Merzirac法生成奇階幻方 在第一行居中的方格內(nèi)放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向下移一格繼續(xù)填寫。如下圖用Merziral法生成的5階幻方： loubere法生成奇階幻方 在居中的方格向上一格內(nèi)放1，依次向右上方填入2、3、4…，如果右上方已有數(shù)字，則向上移二格繼續(xù)填寫。如下圖用Louberel法生成的7階幻方： 30 39 48 1 10 19 28 38 47 7 9 18 27 29 46 6 8 17 26 35 37 5 14 16 25 34 36 45 13 15 24 33 42 44 4 21 23 32 41 43 3 12 22 31 40 49 2 11 20 horse法生成奇階幻方 先在任意一格內(nèi)放入1。向左走1步，并下走2步放入2，向左走1步，并下走2步放入3，依次類推放到n。在n的下方放入n+1，再按上述方法放置到2n，在2n的下邊放入2n+1。如下圖用Horse法生成的9階幻方： 77 58 39 20 1 72 53 34 15 6 68 49 30 11 73 63 44 25 16 78 59 40 21 2 64 54 35 26 7 69 50 31 12 74 55 45 36 17 79 60 41 22 3 65 46 37 27 8 70 51 32 13 75 56 47 28 18 80 61 42 23 4 66 57 38 19 9 71 52 33 14 76 67 48 29 10 81 62 43 24 5 一般的，令矩陣[1,1]為向右走一步，向上走一步，[-1,0]為向左走一步。則馬步可以表示為2X+Y，{X∈{[1,0], [-1,0]},Y∈{[0,1], [0,-1]}}∪{Y∈{[1,0], [-1,0]},X∈{[0,1], [0,-1]}}。對于2X+Y相應的跳步可以為2Y,-Y,X,-Y,X,3X,3X+3Y。上面的的是X型跳步。Horse法生成的幻方為魔鬼幻方。 Hire法生成偶階幻方 將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內(nèi)的數(shù)字記為a。在Ａ內(nèi)兩對角線上填寫1、2、3、……、n，各行再填寫1、2、3、……、n，使各行各列數(shù)字之和為n*/2。填寫方法為:第1行從n到1填寫，從第2行到第n/2行按從1到進行填寫，從第n/2+1到第n行按n到1進行填寫，對角線的方格內(nèi)數(shù)字不變。如下所示為6階填寫方法： 1 5 4 3 2 6 6 2 3 4 5 1 1 2 3 4 5 6 6 5 3 4 2 1 6 2 4 3 5 1 1 5 4 3 2 6 如下所示為8階填寫方法： 1 8 1 1 8 8 8 1 7 2 2 2 7 7 2 7 6 3 3 3 6 3 6 6 5 4 4 4 4 5 5 5 4 5 5 5 5 4 4 4 3 6 6 6 3 6 3 3 2 7 7 7 2 2 7 2 8 1 8 8 1 1 1 8 將Ａ上所有數(shù)字分別按如下算法計算，得到B，其中b=n×。則AT＋Ｂ為目標幻方 。如下圖用Hire法生成的8階幻方： 1 63 6 5 60 59 58 8 56 10 11 12 53 54 15 49 41 18 19 20 45 22 47 48 33 26 27 28 29 38 39 40 32 39 38 36 37 27 26 25 24 47 43 45 20 46 18 17 16 50 54 53 12 11 55 9 57 7 62 61 4 3 2 64 .Strachey法生成單偶幻方 將n階單偶幻方表示為4m+2階幻方。將其等分為四分，成為如下圖所示A、B、C、D四個2m+1階奇數(shù)幻方。 A C D B Ａ用1至2m+1填寫成2階幻方；B用2+1至2*2填寫成2m+1階幻方；C用2*2+1至3*2填寫成2m+1階幻方；D用3*2+1至4*2填寫成2m+1階幻方；在Ａ中間一行取m個小格，其中1格為該行居中1小格,另外m-1個小格任意,其他行左側(cè)邊緣取m列，將其與D相應方格內(nèi)交換；Ｂ與Ｃ接近右側(cè)m-1列相互交換。如下圖用Strachey法生成的6階幻方： 35 1 6 26 19 24 3 32 7 21 23 25 31 9 2 22 27 20 8 28 33 17 10 15 30 5 34 12 14 16 4 36 29 13 18 11 N 為其它偶數(shù)時 當n為非4倍數(shù)的偶數(shù)時：首先把大方陣分解為4個奇數(shù)子方陣。 