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前言

看到這個標(biāo)題，大家是不是覺得很奇怪呢？無窮大就是無窮大，怎么無窮大還能分個三六九等？

然而數(shù)學(xué)有的時候不一定跟著直覺走。很多時候，經(jīng)過嚴(yán)格的推理和論證，我們可以得出很多反直覺，但確實正確的結(jié)論。

在數(shù)學(xué)上，關(guān)于無窮大的討論，人們曾經(jīng)經(jīng)歷了很多的爭論，甚至還把相關(guān)理論的發(fā)明人，數(shù)學(xué)家康托爾，逼到精神失常。所幸，現(xiàn)在這個爭論終于塵埃落定，現(xiàn)代數(shù)學(xué)關(guān)于無窮大已經(jīng)有了一套比較完備的理論。姑且寫出來，分享之。

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神奇的希爾伯特旅館

希爾伯特旅館是數(shù)學(xué)上一個著名的思想實驗，也是關(guān)于無窮大的理論的基石。或許不少看到這篇文章的小伙伴之前都聽過。不過我這里，還是覺得以這個引入是最好的，所以這里就再寫一遍咯。沒接觸過的小伙伴正好來看一下~

設(shè)想有一個無限大的旅館，里面有標(biāo)號1,2,3...的無窮多個房間?，F(xiàn)在，所有的客房都有客人了?？疾煜铝星榫埃?/p>

某天，張三帶著他朋友們組成了一個10人旅行團(tuán)來這里旅游，想要住這個旅館，請問能不能給他們安排房間？

第二天，張三雇了一輛無窮巴士，帶來了標(biāo)號1,2,3...的無窮多個朋友來這里旅游。請問，能不能把他們都安排上房間？

第三天，張三找了一個無窮旅行社，從里面雇了編號1,2,3...的無窮多個巴士，每一個巴士上都有標(biāo)號1,2,3...的無窮多個客人。請問，能不能把他們都安排上房間？

第四天，張三找了一輛“超級無窮巴士”，上面的客人不用1,2,3...編號，而是每人身上都貼著一個標(biāo)簽，標(biāo)簽上寫著只包含"x"和"y"這兩個字母的無限長的字符串。假設(shè)每個人身上的標(biāo)簽組合起來，可以包含所有由"x"和"y"這兩個字母的無限長的字符串組成的字符，并且不同人對應(yīng)的字符各不相同。請問，此時還能給這些人安排房間嗎？

正確答案是：前三天都可以，第四天這個旅館就歇菜了。

第一天，只要讓編號的房間里的客人移動到第號房間去住，前10個房間就騰出來了。

第二天，把所有正整數(shù)分成奇偶兩組，讓編號為的房間里的客人移動到號房間去住，然后讓第個客人住第號客房即可。

第三天，還是先讓編號為的房間里的客人移動到號房間去住，把1,3,5,7,9...號客房騰出來。我們把第個巴士上的第個客人記作。那么，讓（即）住第1號客房，讓（即）住第3,5號客房，讓（即）住第7,9,11號客房，讓（即）住第13,15,17,19號客房……如此繼續(xù)下去，按照的值從小到大的順序一組一組安排，總能把所有客人安排進(jìn)去。

然而到了第四天，事情就不對勁了。假設(shè)我們把所有的客人都安排進(jìn)去了?，F(xiàn)在，考察這么一個客人，對于任意正整數(shù)，他身上對應(yīng)的字符串的第位和第名已經(jīng)入住酒店的客人的第個字符不相同（也就是如果入住的客人的那一位是x，他就取y，反之亦然）。這樣一來，這個客人的字符就和每一名已經(jīng)入住的客人的。從而，這個客人沒有入住，這和我們的假設(shè)“所有客人都安排進(jìn)去了”矛盾。借助反證法的思想我們知道，這個旅館第四天必須掛出“今日滿員”的牌子。

