最后一篇推薦《用數(shù)學語言看世界》。

讀者田顯正指出，“數(shù)學語言看世界”這個名稱是對兒童的誤導。起初，我以為彭先生弄錯了。后來是個標題。

彭昱成回答:數(shù)學不是人，沒有眼睛和嘴巴。應該說，數(shù)學思維，數(shù)學方式，擬人手法，就是數(shù)學視覺。這個翻譯可能不太符合我們的習慣。書中還有一些小錯誤。

0在本書中不視為自然數(shù)。腳注有說明，大概是翻譯或者編輯加的。

有讀者留言指出這個問題。

那么0是自然數(shù)嗎？

在八九十年代的中小學教科書中，0不是自然數(shù)。為什么0會突然變成自然數(shù)？

事實上，這并不是一下子發(fā)生的。直到現(xiàn)在，學術界仍有爭議。

分為兩個學派，一個是數(shù)論學派，他們不承認0是自然數(shù)。

比如丹盾教授的《有趣的數(shù)論》就是這樣?，F(xiàn)在轉載，為了符合現(xiàn)在中小學的規(guī)定，但是編輯要尊重丹盾教授的初衷，所以只能加注釋。

另一派是集合論派，極力主張0是自然數(shù)。目前集合論學派占了上風，掌握了話語權。

綜上所述，這個問題在學術界是有爭議的。

在中小學的教學和考試中，我國的有關文件都明確規(guī)定0是自然數(shù)。從考試的角度，請記住0是自然數(shù)。特此聲明。

彭宇成注:這本書前言的前兩段很有意思。

第一段表達了父母的感受，希望孩子能有所創(chuàng)造。

第二段說明日本人擔心中國和印度的崛起。但是作者從更高的層面思考，認為只有全人類都進步了，我們才能活得更好！

為女兒的數(shù)學禮物作序

當你出生時，我想，我希望你能在這個世界上快樂生活的同時，成為社會進步的推動者。雖然現(xiàn)代社會有很多問題，但我認為這是人類歷史上最激動人心的時刻。像每一位父母一樣，我希望我的孩子能享受世界上最好的東西。然而，僅此還不夠。這個美好的時代是由人類的智慧和努力構建的。希望你不僅是成就的受益者，也成為創(chuàng)造者，為后人留下更好的成就。

21世紀也可以說是一個不確定的時代，國際社會的規(guī)則在不斷變化。中國有13億人，印度有12億人。如果這些群體中的大多數(shù)接受高等教育，然后從事知識研究，世界將呈現(xiàn)出新的面貌。說起這件事，有人擔心日本和美國作為發(fā)達國家會受到威脅，但我不這么認為。如果發(fā)展中國家的數(shù)十億人獲得良好的教育機會，許多解決當前社會問題的新方法將會出現(xiàn)。隨著世界整體教育水平的提高，可以分配的“蛋糕”可以更大。對于出生在21世紀的你來說，這些情況既是挑戰(zhàn)，也是巨大的機遇。

在這個瞬息萬變的世界里，獨立思考的能力是不可或缺的。歐洲有“文科”的教育傳統(tǒng)。自由主義原本的意思是“自由”，意思是“永遠不要做奴隸”。也就是說，自由化藝術是一種使人掌握自己命運，成為自由人的修養(yǎng)。無論是成為領導，還是面對意想不到的問題，都要鍛煉獨立思考和解決問題的能力。

在古羅馬，“七大藝術”是邏輯、語法、修辭、音樂、天文學以及算術和幾何。前三項是錘煉“論證”的語言技術。我認為這三項排在第一位是因為它們是語言形成的必要條件。只有學會使用語言，我們才能獲得思維能力。

七大藝術中，“算術”和“幾何”屬于數(shù)學領域，我覺得很有意思。通常人們認為語言領域的文學或者外語文學屬于文科，數(shù)學屬于理科，但我認為數(shù)學和語言學習是一回事。數(shù)學能準確描述事物，超越了英語、日語等自然語言的表達能力。所以，如果我們理解了數(shù)學，就能看到那些看不見的東西，想出我們從未想過的新點子。

我在小學的時候并沒有那么喜歡“算術”，但是進入中學以后，“算術”演變成了“數(shù)學”，我漸漸喜歡上了這門學科。帶來這種改變的機會，來自于我獨立思考時帶給我的愉悅。我解數(shù)學題的時候，只有一個答案，沒有別的。當面對學校里學到的知識無法解答的問題時，這種快感就越來越強烈。而且我不需要問老師答案是否正確，因為我可以獨立判斷。就像嬰兒邁出第一步，新技能拓寬了對世界的體驗。希望你也能體會到這份榮幸。

這本書是為了幫助你在21世紀過上有意義的生活而寫的。當然，如果你想系統(tǒng)地學習數(shù)學，最好用學校的課本。如果把數(shù)學看成一門語言，比如把數(shù)學比作法語，那么這本書不是從零開始一步步教語法和單詞，而是一套實用的會話集。有了它，你可以去法國旅行，用法語在巴黎的餐館點菜。甚至在服務員介紹“今日推薦菜品”的時候，你也能立刻了解并判斷這道菜是否該點?；蛘呷ケR浮宮參觀，接觸過去的偉大作品，可以提升自己的精神境界。除了數(shù)學的實際應用，這本書還將講述從古巴比倫到古希臘數(shù)學發(fā)展的有趣故事。

