(ch1[len1--]-'0'):0;
int n2=len2>=0?(ch2[len2--]-'0'):0;

int num=n1-n2-borrow;
borrow=0;
if(num<0)//需要向前借位
{
borrow=1;
num+=10;
}
(num);
}

sb=;//需要先翻轉(zhuǎn)
int index = 0;//去掉前面沒用的’0‘
while (index<;&(index) == '0')
{
index++;
}
//如果兩個(gè)數(shù)相同 直接返回"0"
if(index==)
return "0";
if(sign=='+')//如果正數(shù)
return (index);
else return sign+(index);//負(fù)數(shù)需要返回
}


大數(shù)乘法

大數(shù)乘法乍一想可能比較復(fù)雜，因?yàn)槌朔ū绕鸺臃赡苓M(jìn)位不光是1，還有兩個(gè)數(shù)各種位置都需要相乘計(jì)算，這時(shí)候就需要我們化繁為簡(jiǎn)了。

多*多考慮起來可能有些麻煩，但是如果多*一考慮起來呢？如果是多位乘以一位數(shù)，那么就拿一位的分別乘以多位數(shù)的個(gè)位、十位、百位，在計(jì)算的同時(shí)考慮一下進(jìn)位的情況。

但是也可以先直接用 int 類型數(shù)組存儲(chǔ)各位的乘積然后從右向左進(jìn)行進(jìn)位，如下圖所示。

而多*多 也是這個(gè)道理，將不同位乘積先疊加到對(duì)應(yīng)位置上，然后從右向左進(jìn)位，一直到不需要進(jìn)位為止。

一個(gè)乘法流程

你可能會(huì)疑問，如果兩個(gè)數(shù)組的長(zhǎng)度分別為a和b這個(gè)數(shù)組到底該開多大呢？

• a+b大小就夠了，怎么分析呢？其中一個(gè)a不變。另一個(gè)b變成最小b+1數(shù)字即十的倍數(shù)，那么這樣在相乘的時(shí)候也不過是a+b長(zhǎng)度，所以這里a+b長(zhǎng)度就夠了。

這題有力扣對(duì)應(yīng)題可以去試試【43字符串相乘】，具體代碼為：

public String multiply(String num1, String num2) {
if("0".equals(num1)||"0".equals(num2))return "0";
char a=num1.toCharArray;
char b=num2.toCharArray;

int value=new int[a.length+b.length];

for(int i=a.length-1;i>=0;i--)
{
for(int j=b.length-1;j>=0;j--)
{
int index=a.length-1-i+b.length-1-j;
value[index]+=(a[i]-'0')*(b[j]-'0');
}
}
for(int i=0;i<value.length-1;i++)
{
value[i+1]+=value[i]/10;
value[i]=value[i]%10;
}
int index=value.length-1;
while(value[index]==0)
{index--;}
StringBuilder sBuilder=new StringBuilder;
while (index>=0) {
(value[index--]);
}
return ;
}


大數(shù)除法

大數(shù)加減乘都搞定了，通過模擬來實(shí)現(xiàn)，但是大數(shù)除法也通過模擬來實(shí)現(xiàn)？

并不是，對(duì)于大數(shù)a/b，一般最多要求求到其整數(shù)解或者余數(shù)，即a/b=c……d（a,b,c,d均為整）;也就是a里面有c個(gè)b，并且還剩下d。核心是先求c是多少，對(duì)于程序來說，可以通過枚舉啊，將除法變成減法，從a中不斷減d，一直到不能減為止。

除法轉(zhuǎn)成減法運(yùn)算

但是有個(gè)問題，如果被除數(shù)a很大很大，可能有居多個(gè)b，那么這樣時(shí)間復(fù)雜度太高了，不可能執(zhí)行那么多次，那么需要怎么樣去優(yōu)化這個(gè)方法呢？