下面的圖可以幫助大家理解第4天發(fā)生的事情：

無窮大到底怎么比大??？

一一對應(yīng)原則

從上面的例子可以看到，無窮大之間比大小，就不像有限量比大小一樣，”我比你多我就比你大”，而是要借助其他的原則。

這個原則是什么呢？

我們還是從有限量的比較獲得靈感。假設(shè)一個劇場有1000個座位，你一上臺發(fā)現(xiàn)臺下既沒有沒人坐的空位，也沒有人坐在臺階上這種“不該坐”的地方，并且每個座位上都只有1個人，沒有家長抱著小孩坐這種情況。請問：臺下有多少觀眾？

大家一定可以立刻回答出來：1000個。那么，為什么可以立刻回答呢？

顯然，在這個場景下，觀眾和座位形成了一一對應(yīng)，因此它們的數(shù)量也一定是“一樣多”。

在數(shù)學(xué)里，無窮大的比較遵循的是一樣的標(biāo)準(zhǔn)：一一對應(yīng)。如果兩個無窮集合里面的元素可以形成一一對應(yīng)，那么這兩個集合的元素個數(shù)就是“一樣多”。如果無窮集合A可以和無窮集合B的一個子集的元素一一對應(yīng)，但集合A卻無法和集合B中的所有元素進(jìn)行一一對應(yīng)，那么就說集合B的元素比集合A多。

一個重要的定理

現(xiàn)實情況下，一一對應(yīng)的規(guī)則往往不好構(gòu)建，很多時候我們都只能構(gòu)建一個集合到另一個集合的子集的對應(yīng)規(guī)則。那么，設(shè)有兩個無窮集合，如果我們構(gòu)建了法則可以把一一對應(yīng)到，又構(gòu)建了法則可以把一一對應(yīng)到，那么，A和B之間是否存在一一對應(yīng)呢？

答案是：一定存在。我們甚至可以直接把這個規(guī)則寫出來：

為方便起見，我們現(xiàn)在把和分別寫作和。設(shè)。根據(jù)定義，，。我們再對和使用法則，設(shè)，。由于，而是一一對應(yīng)法則，根據(jù)和可知：。同理，。而這兩條，就可以看做和之間的一一對應(yīng)法則。

現(xiàn)在，重復(fù)上述操作，定義，再定義，。同理可得，，。而這兩條，就可以看做和之間的一一對應(yīng)法則。

如此繼續(xù)下去，我們可以得到和之間，和之間。。。的對應(yīng)法則。而我們的集合構(gòu)建規(guī)則是和，。從和，借助和為一一對應(yīng)這一特點，用數(shù)學(xué)歸納法容易證明：和。從而，將我們構(gòu)建的對應(yīng)規(guī)則綜合起來，就形成了（即）到（即）的一一對應(yīng)規(guī)則。

如果上面的表述太數(shù)學(xué)化，下面的草圖可以幫大家理解：

圖中，相同紅色數(shù)字標(biāo)出的小段之間具有一一對應(yīng)關(guān)系，對應(yīng)法則我已經(jīng)在后面用字母標(biāo)出。

可見，如果我們可以構(gòu)建兩個法則，分別把兩個無窮集合對應(yīng)到對方的一個子集，我們也可以說這兩個集合的元素個數(shù)“一樣多”。

無限集的勢

對于有限集，元素的個數(shù)可以用一個正整數(shù)來表示，而對于無限集，這顯然不行。而我們從希爾伯特旅館中可以看到，無限似乎又是可以比較大小的。所以，對于無限極的數(shù)量，我們必須給它一個名字。這個名字就叫做無限極的勢。數(shù)學(xué)上，常用符號（讀作“阿列夫數(shù)，Aleph數(shù)”）表示。

根據(jù)一一對應(yīng)規(guī)則，如果某兩個集合的元素“一樣多”，就說它們的“勢”相等，或它們“等勢”，即。如果A比B元素“多”，就說A的勢比B大，即。

