這兩天大老李的數(shù)學(xué)相關(guān)訂閱號里都是如下一條新聞：

這可是天大的一條新聞啊?？吹竭@條新聞我直接上谷歌搜了下英文報道，第一天居然沒有任何消息。今天總算有幾篇報道了。

其中“新科學(xué)家”雜志報道說：他們征詢了一些數(shù)學(xué)家對此消息的評價，但是所有人都拒絕了評論。

大老李搜集了一些情況，目前我的判斷是阿蒂亞的證明不太可能成立。對阿提亞不利的情況有：

講座只有45分鐘。這么重大的話題，45分鐘的規(guī)格顯然太小了。對比一下懷爾斯公布費馬大定理證明的講座，搞了三天，每天至少三小時。

阿蒂亞已經(jīng)80歲了，當(dāng)代數(shù)學(xué)家在60歲以上作出重大貢獻的很少。張益唐是例外中的例外。

阿蒂亞最近幾年多次聲稱證明了一些命題，但沒有被同行接受的，比如2016年這篇 “Non-existent complex 6-sphere”。

阿蒂亞聲稱有一個“簡單的證明”。但歷史上，持續(xù)很久未證明的命題很少出現(xiàn)最終出現(xiàn)“簡單”證明的情況，倒是一些命題一開始有的“簡單證明”后來被證明是有錯誤的，比如“費馬大定理”，“四色定理”。

對阿蒂亞有利的情況只有一個，就是他提到了他的證明用到了“馮·諾依曼，狄拉克等人的成果?！边@個表述比較具體，提供了一些他證明的背景。

但綜合來看，不利因素遠多于有利因素。當(dāng)然，阿蒂亞本人肯定是一位杰出的數(shù)學(xué)家，獲得過幾乎所有數(shù)學(xué)家可以獲得的最高榮譽，我也很希望我的判斷是錯的。

不管怎樣，這次數(shù)學(xué)圈的事件使得更多人能關(guān)注數(shù)學(xué)，關(guān)注“黎曼假設(shè)”是一件好事。順便發(fā)一下本人之前音頻節(jié)目中有關(guān)“黎曼假設(shè)”的一期節(jié)目講稿，希望大家喜歡。

看物理學(xué)家進攻黎曼假設(shè)

今天的節(jié)目標(biāo)題懂行的聽眾肯定會想這是一個天大的話題啊，因為黎曼假設(shè)，如果你去向當(dāng)今任何主流數(shù)學(xué)家發(fā)起調(diào)查，哪個猜想是目前數(shù)學(xué)里最為重要或者你最想解決的猜想，基本可以肯定第一位的答案是“黎曼假設(shè)”。再比如克雷研究所提出的所謂千禧年七大數(shù)學(xué)問題，每個問題都懸賞1百萬美元的，里面其中一個問題就有這個黎曼假設(shè)。

當(dāng)然，我今天節(jié)目主要目的不是為了講黎曼假設(shè)這個猜想本身，其實市面上專門講黎曼假設(shè)的科普類書籍也不少了，也有其他音頻節(jié)目專門講這個問題，大家有興趣可以搜搜。不過為了給不了解黎曼假設(shè)的聽眾便于理解后面的內(nèi)容，我還簡單說下黎曼假設(shè)。

首先，這個黎曼假設(shè)顧名思義是德國數(shù)學(xué)家黎曼, 在1859年提出的。這個命題是關(guān)于一個所謂黎曼(zeta)函數(shù)的零點的位置問題。就是一個希臘字母，沒有任何含義，只是黎曼用這個符號來記這個函數(shù)，所以它就被稱為函數(shù)。我把函數(shù)的定義，貼在了節(jié)目介紹里，它有兩種形式，其中一個級數(shù)形式是很簡單也很好理解的，甚至于我們大學(xué)里都學(xué)過一些這種級數(shù)的收斂性的計算。如果你還記得話，當(dāng)函數(shù)參數(shù)s>1的時候，這個級數(shù)就是收斂的，也就是有限的結(jié)果的。

