目前，結(jié)構(gòu)力學(xué)分析的江湖幾乎都是以有限元法為主。但實際上，有限元法只是用數(shù)值方法求解微分方程的眾多方法之一。本文我將介紹幾位目前能參與華山論劍結(jié)構(gòu)分析的頂尖專家。

一、武術(shù)領(lǐng)袖——有限元法

在如今的江湖中，各行各業(yè)的英雄一起崛起，非常熱鬧，從通用分析軟件中比較知名的ABAQUS、ANSYS、SAP2000，到結(jié)構(gòu)工程師的老朋友PKPM、YJK、Midas。追根溯源，有限元法是他們共同的基礎(chǔ)。在結(jié)構(gòu)設(shè)計領(lǐng)域，據(jù)我所知，有限元方法統(tǒng)治了江湖，指揮了全世界。簡直就像武林盟主。那么首領(lǐng)的來歷是什么，請看下面的分解。

領(lǐng)導(dǎo)者的人生經(jīng)歷——有限元方法的發(fā)展

有限元法的思想最早出現(xiàn)在1943年。Courant利用一系列三角形區(qū)域定義的分段連續(xù)函數(shù)，結(jié)合最小勢能原理，解決了圣維南的撓率問題。由于當(dāng)時計算工具的限制，這種方法在接下來的時間里沒有得到更好的發(fā)展。直到1960年，隨著計算機(jī)的廣泛應(yīng)用和發(fā)展，目前意義上的有限元方法才真正發(fā)展起來。

現(xiàn)代有限元法的第一次成功嘗試出現(xiàn)在1956年，由Tuner和Clough在分析飛機(jī)結(jié)構(gòu)時提出。他們使用有限元法中的三角形單元來獲得平面應(yīng)力問題的正確解。1960年，克拉夫?qū)⑵渫茝V到平面彈性力學(xué)，首次提出了“有限元法”的名稱。1965年，O. C. Zienkiewicz和Y. K. Cheung發(fā)現(xiàn)，所有具有變分形式的場問題，即所有滿足變分原理的場問題，都可以用與固體力學(xué)有限元法相同的步驟來求解。

但不是所有的問題都能找到對應(yīng)的變分原理，在找不到變分原理的情況下，必須用有限元方法去尋找能給出有限元格式的方法。1969年，奧登從所謂的能量平衡法出發(fā)，得到了熱彈性問題的有限元分析方程。1969年，B. A. Szabo和G. C. Lee將加權(quán)殘數(shù)法，特別是Galerkin法引入到有限元法中，導(dǎo)出了求解非結(jié)構(gòu)問題的標(biāo)準(zhǔn)有限元過程。通過在有限元方法中引入加權(quán)殘值法，大大擴(kuò)展了有限元方法的應(yīng)用范圍。此外，有限元法的同一個門還有骨架的兩大奇跡。在一般的有限元方法中，形狀函數(shù)是一階線性的，對于復(fù)雜的幾何邊界條件來說比較困難，所以有等參元法和威爾遜非協(xié)調(diào)元，它們是形狀函數(shù)中帶有二次項的播放器。

20世紀(jì)70年代，有限元法的發(fā)展達(dá)到頂峰，其基本理論和方法日趨成熟。

領(lǐng)導(dǎo)者的運(yùn)動——有限元法的基本步驟

領(lǐng)袖有限元法在對付對手時總是有固定的套路。

解域被離散成一系列元素。就是現(xiàn)在各種軟件里劃分網(wǎng)格的過程。

下一個訣竅是以空的間隔來猜測事物，即根據(jù)每個單元中每個節(jié)點(diǎn)的值，用單元插值函數(shù)來擬合這個單元上的未知場函數(shù)。就我們常見的力學(xué)求解問題而言，通常是先求解整個結(jié)構(gòu)的位移函數(shù)。

