在最后一期，張文推薦用數(shù)學(xué)語(yǔ)言看世界。

讀者田顯正指出，“數(shù)學(xué)語(yǔ)言看世界”這個(gè)名稱(chēng)是對(duì)兒童的誤導(dǎo)。起初，我以為彭先生弄錯(cuò)了。后來(lái)是個(gè)標(biāo)題。

彭昱成回答:數(shù)學(xué)不是人，沒(méi)有眼睛和嘴巴。應(yīng)該說(shuō)，數(shù)學(xué)思維，數(shù)學(xué)方式，擬人手法，就是數(shù)學(xué)視覺(jué)。這個(gè)翻譯可能不太符合我們的習(xí)慣。書(shū)中還有一些小錯(cuò)誤。

0在本書(shū)中不視為自然數(shù)。腳注有說(shuō)明，大概是翻譯或者編輯加的。

有讀者留言指出這個(gè)問(wèn)題。

那么0是自然數(shù)嗎？

在八九十年代的中小學(xué)教科書(shū)中，0不是自然數(shù)。為什么0會(huì)突然變成自然數(shù)？

事實(shí)上，這并不是一下子發(fā)生的。直到現(xiàn)在，學(xué)術(shù)界仍有爭(zhēng)議。

分為兩個(gè)學(xué)派，一個(gè)是數(shù)論學(xué)派，他們不承認(rèn)0是自然數(shù)。

比如丹盾教授的《有趣的數(shù)論》就是這樣?，F(xiàn)在轉(zhuǎn)載，為了符合現(xiàn)在中小學(xué)的規(guī)定，但是編輯要尊重丹盾教授的初衷，所以只能加注釋。

另一派是集合論派，極力主張0是自然數(shù)。目前集合論學(xué)派占了上風(fēng)，掌握了話(huà)語(yǔ)權(quán)。

綜上所述，這個(gè)問(wèn)題在學(xué)術(shù)界是有爭(zhēng)議的。

在中小學(xué)的教學(xué)和考試中，我國(guó)的有關(guān)文件都明確規(guī)定0是自然數(shù)。從考試的角度，請(qǐng)記住0是自然數(shù)。特此聲明。

彭宇成注:這本書(shū)前言的前兩段很有意思。

第一段表達(dá)了父母的感受，希望孩子能有所創(chuàng)造。

第二段說(shuō)明日本人擔(dān)心中國(guó)和印度的崛起。但是作者從更高的層面思考，認(rèn)為只有全人類(lèi)都進(jìn)步了，我們才能活得更好！

為女兒的數(shù)學(xué)禮物作序

當(dāng)你出生時(shí)，我想，我希望你能在這個(gè)世界上快樂(lè)生活的同時(shí)，成為社會(huì)進(jìn)步的推動(dòng)者。雖然現(xiàn)代社會(huì)有很多問(wèn)題，但我認(rèn)為這是人類(lèi)歷史上最激動(dòng)人心的時(shí)刻。像每一位父母一樣，我希望我的孩子能享受世界上最好的東西。然而，僅此還不夠。這個(gè)美好的時(shí)代是由人類(lèi)的智慧和努力構(gòu)建的。希望你不僅是成就的受益者，也成為創(chuàng)造者，為后人留下更好的成就。

21世紀(jì)也可以說(shuō)是一個(gè)不確定的時(shí)代，國(guó)際社會(huì)的規(guī)則在不斷變化。中國(guó)有13億人，印度有12億人。如果這些群體中的大多數(shù)接受高等教育，然后從事知識(shí)研究，世界將呈現(xiàn)出新的面貌。說(shuō)起這件事，有人擔(dān)心日本和美國(guó)作為發(fā)達(dá)國(guó)家會(huì)受到威脅，但我不這么認(rèn)為。如果發(fā)展中國(guó)家的數(shù)十億人獲得良好的教育機(jī)會(huì)，許多解決當(dāng)前社會(huì)問(wèn)題的新方法將會(huì)出現(xiàn)。隨著世界整體教育水平的提高，可以分配的“蛋糕”可以更大。對(duì)于出生在21世紀(jì)的你來(lái)說(shuō)，這些情況既是挑戰(zhàn)，也是巨大的機(jī)遇。

在這個(gè)瞬息萬(wàn)變的世界里，獨(dú)立思考的能力是不可或缺的。歐洲有“文科”的教育傳統(tǒng)。自由主義原本的意思是“自由”，意思是“永遠(yuǎn)不要做奴隸”。也就是說(shuō)，自由化藝術(shù)是一種使人掌握自己命運(yùn)，成為自由人的修養(yǎng)。無(wú)論是成為領(lǐng)導(dǎo)，還是面對(duì)意想不到的問(wèn)題，都要鍛煉獨(dú)立思考和解決問(wèn)題的能力。