那就要加速尋找次數(shù)，減少這個(gè)減法的次數(shù)了，減法次數(shù)減小的一個(gè)最好方案就是能不能擴(kuò)大除數(shù)b。如果b后面加個(gè)'0'，那么算出來的結(jié)果就乘以10，減法的次數(shù)變成原來十分之一。根據(jù)這個(gè)思想我們可以一直每次找到b的最大10的倍數(shù)(小于a)計(jì)算減的次數(shù)再換算成減b的總詞數(shù)，將結(jié)果要以字符串方式保留，后面一直迭代到最后為止,這雖然是一道除法運(yùn)算的題，但是也蘊(yùn)含減法和加法(次數(shù)疊加到結(jié)果中)。

計(jì)算思想

當(dāng)然，也有一些人使用二分法來壓縮尋找可以被減的次數(shù)也是可以的(加法可以迭代數(shù)字實(shí)現(xiàn)二分倍數(shù))，具體實(shí)現(xiàn)的話也不是很困難，但是代碼量可能比較多所以一般的面試筆試不會(huì)讓你現(xiàn)場(chǎng)寫的，所以好好掌握前面的減法、減法、乘法的代碼即可。

這部分代碼我也簡(jiǎn)單給一下(其他函數(shù)上面貼過就不重復(fù)貼啦)：

//假設(shè) num1>num2
public static String divideString(String num1,String num2)
{
String value="0";//結(jié)果
while (compare(num1,num2))
{
StringBuilder sbTeam=new StringBuilder(num2);//用這個(gè)往后面不斷加0 和num做減法
StringBuilder sbCount=new StringBuilder("1");//次數(shù) 可能很大
int subLen=num1.leng;//統(tǒng)計(jì)大概要加幾個(gè)零
for(int i=0;i<subLen;i++)
{
('0');
('0');
}
//如果0 加多了 那么要?jiǎng)h一個(gè) 類似"12300" / "23" "12300"比"23000"小
//所以要 "2300" 對(duì)應(yīng)比"23"擴(kuò)大 "100"倍數(shù)，每減一次"2300" 則結(jié)果加"100"
if(!compare(num1,))
{
sbTeam=);
sbCount=);
}
// 一直能減的時(shí)候
while (compare(num1,))
{
num1=subtractString(num1,);
value=addString);
}
}
return value;
}


簡(jiǎn)單測(cè)試了下，正確性還是ok的：

除法測(cè)試

番外篇

除了上面直接的大數(shù)加減乘除，還有一些變形的題目需要我們特殊處理一下，比如可能會(huì)使用鏈表等存儲(chǔ)處理，下面分享兩道題。

兩數(shù)相加(力扣02)

題目描述：

給你兩個(gè) 非空 的鏈表，表示兩個(gè)非負(fù)的整數(shù)。它們每位數(shù)字都是按照 逆序 的方式存儲(chǔ)的，并且每個(gè)節(jié)點(diǎn)只能存儲(chǔ) 一位 數(shù)字。請(qǐng)你將兩個(gè)數(shù)相加，并以相同形式返回一個(gè)表示和的鏈表

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個(gè)數(shù)都不會(huì)以 0 開頭。

img

提示：

• 每個(gè)鏈表中的節(jié)點(diǎn)數(shù)在范圍 [1, 100] 內(nèi)

• 0 &lt;= Node.val &lt;= 9

• 題目數(shù)據(jù)保證列表表示的數(shù)字不含前導(dǎo)零

本題其實(shí)就是用一個(gè)鏈表存儲(chǔ)一個(gè)數(shù)字(逆序存儲(chǔ))，你需要給它計(jì)算出結(jié)果后在 逆序 存儲(chǔ)到一個(gè)鏈表中返回。

所謂加法的運(yùn)算規(guī)則：從兩個(gè)數(shù)的最低位進(jìn)行計(jì)算，進(jìn)行到下一位的時(shí)候需要考慮進(jìn)位問題。一直到最后，而本題所給的鏈表剛好可以用來直接計(jì)算，因?yàn)殒湵眍^都是數(shù)字最低位可以直接相加，然后一直遍歷到結(jié)束?？梢杂靡粋€(gè)常數(shù)表示進(jìn)位。

在具體實(shí)現(xiàn)(鏈表)的時(shí)候：

• 創(chuàng)建新的鏈表，每次將計(jì)算的數(shù)值插入到鏈表尾部即可。

• 需要準(zhǔn)確表示進(jìn)位，并且最后要考慮以下進(jìn)位

• 妥善返回正確節(jié)點(diǎn)，可以用一個(gè)頭節(jié)點(diǎn)用來使得所有節(jié)點(diǎn)都正常操作，而不需要特殊判斷。通過代碼第一次比較啰嗦的寫法：