這樣，之前證明的定理就可以表示為：如果兩個無窮集合A和B可以和對方的子集一一對應(yīng)，那么必有。這個定理叫做Bernstein定理。

最小的勢：

在所有無限集中，顯然大家能想到的元素數(shù)“最少”的就是正整數(shù)集。這是因為，既然要無限，至少至少，元素必須能一個一個排起來，一直排下去。那么，對于這個集合，我們就把它的勢記作。這是所有的勢當(dāng)中，最小的一個。

那么，根據(jù)一一對應(yīng)的規(guī)則，任意可以和一一對應(yīng)的無限集的勢必然都是，其個數(shù)和“全體正整數(shù)”的個數(shù)一定一樣多。這樣的集合我們稱為“可數(shù)集”，這樣的元素個數(shù)我們稱為“可數(shù)”。

下面，我們要開始證明一些重要的結(jié)論了。提醒：有些可能會反直覺哦。

結(jié)論1：

很簡單，將全體整數(shù)按照0,1,-1,2,-2,3,-3,4,-4...排列，并分別對應(yīng)1,2,3,4,5....即可。

但是，我們知道，。從而，這個簡單的例子告訴大家一個很重要的事情：無窮集完全可以和自身的真子集一一對應(yīng)！。這在有限集里面顯然是不可能的，但是一旦我們討論“無窮”，事情就不一樣了！

結(jié)論2：

什么？！有理數(shù)？！您沒騙我？！有理數(shù)那么多，居然和正整數(shù)個數(shù)一樣多？！

我們來看：現(xiàn)將有理數(shù)按照

這樣排列。按照第一行，第二行，第三行。。。這樣的順序依次寫下有理數(shù)，并且剔除掉和前面的值有重合的元素(例如保留而剔除)，我們就把有理數(shù)排成了一列，然后將這一列按次序分別對應(yīng)1,2,3,...即可。

很反直覺，但是無懈可擊。

結(jié)論3：設(shè)為（可數(shù)）無限多個有限集，且有無限多個元素。則

很簡單，將中的元素順次排列，剔除重復(fù)元素，再按照排列次序與對應(yīng)即可。

結(jié)論4：設(shè)為一列無限集，且。則

證明：考察希爾伯特旅館第三天的情況。既然，集合中的元素一定可以和第輛無窮巴士中的乘客一一對應(yīng)，而還要剔除可能存在的在不止一個中出現(xiàn)的元素。因此，顯然可以和“全體無窮巴士中全體乘客”這個集合的一個子集對應(yīng)。而希爾伯特旅館第三天的情況已經(jīng)證明，“全體無窮巴士中全體乘客”可以和集合{1,3,5,7...}一一對應(yīng)，集合{1,3,5,7...}又顯然和{1,2,3,4...}可以一一對應(yīng)（這個太明顯了）。從而，“全體無窮巴士中全體乘客”可以和一一對應(yīng)。所以，可以和的一個子集一一對應(yīng)。

另一方面，顯然可以和的一個子集對應(yīng)，取任意一個作為這個被對應(yīng)的子集即可。從而，根據(jù)Bernstein定理，。

所以說，即使把可數(shù)個可數(shù)集的元素全湊在一起，全體元素的個數(shù)依然可數(shù)！類似地，有限個可數(shù)集的并集依然可數(shù)，就很顯然了。

結(jié)論5：代數(shù)數(shù)集可數(shù)

代數(shù)數(shù)的定義是：可以成為整系數(shù)多項式方程的根的數(shù)。有理數(shù)自然不必說，*很多無理數(shù)也屬于代數(shù)數(shù)，例如，等。*那么，為什么代數(shù)數(shù)集也可數(shù)呢？

我們知道，任何整系數(shù)多項式方程的根的個數(shù)都是有限個，但是整系數(shù)多項式方程有無限多個。如果可以證明整系數(shù)多項式方程的個數(shù)是可數(shù)的，那么每個整系數(shù)多項式方程的解顯然是有限個，根據(jù)結(jié)論3就完成了命題的證明。