在古羅馬，“七大藝術(shù)”是邏輯、語(yǔ)法、修辭、音樂(lè)、天文學(xué)以及算術(shù)和幾何。前三項(xiàng)是錘煉“論證”的語(yǔ)言技術(shù)。我認(rèn)為這三項(xiàng)排在第一位是因?yàn)樗鼈兪钦Z(yǔ)言形成的必要條件。只有學(xué)會(huì)使用語(yǔ)言，我們才能獲得思維能力。

七大藝術(shù)中，“算術(shù)”和“幾何”屬于數(shù)學(xué)領(lǐng)域，我覺(jué)得很有意思。通常人們認(rèn)為語(yǔ)言領(lǐng)域的文學(xué)或者外語(yǔ)文學(xué)屬于文科，數(shù)學(xué)屬于理科，但我認(rèn)為數(shù)學(xué)和語(yǔ)言學(xué)習(xí)是一回事。數(shù)學(xué)能準(zhǔn)確描述事物，超越了英語(yǔ)、日語(yǔ)等自然語(yǔ)言的表達(dá)能力。所以，如果我們理解了數(shù)學(xué)，就能看到那些看不見(jiàn)的東西，想出我們從未想過(guò)的新點(diǎn)子。

我在小學(xué)的時(shí)候并沒(méi)有那么喜歡“算術(shù)”，但是進(jìn)入中學(xué)以后，“算術(shù)”演變成了“數(shù)學(xué)”，我漸漸喜歡上了這門(mén)學(xué)科。帶來(lái)這種改變的機(jī)會(huì)，來(lái)自于我獨(dú)立思考時(shí)帶給我的愉悅。我解數(shù)學(xué)題的時(shí)候，只有一個(gè)答案，沒(méi)有別的。當(dāng)面對(duì)學(xué)校里學(xué)到的知識(shí)無(wú)法解答的問(wèn)題時(shí)，這種快感就越來(lái)越強(qiáng)烈。而且我不需要問(wèn)老師答案是否正確，因?yàn)槲铱梢元?dú)立判斷。就像嬰兒邁出第一步，新技能拓寬了對(duì)世界的體驗(yàn)。希望你也能體會(huì)到這份榮幸。

這本書(shū)是為了幫助你在21世紀(jì)過(guò)上有意義的生活而寫(xiě)的。當(dāng)然，如果你想系統(tǒng)地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，最好用學(xué)校的課本。如果把數(shù)學(xué)看成一門(mén)語(yǔ)言，比如把數(shù)學(xué)比作法語(yǔ)，那么這本書(shū)不是從零開(kāi)始一步步教語(yǔ)法和單詞，而是一套實(shí)用的會(huì)話(huà)集。有了它，你可以去法國(guó)旅行，用法語(yǔ)在巴黎的餐館點(diǎn)菜。甚至在服務(wù)員介紹“今日推薦菜品”的時(shí)候，你也能立刻了解并判斷這道菜是否該點(diǎn)?；蛘呷ケR浮宮參觀(guān)，接觸過(guò)去的偉大作品，可以提升自己的精神境界。除了數(shù)學(xué)的實(shí)際應(yīng)用，這本書(shū)還將講述從古巴比倫到古希臘數(shù)學(xué)發(fā)展的有趣故事。

我不是數(shù)學(xué)家。1989年從東京大學(xué)獲得物理學(xué)博士學(xué)位，五年后被加州大學(xué)伯克利分校聘為教授。從2000年開(kāi)始，我一直在加州理工學(xué)院物理教研室工作。但是2010年，數(shù)學(xué)教研室的老師邀請(qǐng)我去當(dāng)數(shù)學(xué)教授。一開(kāi)始我以“我從來(lái)沒(méi)有驗(yàn)證過(guò)什么著名的定理”為由拒絕了，但他們勸我“驗(yàn)證定理不是對(duì)數(shù)學(xué)有貢獻(xiàn)的唯一途徑”。你的研究為數(shù)學(xué)研究提出了新的問(wèn)題，促進(jìn)了數(shù)學(xué)的新發(fā)展，所以我不得不接受他們的建議。其實(shí)我提到過(guò)很多關(guān)于數(shù)學(xué)的猜想，這些猜想都被數(shù)學(xué)家準(zhǔn)確地證明了。所以，我不是證明定理的數(shù)學(xué)家，而是公認(rèn)的數(shù)學(xué)的使用者。這本書(shū)講的也是從用戶(hù)角度講的數(shù)學(xué)知識(shí)。

我決定在個(gè)人主頁(yè)上補(bǔ)充一下認(rèn)證流程、后續(xù)話(huà)題以及本書(shū)沒(méi)有說(shuō)明的參考文獻(xiàn)，以保證在出現(xiàn)新的發(fā)展時(shí)，能夠及時(shí)補(bǔ)充相關(guān)知識(shí)和新的參考文獻(xiàn)。當(dāng)然，讀這本書(shū)的時(shí)候不需要補(bǔ)充知識(shí)。讀完這本書(shū)，如果你想了解更多，也許瀏覽我的個(gè)人主頁(yè)http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics是一個(gè)不錯(cuò)的選擇。本文還會(huì)引用與內(nèi)容相關(guān)的知識(shí)點(diǎn)。