然后根據(jù)力學(xué)原理，得到各單元的剛度矩陣。然后，將單元剛度矩陣壓縮成總剛度矩陣，在邊界條件下得到數(shù)值解。

在一般結(jié)構(gòu)力學(xué)問題中，這些措施基本上是無懈可擊的。

領(lǐng)導(dǎo)的罩門——有限元法的缺陷

雖然教主統(tǒng)一了江湖，但是其他高手并沒有被消滅，說明教主武功有弱點(diǎn)。

首先是元素的劃分。雖然很多有限元程序都有自動劃分單元的功能，但仍然無法保證網(wǎng)格劃分的合理性。由于網(wǎng)格劃分不合理，計算精度差，甚至無法完全避免不收斂。

其次，現(xiàn)有的有限元方法大多采用一階線性形式函數(shù)，在擬合復(fù)雜問題時效率不高，而等參元法擬合的二次形式函數(shù)不完整，威爾遜非協(xié)調(diào)元因不滿足變形協(xié)調(diào)條件而不能保證收斂性。

此外，當(dāng)有限元法涉及大變形問題時，網(wǎng)格在計算中會發(fā)生嚴(yán)重變形，不僅需要進(jìn)行網(wǎng)格重構(gòu)，還會導(dǎo)致計算精度下降。在處理裂紋發(fā)展問題時，由于裂紋發(fā)展的不確定性，必須對單元進(jìn)行重新劃分，以模擬裂紋發(fā)展的整個動態(tài)過程。

二、隱人無網(wǎng)格法

隱藏人的起源——無網(wǎng)格方法的發(fā)展

對于教主的罩門，另一位大師又練了一門絕學(xué)——無網(wǎng)格法，其計算與網(wǎng)格無關(guān)。這種無網(wǎng)格方法的出現(xiàn)，與有限元方法不同，在大變形和裂紋發(fā)展的問題中不需要重新網(wǎng)格，因此無網(wǎng)格方法不僅可以提高計算精度，而且在處理這類問題時可以降低計算難度。

無網(wǎng)格方法的出現(xiàn)可以追溯到20世紀(jì)70年代。當(dāng)時人們開始研究無網(wǎng)格法的前身——不規(guī)則網(wǎng)格有限元差分法。1977年，露西提出了“光滑粒子流體動力學(xué)”方法，簡稱SPH方法。1995年，劉等人提出再生核粒子方法，簡稱RKPM。RKPM方法和SPH方法一樣，是一種基于核逼近的無網(wǎng)格方法。在SPH方法的基礎(chǔ)上，引入修正函數(shù)來施加再生條件，并采用高斯積分。RKPM方法不僅解決了SPH方法在邊界條件上的不一致性，而且完全消除了SPH方法的張力不穩(wěn)定性。但由于RKPM方法不滿足Kronecker delta函數(shù)，因此該方法很難施加邊界條件。

除了基于核近似的無網(wǎng)格方法，還有一種移動最小二乘法——“移動最小二乘法”，簡稱MLS方法。1992年，納約爾斯等人將伽遼金法引入移動最小二乘法，提出了擴(kuò)散元法，簡稱DEM法。1994年，Belytschko等人改進(jìn)了色散單元法，在形狀函數(shù)的導(dǎo)數(shù)中保留了色散單元法所省略的項，并引入拉格朗日乘子法來應(yīng)用邊界條件，即無網(wǎng)格伽遼金法——“無單元伽遼金法”簡稱EFG法。然后有很多方法，如有限點(diǎn)法——“有限點(diǎn)法”簡稱FPM法，無網(wǎng)格局部彼得羅夫-伽遼金法簡稱MLPG法，再生核序譜單元分解法等等。

隱人風(fēng)格——無網(wǎng)格法的基本思想

我對無網(wǎng)格方法沒有深入的研究。從基本思想來看，無網(wǎng)格方法是在解域中安排有限數(shù)量的節(jié)點(diǎn)，在每個節(jié)點(diǎn)上定義覆蓋節(jié)點(diǎn)周圍一定區(qū)域的節(jié)點(diǎn)權(quán)函數(shù)或節(jié)點(diǎn)核函數(shù)，以擬合修改節(jié)點(diǎn)附近一定區(qū)域內(nèi)的物理量。每個節(jié)點(diǎn)影響的區(qū)域稱為其支持域，整個解決方案域被所有節(jié)點(diǎn)的支持域覆蓋。這樣就可以通過疊加每個節(jié)點(diǎn)的權(quán)函數(shù)來擬合待求解的函數(shù)。