由于整系數(shù)多項式方程顯然和有序有限項整數(shù)數(shù)列一一對應(yīng)（直接去從高次項到低次項的系數(shù)即可，數(shù)列項數(shù)=多項式次數(shù)+1），我們只需證明：全體有限項有序整數(shù)數(shù)列的個數(shù)是可數(shù)的。

設(shè)為全體“含有項的有序整數(shù)數(shù)列”構(gòu)成的集合，。顯然，“全體有限項有序整數(shù)數(shù)列”構(gòu)成的集合就等于。因而，如果能證明對任意正整數(shù)，可數(shù)，根據(jù)結(jié)論4就相當(dāng)于證明了全體有限項有序整數(shù)數(shù)列的個數(shù)是可數(shù)的，也就相當(dāng)于完成了命題的證明。

如果我們定義集合，來表示“全體n項有序整數(shù)數(shù)列中絕對值最大的項的絕對值等于構(gòu)成的集合，那么顯然為有限集，且。從而根據(jù)結(jié)論3，知可數(shù)。這樣，我們就完成了命題的證明。

更高級的勢：

無理數(shù)比有理數(shù)多嗎？

在希爾伯特旅館中，我們已經(jīng)看到，旅館在第4天就不得不掛出滿員的牌子。這說明，第4天的那個“超級無窮巴士”里面的乘客數(shù)比全體正整數(shù)的個數(shù)要多，也就比我們剛才所有提到的集合元素個數(shù)都要多。

那么，這個“超級無窮巴士”到底有多少乘客呢？

首先，我們做這么一件事：給“超級無窮巴士”上的每一位乘客都改個名字。把所有乘客的標(biāo)簽上所有的x都改成0，y都改成1。接著，我們在每個乘客前面都加一個“0.”。這樣一來，'xyxxyyyy...'就成了'0.0100111...'，'yxyxyxyx...'就成了'0.10101010...'，如此等等。

如果我們把改名之后的東西看成二進(jìn)制小數(shù)，我們就不難發(fā)現(xiàn)，全體“超級無窮巴士”上的乘客，就對應(yīng)于全體以'0.'開頭的二進(jìn)制無限小數(shù)的集合，而這就對應(yīng)了之間的全體實數(shù)！【注：有理數(shù)可以寫成無限循環(huán)小數(shù)，有限小數(shù)我們也改用循環(huán)小數(shù)表示，例如0.101可以表示為0.100111111....（1無限循環(huán))】

因而，我們可以說，“超級無窮巴士”上的乘客的個數(shù)，就是之間全體實數(shù)的個數(shù)。根據(jù)下面的對應(yīng)規(guī)則，我們可以構(gòu)建至的一一對應(yīng)關(guān)系：

而與此同時，函數(shù)又可以完成至的一一對應(yīng)。因此可以說，“超級無窮巴士”上的乘客的個數(shù)，也等于全體實數(shù)的個數(shù)。

當(dāng)然，只要我們借助二進(jìn)制小數(shù)，把希爾伯特旅館第4天中那些人的標(biāo)簽上的x和y分別換成0和1，很容易證明，實數(shù)的個數(shù)比有理數(shù)多。

那么這個個數(shù)如何理解呢？我們現(xiàn)在再換一個角度去看看那些二進(jìn)制小數(shù)。如果我們把開頭的'0.'給去掉，每一個二進(jìn)制小數(shù)就成了一個'0'和'1'構(gòu)成的無限長序列。而如果我們現(xiàn)在再把搬出來，并且寫出其全部的子集，這個子集能否和這些序列一一對應(yīng)呢？

當(dāng)然可以，而且對應(yīng)規(guī)則很簡單！給定一個序列，在第幾位取到1，我們就去正整數(shù)集中的第幾個元素放到子集里。從而，序列“1011011..."對應(yīng)子集{1,3,4,6,7...}，序列“000100101101..."對應(yīng)子集{4,7,9,10,12...}，如此等等。原來，上的全體實數(shù)（因而也可以說整個實數(shù)集中的實數(shù)），根本就可以和的子集一一對應(yīng)！