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言看世界

彭昱成

這幾天看了一本新書(shū)《用數(shù)學(xué)語(yǔ)言看世界》。作者是一位日本物理學(xué)家，Hiroshi Kuriba。他可能在物理方面取得了更大的成就，但他對(duì)數(shù)學(xué)也有很深的理解。

這本書(shū)是作者為女兒寫(xiě)的，所以和普通科普書(shū)有很大區(qū)別。這本書(shū)沒(méi)有列出很多知識(shí)點(diǎn)，但重點(diǎn)是:

用數(shù)學(xué)的眼光看現(xiàn)實(shí)世界，

用數(shù)學(xué)思維分析現(xiàn)實(shí)世界，

用數(shù)學(xué)語(yǔ)言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界。

擲硬幣的獨(dú)立性

如果你扔一枚硬幣，扔10次，全部面朝上，然后扔第11次。你怎么想呢?

肯定有人會(huì)說(shuō)，下一次和前10次無(wú)關(guān)，所以正負(fù)概率是1/2。

的確，我們中學(xué)課本上也是這么說(shuō)的。

問(wèn)題是教科書(shū)為了簡(jiǎn)化，總是假設(shè)硬幣是正面和背面沒(méi)有區(qū)別的理想硬幣?，F(xiàn)在扔10次是正的，說(shuō)明這個(gè)硬幣可能有問(wèn)題，不是理想硬幣。

基于這枚硬幣之前的表現(xiàn)，我們完全有理由猜測(cè)，下次更有可能是正面的。

本書(shū)第一章是關(guān)于如何利用貝葉斯定理從不確定信息中進(jìn)行判斷。

書(shū)中有很多翔實(shí)的案例，下面列舉其中一個(gè)。本案是真實(shí)案例，影響很大。

這本書(shū)的第二章講述了回歸的基本原理，以加深理解。

華說(shuō):學(xué)好數(shù)學(xué)，善于“退”出復(fù)雜的問(wèn)題，并且“退”到最原始的地方而不喪失重要性，這是一個(gè)訣竅。

理解消極有多積極是個(gè)大問(wèn)題。作者認(rèn)為應(yīng)該回歸基礎(chǔ)。

負(fù)數(shù)的基本性質(zhì)是，對(duì)于任意一個(gè)A，都有-a，所以a+(-a)=0。

書(shū)中有這樣一段對(duì)話(huà)。

面試官:在你最近的面試中，你給了追求創(chuàng)新的年輕人一個(gè)建議，提到了從基本原則出發(fā)思考而不是模仿別人的重要性。你能對(duì)此說(shuō)得更具體一點(diǎn)嗎？

馬斯克:我們?cè)谌粘Ｉ钪型ǔ２粫?huì)從基本原則出發(fā)去思考。如果我們這樣做，我們?cè)诰裆蠠o(wú)法忍受。所以，我們的大部分生命都是靠類(lèi)比或者模仿別人度過(guò)的。但是當(dāng)我們想要開(kāi)拓一個(gè)新的領(lǐng)域或真正意義上的創(chuàng)新時(shí)，我們必須從基本原則出發(fā)。任何領(lǐng)域都一樣。我們必須首先發(fā)現(xiàn)這個(gè)領(lǐng)域最基本的真理，然后重新思考。實(shí)現(xiàn)這個(gè)過(guò)程需要精神上的努力。我舉個(gè)例子?；貧w基本原理對(duì)我的火箭生涯起到了作用。

下面幾章也很精彩。

比如第九章講解高階方程。

解不同的方程難度不同。如何建立評(píng)價(jià)難度的標(biāo)準(zhǔn)？

二次方程為什么有解？你可以想出解決方案，并展示給別人看。所以很好解決。

正如歷史學(xué)家的名言，不費(fèi)力就容易破。但是很難判斷一維五次方程沒(méi)有根本解。

如何從二次方程中得到啟發(fā)，深入研究對(duì)稱(chēng)性，引入群的概念，進(jìn)而開(kāi)創(chuàng)數(shù)學(xué)的新分支…

看看亞伯和伽羅瓦是怎么做到的。

為女兒的數(shù)學(xué)禮物作序

第一章從不確定信息判斷

第二章回歸的基本原則

第三章大數(shù)字并不可怕

第四章不可思議的素?cái)?shù)

第五章無(wú)限世界和不完全定理

第六章測(cè)量宇宙的形狀

第七章差異化源于整合

第八章實(shí)數(shù)“虛數(shù)”

第九章衡量“困難”和“美好”

附筆

很多人問(wèn):有沒(méi)有關(guān)于數(shù)學(xué)與生活關(guān)系的書(shū)？我想這就是了。