你為什么退休？——無網(wǎng)格法的缺點(diǎn)

隱人無網(wǎng)格法是一種獨(dú)特的武術(shù)，甚至擺脫了有限元網(wǎng)格法的束縛，可以忽略網(wǎng)格劃分是否合理，達(dá)到不動則贏的境界，但為什么現(xiàn)實中沒有商業(yè)軟件采用這種方法？說到底是因為隱藏人的神秘和不可收拾的詭計。以熟悉的結(jié)構(gòu)分析為例，我們習(xí)慣于愉快地在模型的某些節(jié)點(diǎn)上施加邊界條件。一個節(jié)點(diǎn)剛和一個約束節(jié)點(diǎn)連接起來就不能有位移的無憂無慮的體驗，在無網(wǎng)格法中幾乎成了泡影。由于無網(wǎng)格方法中節(jié)點(diǎn)的支撐域重合，通常不滿足Kronecker函數(shù)特性，即節(jié)點(diǎn)的位移不僅由該節(jié)點(diǎn)的形狀函數(shù)決定，周圍所有節(jié)點(diǎn)都可能對其產(chǎn)生影響，因此很難施加位移為0的約束。而且無網(wǎng)格法的積分計算比有限元法復(fù)雜，所以這位大師暫時只能生活在特定的領(lǐng)域，江湖上往往只剩下他的傳說。

第三，令人垂涎的領(lǐng)導(dǎo)者——廣義有限元法

武林中從不缺少驚喜和天賦的新人。廣義有限元法就是這樣一個可能繼承領(lǐng)袖地位的新人。廣義有限元法最早是由巴布斯卡一世等人在20世紀(jì)末提出的。將傳統(tǒng)有限元法中的插值函數(shù)作為單元分解函數(shù)，可以看出廣義有限元法實際上是傳統(tǒng)有限元法和無網(wǎng)格法中單元分解法的結(jié)合。與傳統(tǒng)有限元法相比，廣義有限元法與傳統(tǒng)有限元法的最大區(qū)別在于，在插值函數(shù)中引入了能夠反映待求解問題特征的函數(shù)，從而可以避免網(wǎng)格重構(gòu)，提高計算精度和效率。

大約同時，國內(nèi)也有學(xué)者提出了類似的觀點(diǎn)。1995年，梁教授提出了基于石根華流形思想的廣義有限元方法。之后欒茂田等人引入了廣義節(jié)點(diǎn)的概念，即在傳統(tǒng)有限元方法的節(jié)點(diǎn)上增加新的自由度，從而得到一種無需增加節(jié)點(diǎn)就能模擬高階變形的廣義節(jié)點(diǎn)有限元方法。辛亞云在程耀順教授的指導(dǎo)下，對欒茂田等人提出的廣義節(jié)點(diǎn)有限元法進(jìn)行了改進(jìn)。具體來說，設(shè)置每個節(jié)點(diǎn)的局部坐標(biāo)原點(diǎn)來改變節(jié)點(diǎn)本身，并給出新的插值函數(shù)。2007年，Rajendran和B.R .張將最小二乘法、有限元法和點(diǎn)插值法相結(jié)合，建立了一種新的四節(jié)點(diǎn)四邊形單元，并應(yīng)用于求解平面應(yīng)力問題。然后，將該單元應(yīng)用于非線性柯西材料的自由振動分析和平面應(yīng)力分析。之后，在程耀順教授的指導(dǎo)下，李剛進(jìn)一步改進(jìn)了辛亞云的廣義節(jié)點(diǎn)有限元法，并引入了鄰近點(diǎn)的概念，結(jié)合點(diǎn)插值法，提出了半分散單元法。半分散單元法在原有限元范式函數(shù)上增加了新的自由度，使之成為二次完全形式函數(shù)，在擬合復(fù)雜問題時比傳統(tǒng)有限元法收斂更快，精度更高。