我們知道，元素有限集的子集個數(shù)為。因此，這里我們不妨沿用這個記號，把全體實數(shù)的個數(shù)記作。數(shù)學(xué)上，我們常常將它寫作：。

可見，，從而實數(shù)比有理數(shù)多。這也就說明無理數(shù)一定比有理數(shù)多，否則如果有理數(shù)和無理數(shù)一樣多，二者都可數(shù)，它們的并集也一定可數(shù)（前面已經(jīng)證明），這就和矛盾。

無理數(shù)比有理數(shù)多很多嗎？超越數(shù)比代數(shù)數(shù)多很多嗎？

剛才，我們看到，實數(shù)比有理數(shù)多，從而無理數(shù)比有理數(shù)多。那么，這個多，是多多少？多一點還是多很多？

我們來看下面這個實驗：既然有理數(shù)可數(shù)，我們可以把它們寫成。設(shè)數(shù)集

其中。顯然，。另一方面，的長度顯然不超過各區(qū)間長度之和：

而可以取任意正數(shù)。這就說明，我可以用總長度任意?。梢匀我庑。┑囊粋€數(shù)集，把全部有理數(shù)都覆蓋住。然而，整根實數(shù)數(shù)軸的長度是無限長！由此，實數(shù)不僅比有理數(shù)多，而且比有理數(shù)多很多！那么，自然地，雖然有理數(shù)和無理數(shù)在實數(shù)軸上都是稠密的，也就是任意小的區(qū)間里面都有無窮多個有理數(shù)和無理數(shù)，但有理數(shù)的個數(shù)和無理數(shù)相比嘛。。。大概就是。。。

同樣的道理，我們把這個過程擴展到復(fù)數(shù)平面上，把小區(qū)間換成小圓圈，可以證明：超越數(shù)不僅比代數(shù)數(shù)多，而且比代數(shù)數(shù)多很多！

所以說，數(shù)學(xué)是非常神奇的。我們現(xiàn)在已經(jīng)知道無理數(shù)比有理數(shù)多很多，可是當(dāng)年無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)者希帕索斯卻被扔進(jìn)了大海。我們現(xiàn)在知道超越數(shù)比代數(shù)數(shù)多很多，可是證明諸如，這樣的數(shù)是超越數(shù)可絕非凡人能做。這，可能就是數(shù)學(xué)讓人神魂顛倒的地方吧。

是無窮大的“天花板”嗎？

從剛才的實驗中，我們已經(jīng)感覺到，比要大很多。那么，這是“無窮大”個數(shù)的天花板嗎？

考察一個無限集，定義其冪集為的全體子集的集合，即：

顯然，集合和集合中元素可以一一對應(yīng)，而同樣顯然的是，。因此，。而下面的這個定理，直接否定了取等于號的可能性：

任何無窮集合和它的冪集中的元素不可能以任何方式構(gòu)成一一對應(yīng)關(guān)系。

證明：設(shè)某集合的元素和它的冪集的元素之間構(gòu)成了一個一一對應(yīng)關(guān)系。設(shè)集合。設(shè)（由于為一一對應(yīng)，顯然存在逆向規(guī)則，且t在S中）。那么，如果，則由知，直接違背的定義，從而。而如果，又同時滿足了（打錯，這個T應(yīng)為S）和兩個條件，完全符合的定義，從而。怎么都矛盾，只能是假設(shè)出錯，從而無窮集合不可能和其冪集之間存在一一對應(yīng)關(guān)系。

這樣一來，即使我們從可數(shù)集開始，也可以通過構(gòu)建冪集，冪集的冪集，冪集的冪集的冪集。。。。一直套娃下去，這些集合的勢也一定會越來越大。套娃無止境，勢就可以無限發(fā)展，沒有頂棚。

仿照和的關(guān)系，我們不妨寫出一些列的勢：，，。。。。一直下去，永無止境。而至于這些勢中間有沒有夾著別的勢，數(shù)學(xué)家已經(jīng)證明，以現(xiàn)有的公理體系，既無法證明這個命題，又無法證偽。