按上述奇數(shù)階幻方給分解的4個子方陣對應賦值 上左子陣最小，下右子陣次小，下左子陣最大，上右子陣次大 即4個子方陣對應元素相差v，其中v＝n*n/4 四個子矩陣由小到大排列方式為 ① ③ ④ ② 然后作相應的元素交換：a與a在同一列做對應交換, a與a；a與a兩對元素交換 其中u=n/2，t=/4 上述交換使每行每列與兩對角線上元素之和相等。 ----------------------- Spring法生成以偶幻方 將n階雙偶幻方表示為4m階幻方。將n階幻方看作一個矩陣，記為A，其中的第i行j列方格內(nèi)的數(shù)字記為a。 先令a=*n+j，即第一行從左到可分別填寫1、2、3、……、n；即第二行從左到可分別填寫n+1、n+2、n+3、……、2n；…………之后進行對角交換。對角交換有兩種方法： 方法一；將左上區(qū)域i+j為偶數(shù)的與幻方內(nèi)以中心點為對稱點的右下角對角數(shù)字進行交換；將右上區(qū)域i+j為奇數(shù)的與幻方內(nèi)以中心點為對稱點的左下角對角數(shù)字進行交換。 方法二；將幻方等分成m*m個4階幻方，將各4階幻方中對角線上的方格內(nèi)數(shù)字與n階幻方內(nèi)以中心點為對稱點的對角數(shù)字進行交換。 如下圖用Spring法生成的4階幻方： 16 2 3 13 5 11 10 8 9 7 6 12 4 14 15 1 YinMagic構造偶階幻方 先構造n-2幻方，之后將其中的數(shù)字全部加上2n-2，放于n階幻方中間，再用本方法將邊緣數(shù)字填寫完畢。本方法適用于n 4的所有幻方，我于2002年12月31日構造的數(shù)學模型。YinMagic法可生成6階以上的偶幻方。如下圖用YinMagic法生成的6階幻方： 10 1 34 33 5 28 29 23 22 11 18 8 30 12 17 24 21 7 2 26 19 14 15 35 31 13 16 25 20 6 9 36 3 4 32 27 魔鬼幻方 如將幻方看成是無限伸展的圖形，則任何一個相鄰的n*n方格內(nèi)的數(shù)字都可以組成一個幻方。則稱該幻方為魔鬼幻方。 用我研究的Horse法構造的幻方是魔鬼幻方。如下的幻方更是魔鬼幻方，因為對于任意四個在兩行兩列上的數(shù)字，他們的和都是34。此幻方可用YinMagic方法生成。 15 10 3 6 4 5 16 9 14 11 2 7 1 8 13 12 羅伯法： 1居上行正中央，仿次斜填莫相忘，上出框時往下填， 右出框時左邊放，排重便在下格填，右上排重一個樣。 先說明一個定義：互補：如果兩個數(shù)字的和，等于幻方最大數(shù)和最小數(shù)的和，即 n*n+1，稱為互補。先看看4階幻方的填法：將數(shù)字從左到右、從上到下按順序填寫：這個方陣的對角線，已經(jīng)用藍色標出。將對角線上的數(shù)字，換成與它互補的數(shù)字。這里，n*n+1 = 4*4+1 = 17；把1換成17-1 = 16；把6換成17-6 = 11；把11換成17-11 = 6……換完后就是一個四階幻方。對于n=4k階幻方，我們先把數(shù)字按順序填寫。寫好后，按4*4把它劃分成k*k個方陣。因為n是4的倍數(shù)，一定能用4*4的小方陣分割。然后把每個小方陣的對角線，象制作4階幻方的方法一樣，對角線上的數(shù)字換成互補的數(shù)字，就構成幻方。 下面是8階幻方的作法： 先把數(shù)字按順序填。然后，按4*4把它分割成2*2個小方陣 每個小方陣對角線上的數(shù)字，換成和它互補的數(shù)。3、單偶階幻方n為偶數(shù)，且不能被4整除 這是三種里面最復雜的幻方。以n=10為例。這時，k=2 把方陣分為A，B，C，D四個象限，這樣每一個象限肯定是奇數(shù)階。用樓梯法，依次在A象限，D象限，B象限，C象限按奇數(shù)階幻方的填法填數(shù)。
在A象限的中間行、中間格開始，按自左向右的方向，標出k格。A象限的其它行則標出最左邊的k格。 將這些格，和C象限相對位置上的數(shù)，互換位置。 在B象限任一行的中間格，自右向左，標出k-1列。???????????? ??? 將B象限標出的這些數(shù)，和D象限相對位置上的數(shù)進行交換，即可完成。

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