初始技能測試——半分散單元法的應(yīng)用

這部分說明了半分散單元法的優(yōu)點(diǎn)。

本節(jié)中的符號約定:

sdem-表示本文中的半色散單元法；

T3-代表傳統(tǒng)三節(jié)點(diǎn)三角形單元的有限元方法。

在本節(jié)中，通過數(shù)值算例比較了半色散單元法和傳統(tǒng)三節(jié)點(diǎn)三角形單元在穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)計算中的優(yōu)缺點(diǎn)。

已知四邊邊界溫度的矩形溫度場問題

如下圖所示，一個無限長的矩形柱體的截面有邊長L1和L2，材料性質(zhì)均勻，柱體內(nèi)部沒有熱源。因為圓柱體是無限長的，邊界上的熱交換條件與縱向坐標(biāo)無關(guān)。因此將問題簡化為二維穩(wěn)態(tài)熱傳導(dǎo)問題。

這個問題的數(shù)學(xué)模型可以用下面的微分方程表示:

邊界條件是

該區(qū)域溫度分布的解析解為:

為了便于計算，邊界條件中L1和L2都取為1，TW也取為1。同時，材料的導(dǎo)熱系數(shù)Kx和Ky均取1；選擇計算區(qū)域的中心位置P(0.5，0.5)作為調(diào)查點(diǎn)。

根據(jù)問題的解析解公式(3)，P位置的溫度值可以如下獲得

半分散單元法和傳統(tǒng)有限元法在計算中采用相同的網(wǎng)格劃分。網(wǎng)格劃分如下圖所示。

利用上述四種網(wǎng)格劃分方法，采用半分散單元法和傳統(tǒng)有限元法進(jìn)行求解，得到的檢驗點(diǎn)P溫度值和公式(3)得到的檢驗點(diǎn)P溫度值的解析解列于下表。

四種網(wǎng)格劃分模式下的相對誤差對比如下圖所示。

例如，自由度用作比較標(biāo)準(zhǔn)。表2列出了半分散單元法和傳統(tǒng)有限元法的自由度比較。

從表2可以看出，半分散單元法的自由度與傳統(tǒng)有限元法相同，這是由于原廣義節(jié)點(diǎn)有限元中增加的自由度可以用節(jié)點(diǎn)信息表示，并在形成剛度矩陣時濃縮出來。

以下誤差分析基于自由度數(shù)。由于自由度的個數(shù)在網(wǎng)格化和加密過程中并不是線性增長的，所以我們在分析中會以自由度個數(shù)的自然對數(shù)作為度量指標(biāo)。

可以看出，無論是相同的網(wǎng)格還是相同的自由度，半分散單元法在收斂速度和精度上都遠(yuǎn)遠(yuǎn)優(yōu)于傳統(tǒng)的有限元法。

第四，隨機(jī)英雄譜

看結(jié)構(gòu)分析手段的江湖目前，英雄共崛起，百家爭鳴。然而，有限元法以其成熟的理論和嚴(yán)格的筆畫，受到了主要軟件開發(fā)人員的喜歡，因為其中一種主導(dǎo)了江湖。但是，它工整的筆畫，有利有弊。對于一些大變形的問題，很難避免因為對手的招式太詭異而措手不及。但無網(wǎng)格法輕便多變，容易應(yīng)付有限元法無法解決的對手。但是因為它的套路很難琢磨，所以大家都很難用。廣義有限元法具有兩者結(jié)合的意義，但作為一種新的大師，它在國際上還沒有成名。

我的知識是庸俗的，世上的英雄不可能無所不知。如有錯漏，還望各位官員見諒。

引用

[1]王。有限元方法北京:清華大學(xué)出版社，2003

陳。二次廣義有限元的性質(zhì)和邊界條件的處理方法:[碩士論文]。上海:同濟(jì)大學(xué)，2011

李剛。半色散單元法:[碩士論文]。上海:同濟(jì)大學(xué)，2007