函數(shù)的兩種定義：

那為啥還需要后面這種積分形式？其實函數(shù)的一個要點就是我們希望把級數(shù)形式的這種函數(shù)的定義域，擴展到復(fù)數(shù)上。而且我們希望這個函數(shù)定義域擴展到復(fù)數(shù)域上，盡可能在更多的地方收斂，因為收斂這函數(shù)才好玩，才有用嘛。

這種擴展有一個專門的方法叫解析延拓，這不是隨意擴展，是一種有特定規(guī)則的延展。反正經(jīng)過這種解析延拓后，這個函數(shù)的定義域就擴展到了整個復(fù)數(shù)平面上，而且僅在s=1的這個點發(fā)散，其他位置都是收斂的，擴展后的定義就是這種積分形式。

那這個函數(shù)有什么隱藏的奧義呢，它確實有重大的奧秘在里面。黎曼發(fā)現(xiàn)函數(shù)的非平凡0點，也即是函數(shù)值取0的位置，與素數(shù)的分布有重。所有負偶數(shù)，你把-2，-4，-6這些值帶入，函數(shù)值算出來都是0。

黎曼要研究這個函數(shù)的非平凡0點，也就是除去這些負偶數(shù)的點之外的0點，然后他很快確認那些非平凡0點必須位于實部0到1之間的區(qū)域上，也就是一個復(fù)數(shù)寫成a+bi的形式的話，a必須是大于0小于1。然后他又計算了前面大概10個0點的確切位置，他發(fā)現(xiàn)一個驚人事實，就是這些零點的位置，不但實部都在0和1之前，而是恰好都是1/2。

黎曼意識到，如果能證明函數(shù)的所有非平凡0點的實部恰好是1/2的話，那將是一個十分重大的發(fā)現(xiàn)，因為它與素數(shù)的分布密切有關(guān)。證明了這一點，我們不但可以對素數(shù)的數(shù)量，就是前n個整數(shù)里有多少個素數(shù)，達到非常高精度的估計，而且它還能對素數(shù)的間隔產(chǎn)生更好的估計。如果證明了黎曼假設(shè)，我們就能證明素數(shù)的分布不是那么隨機，而是隨機中有一定的規(guī)律。

總之，黎曼假設(shè)就是要證明zeta函數(shù)的非平凡0點的實部都是1/2，而證明它，就表示我們對素數(shù)的認知又有了一次質(zhì)的的飛躍了。希爾伯特曾經(jīng)說過，如果他幾百年后能復(fù)活的話，他問的第一句話就會是證明了黎曼假設(shè)了嗎？足見數(shù)學(xué)家對這個問題的重視程度。另外，現(xiàn)在還有上千個命題都是作為黎曼假設(shè)的推論存在的，但是黎曼假設(shè)一天不證明，這些命題也就只能作為猜想存在。而一旦黎曼假設(shè)被否定，這幾千個命題就都變假命題了，有人說過，這將是一次人類有關(guān)素數(shù)知識的大災(zāi)難。

好了，我簡單介紹了一下什么是黎曼假設(shè)，已經(jīng)忽略了好多細節(jié)，因為我實在沒時間具體講了，但我還是很推薦大家有空看看有關(guān)黎曼猜想的科普書或文章，是很有意思的。

那黎曼猜想提出到現(xiàn)在也有150年左右時間了，目前進展如何呢？肯定有人會暴力計算，因為現(xiàn)在計算機那么普及了，但是如你所想，算了幾億個零點了，沒有反例，再繼續(xù)算下去是沒有任何意義了。以往有關(guān)素數(shù)的很多猜想和命題都提醒我們，找出再多的實證都是沒有用的，很多命題的反例都出現(xiàn)在天文數(shù)字之后。