一些關(guān)于無窮的有意思的數(shù)學(xué)問題

說到這里，可能大家已經(jīng)被“無窮大”這么一個神奇的東西迷住了。實際上，“無窮大”在數(shù)學(xué)中的確是一個神奇的玩意兒。

這一節(jié)的內(nèi)容，其實和上面沒什么關(guān)系。但我決定放在這里，就是通過幾個由易到難的和無窮大相關(guān)的問題，提醒大家，一旦涉及到無窮，即使是可數(shù)無窮，很多時候它甚至不是有限的情況的“極限”，而是可能和“有限”的性質(zhì)完全不同。一定不能憑借直覺來判斷！

有理數(shù)相加

有限個有理數(shù)相加一定是有理數(shù)嗎？（可數(shù)）無限個有理數(shù)相加一定是有理數(shù)嗎？

相信這個問題很簡單：有限個有理數(shù)相加相當(dāng)于有限個分?jǐn)?shù)相加，咱大不了通分，總能把最終結(jié)果寫成兩個整數(shù)的比值。但無限個有理數(shù)相加，我們直接看下面的例子就好：

左邊=無理數(shù)，右邊=無限個有理數(shù)相加，嘖嘖嘖。

集合列交集

已知有（可數(shù)）無窮多個滿足下列條件的數(shù)集：

• 每一個都含有不可數(shù)無窮多的元素

那么，

• 對任意正整數(shù)，交集中是否一定包含無窮多個元素？

• 交集中是否一定包含無窮多個元素？

看起來，第二個問題不過是第一個問題的極限情況，但正確答案是：第一個是一定的，第二個就不一定了。

當(dāng)有限時，根據(jù)這一關(guān)系，容易得出。又因為每一個都含有無窮多的元素，所以取，顯然也應(yīng)該有無窮多個元素。

但是如果我們?nèi)∷屑系慕患?，情況就不一樣了。例如：取。顯然，這一列集合同時滿足上面兩個條件，但對于任意實數(shù)，總能找到使得。從而，（空集）！不僅不包含無窮個元素，而且是一個元素都沒有！

小球入箱

設(shè)有一個無限容積的箱子和無窮多個標(biāo)號為#1,#2,#3...的小球。第一次操作，將#1至#10號小球放入箱子，然后隨機從中選擇一個小球拿出來。第二次操作，將#11至#20號小球放入箱子，然后隨機從箱子里剩下的（19個）小球中選一個拿出來。第三次操作，將#21至#30號小球放入箱子，然后隨機從箱子里剩下的（28個）小球中選一個拿出來。就這樣重復(fù)下去。顯然，經(jīng)過任意有限次操作，箱子里剩下的小球數(shù)和一共放進(jìn)去的小球數(shù)量之比嚴(yán)格等于9：10。

那么，給定一個小球，它經(jīng)過經(jīng)過（可數(shù)）無限次操作后，留在箱子中的概率是嗎？

正確答案：不是！

我們來看一看：我們假設(shè)考察的小球是在第k次操作被放入的。則，放入后箱子里應(yīng)該有個球。從而，小球第一次留下的概率就是。同理，第次操作，我們是個小球中隨機拿出一個，所以小球留下的概率是。以此繼續(xù)往下，每次小球留下的概率是，... 從而，無限次操作后，小球留下的概率就是：

一直這樣乘下去，乘無限次。

我們知道，是一個隨正整數(shù)遞增的序列。因此，

這就說明，

。同理，我們也可以得到

，

，等等。從而：

對于括號里的東西，顯然分子分母中的，等可以相互抵消，經(jīng)過無窮項相乘，最后的結(jié)果就是

看看，即使箱子里的小球的個數(shù)一定是越來越多，但是經(jīng)過無限次操作，任何給定小球終將被取出。這就是數(shù)學(xué)。

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數(shù)學(xué)很神奇，有時也很反直覺。希望小可愛們能從這篇文章感受到數(shù)學(xué)獨特的魅力。原創(chuàng)不易，希望大家多多喜歡，多多資瓷！~

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