當(dāng)然，如果你遍歷鏈表把各個(gè)數(shù)字取出來，使用字符串、數(shù)字轉(zhuǎn)換然后相加得到一個(gè)數(shù)字，最后在轉(zhuǎn)成字符串、鏈表的理論可以，可以自行實(shí)現(xiàn)。

優(yōu)化后的代碼為：

//更簡(jiǎn)潔的寫法
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
ListNode node=new ListNode(0);
ListNode team=node;
int jin=0;//進(jìn)位
while(l1!=||l2!=)
{
int num=jin;
if(l1!=)
{
num+=l1.val;l1=l1.next;
}
if(l2!=)
{
num+=l2.val;l2=l2.next;
}
jin=num/10;
num%=10;
ListNode(num);
team=;

}
if(jin!=0) ListNode(jin);
return node.next;
}


兩數(shù)相加2(力扣445)

題目描述：

給你兩個(gè) 非空 鏈表來代表兩個(gè)非負(fù)整數(shù)。數(shù)字最高位位于鏈表開始位置。它們的每個(gè)節(jié)點(diǎn)只存儲(chǔ)一位數(shù)字。將這兩數(shù)相加會(huì)返回一個(gè)新的鏈表。

你可以假設(shè)除了數(shù)字 0 之外，這兩個(gè)數(shù)字都不會(huì)以零開頭。

進(jìn)階：如果輸入鏈表不能修改該如何處理？換句話說，你不能對(duì)列表中的節(jié)點(diǎn)進(jìn)行翻轉(zhuǎn)。

示例：

輸入：(7 -> 2 -> 4 -> 3) + (5 -> 6 -> 4)

輸出：7 -> 8 -> 0 -> 7

本題的話和上面不一樣鏈表不是逆置的，但是加法運(yùn)算其實(shí)需要從最后面對(duì)齊開始，也就是理論上應(yīng)該從鏈表尾部開始向前，但是這是個(gè)單鏈表，這樣運(yùn)算的話時(shí)間復(fù)雜度太高，所以我們要用空間換時(shí)間：用棧來解決。

將鏈表的節(jié)點(diǎn)依次放到兩個(gè)棧中，然后兩個(gè)棧同時(shí)取數(shù)計(jì)算。但是待返回的是個(gè)鏈表，所以采取頭插法即可(如果不頭插最后反轉(zhuǎn)也可)，具體流程可以參考如下圖：

邏輯

實(shí)現(xiàn)代碼為：

/**
* Definition for singly-linked list.
* public class ListNode {
* int val;
* ListNode next;
* ListNode(int x) { val = x; }
* }
*/
class Solution {
public ListNode addTwoNumbers(ListNode l1, ListNode l2) {
Stack<Integer>stack1=new Stack<>;
Stack<Integer>stack2=new Stack<>;
while (l1!=)
{
);
l1=l1.next;
}
while (l2!=)
{
);
l2=l2.next;
}
ListNode val=new ListNode(0);//帶頭結(jié)點(diǎn)
int moreadd=0;//余數(shù)
while (!||!||moreadd!=0)
{
int num=moreadd;//num=余數(shù)+鏈表1+鏈表2
if(!)
num+=;
if(!)
num+=;
moreadd=num/10;
num=num%10;
//鏈表頭插
ListNode node=new ListNode(num);
node.next=val.next;
val.next=node;
}
return val.next;
}
}

結(jié)語

到這里，大數(shù)的加減乘除基本都講解完啦，不知道你有沒有收獲，因?yàn)檫@里的大數(shù)都是用字符串的方式存儲(chǔ)和處理，遇到的最多，但是也可能遇到一些鏈表、數(shù)組等其他形式存儲(chǔ)的需要處理，但是整體的思想都是一樣的。

光看沒有還要多多練習(xí)對(duì)應(yīng)的題目，當(dāng)然本人水平有限上面理解可能有誤或者不到位還請(qǐng)指正！

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