目前已知的是我們知道有無窮多個0點在實部為1/2的這條縱線上，而且這條線上的0點至少占總數(shù)的2/5。2/5還是很弱的，因為我們要證明的100%。

終于可以講講這個問題與物理學(xué)的聯(lián)系了，這是一個很巧合的事情。話說在1972年，很巧合的一次機會，物理學(xué)家Freeman Dyson和數(shù)論專家休·蒙哥馬利在普林斯頓碰面了。兩個人一起喝茶的時候隨便開始聊天，蒙哥馬利跟道森所他最近就在研究黎曼假設(shè)，而且他發(fā)現(xiàn)函數(shù)的0點分布是有規(guī)律的，就是在實部是x=1/2縱軸上的0點分布，這種規(guī)律后來被稱為“對關(guān)聯(lián)假設(shè)”，，這個量子系統(tǒng)里的能級都完美對應(yīng)黎曼函數(shù)的非平凡0點。也就是如果第n個能級記作，那么

就要等于0。

更重要的一點是，如果這種量子系統(tǒng)存在，那么就等于是證明了黎曼假設(shè)。原因是量子的能級都是實數(shù)，因為能級是可以測量的嘛，那么

就能保證這個復(fù)數(shù)沒法繼續(xù)化簡，實部只能是1/2，虛部是，而我們已經(jīng)定義了系統(tǒng)中的能級都對應(yīng)能使

都是函數(shù)的0點，那么函數(shù)就沒有其他非平凡0點，否則我們構(gòu)造的這個量子系統(tǒng)就失敗了。當(dāng)然我的解釋是很粗糙，因為這里面牽涉到的物理和數(shù)學(xué)準(zhǔn)備知識太多，我抱歉只能解釋到這樣。

這之后，物理學(xué)家就開始忙碌起來，試圖尋找符合這種條件的量子系統(tǒng)。在今年的3月30號，三位來自美國，加拿大和英國的研究者共同發(fā)表了一篇論文，里面闡述了一種可能的符合上述條件量子系統(tǒng)。但這個系統(tǒng)是有點奇怪的，目前說這篇論文證明了黎曼假設(shè)還為時尚早。

為什么奇怪呢，一般來說物理學(xué)建用來描述量子系統(tǒng)的矩陣都是高度對稱的，這種高度對稱性確保了矩陣的特征值是實數(shù)，這樣才能保證最終算出來的能級都是實數(shù)，能級是虛數(shù)肯定是不能接受的。

但是這篇論文中提出的這種量子系統(tǒng)只符合一種比較弱的對稱性：叫宇稱時間對稱性。反正這種對稱性因為比較弱，所以它沒法保證符合這種對稱性的矩陣有實數(shù)特征值，那也就無法保證最終的能級是實數(shù)。

這篇論文的其中一個作者說，他認為他的矩陣的特征值是很可能實數(shù)，但是他自己現(xiàn)在也無法證明這一點。他們也在考慮進一步完善他們的證明，但目前他們自己感覺還有很大的困難。

其他專家對他們的論文評價是，這是很有趣，但是還需要很多時間去驗證和完善。所以目前來看，他們的論文只可能是進攻黎曼假設(shè)的一個新的方向和策略，但我們里解決黎曼假設(shè)還有多遠，誰都不知道。

其實我在準(zhǔn)備這期節(jié)目的最大收獲就是發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)和物理世界的這種奇妙聯(lián)系，就是素數(shù)分布與自然現(xiàn)象中出現(xiàn)的類似模式，這是很奇妙的。而且如果量子世界和素數(shù)如果可以聯(lián)系起來的話，就可以建立大為簡單的量子模型，可以解釋很多混沌物理現(xiàn)象中，會發(fā)現(xiàn)一些暫時和局部的有序現(xiàn)象，這說不定就是素數(shù)在其中起作用。這是十分美妙的一種聯(lián)系。好，今天節(jié)目到這，下期再見！

收聽：“大老李聊數(shù)學(xué)音頻”