我不是數(shù)學家。1989年從東京大學獲得物理學博士學位，五年后被加州大學伯克利分校聘為教授。從2000年開始，我一直在加州理工學院物理教研室工作。但是2010年，數(shù)學教研室的老師邀請我去當數(shù)學教授。一開始我以“我從來沒有驗證過什么著名的定理”為由拒絕了，但他們勸我“驗證定理不是對數(shù)學有貢獻的唯一途徑”。你的研究為數(shù)學研究提出了新的問題，促進了數(shù)學的新發(fā)展，所以我不得不接受他們的建議。其實我提到過很多關于數(shù)學的猜想，這些猜想都被數(shù)學家準確地證明了。所以，我不是證明定理的數(shù)學家，而是公認的數(shù)學的使用者。這本書講的也是從用戶角度講的數(shù)學知識。

我決定在個人主頁上補充一下認證流程、后續(xù)話題以及本書沒有說明的參考文獻，以保證在出現(xiàn)新的發(fā)展時，能夠及時補充相關知識和新的參考文獻。當然，讀這本書的時候不需要補充知識。讀完這本書，如果你想了解更多，也許瀏覽我的個人主頁http://ooguri.caltech.edu/japanese/mathematics是一個不錯的選擇。本文還會引用與內容相關的知識點。

用數(shù)學語言看世界

彭昱成

這幾天看了一本新書《用數(shù)學語言看世界》。作者是一位日本物理學家，Hiroshi Kuriba。他可能在物理方面取得了更大的成就，但他對數(shù)學也有很深的理解。

這本書是作者為女兒寫的，所以和普通科普書有很大區(qū)別。這本書沒有列出很多知識點，但重點是:

用數(shù)學的眼光看現(xiàn)實世界，

用數(shù)學思維分析現(xiàn)實世界，

用數(shù)學語言表達現(xiàn)實世界。

擲硬幣的獨立性

如果你扔一枚硬幣，扔10次，全部面朝上，然后扔第11次。你怎么想呢?

肯定有人會說，下一次和前10次無關，所以正負概率是1/2。

的確，我們中學課本上也是這么說的。

問題是教科書為了簡化，總是假設硬幣是正面和背面沒有區(qū)別的理想硬幣。現(xiàn)在扔10次是正的，說明這個硬幣可能有問題，不是理想硬幣。

基于這枚硬幣之前的表現(xiàn)，我們完全有理由猜測，下次更有可能是正面的。

本書第一章是關于如何利用貝葉斯定理從不確定信息中進行判斷。

書中有很多翔實的案例，下面列舉其中一個。本案是真實案例，影響很大。

這本書的第二章講述了回歸的基本原理，以加深理解。

華說:學好數(shù)學，善于“退”出復雜的問題，并且“退”到最原始的地方而不喪失重要性，這是一個訣竅。

理解消極有多積極是個大問題。作者認為應該回歸基礎。

負數(shù)的基本性質是，對于任意一個A，都有-a，所以a+(-a)=0。

書中有這樣一段對話。

面試官:在你最近的面試中，你給了追求創(chuàng)新的年輕人一個建議，提到了從基本原則出發(fā)思考而不是模仿別人的重要性。你能對此說得更具體一點嗎？

馬斯克:我們在日常生活中通常不會從基本原則出發(fā)去思考。如果我們這樣做，我們在精神上無法忍受。所以，我們的大部分生命都是靠類比或者模仿別人度過的。但是當我們想要開拓一個新的領域或真正意義上的創(chuàng)新時，我們必須從基本原則出發(fā)。任何領域都一樣。我們必須首先發(fā)現(xiàn)這個領域最基本的真理，然后重新思考。實現(xiàn)這個過程需要精神上的努力。我舉個例子?；貧w基本原理對我的火箭生涯起到了作用。

下面幾章也很精彩。

比如第九章講解高階方程。

解不同的方程難度不同。如何建立評價難度的標準？

二次方程為什么有解？你可以想出解決方案，并展示給別人看。所以很好解決。

正如歷史學家的名言，不費力就容易破。但是很難判斷一維五次方程沒有根本解。

如何從二次方程中得到啟發(fā)，深入研究對稱性，引入群的概念，進而開創(chuàng)數(shù)學的新分支…

看看亞伯和伽羅瓦是怎么做到的。

為女兒的數(shù)學禮物作序

第一章從不確定信息判斷

第二章回歸的基本原則

第三章大數(shù)字并不可怕

第四章不可思議的素數(shù)

第五章無限世界和不完全定理

第六章測量宇宙的形狀

第七章差異化源于整合

第八章實數(shù)“虛數(shù)”

第九章衡量“困難”和“美好”

附筆

很多人問:有沒有關于數(shù)學與生活關系的書？我想這就是了。