進入中學(xué)后，水系擴大到有理數(shù)，隨著負數(shù)的引入，反對數(shù)和絕對值進入教科書也是順理成章的事情。

絕對值是中學(xué)數(shù)學(xué)的一個重要概念，也是七年級的學(xué)習(xí)難點之一。下面我們來談?wù)劷^對值的定義和化簡，以及相關(guān)例題的精解。

開場故事：一場激烈的辯論會

小學(xué)數(shù)學(xué)和具體的數(shù)打交道，進入中學(xué)后開始接觸用字母代替數(shù)。這不僅增加了一層抽象程度，還讓一些同學(xué)感覺不適應(yīng)。

初一(14)班的小李同學(xué)問小王：“－a是負數(shù)嗎？”

小王回答說：“是負數(shù)，因為a前面有個－號。”

旁邊的小張說：“不一定是負數(shù)，因為字母a可以是任何數(shù)，如果a是負數(shù)的話，那么－a就是正數(shù)了，所以－a是負數(shù)或正數(shù)。”

另一旁的小楊插話了，他說：“如果a是零呢？”

大家“??！”地一聲，小李激動了，大聲說：“－a到底是什么數(shù)？怎么回答？”大家議論紛紛。

班上的數(shù)學(xué)科代表小周站起來，他慢條斯理地說：“其實－a到底是什么數(shù)，大家辯論得差不多了，只是如何準確地表達的問題?！?/p>

如果用文字語言來回答，應(yīng)該是：

當a為正數(shù)時，－a為負數(shù)；

當a為負數(shù)時，－a為正數(shù)；

當a為0時，－a為0。

如果用數(shù)學(xué)符號語言來表述，則是：

當a>0時，－a<0；

當a<0時，－a>0；

當a=0時，－a=0.

小周的總結(jié)非常正確。小周在這里使用了“窮舉法”。所謂窮舉法，就是在討論一個問題時，把所有可能的情況都一一列舉出來，一個不重，一個不漏，然后對各種情況逐一分析，去掉不合條件的，留下符合條件的，最后作出結(jié)論。這是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法——分類討論的思想方法。這種思想方法貫穿于初中、高中和大學(xué)的學(xué)習(xí)當中，希望同學(xué)們能引起足夠的重視。

絕對值的定義

在一次數(shù)學(xué)測驗中，試卷里有這樣一道填空題：若|a|=－a，則a____0.

小李同學(xué)填的是“<”號，即a<0.評卷的老師在這個答案的后面打了一個“?”，并扣了分。卷子發(fā)下來，小李同學(xué)一看，認為是老師批改錯了，就去找數(shù)學(xué)陳老師，說：

圖一

圖二

這是絕對值的定義，寫得明明白白，a<0時，

|a|=－a，我怎么會錯呢？

數(shù)學(xué)陳老師說：這兩個公式都沒錯，是絕對值的定義。絕對值記作|a|，這個公式，即|a|的表達式，符合一個不重，一個不漏的原則，但是用起來卻很容易出差錯。

由|a|=－a，應(yīng)該得出a≤0，因為a=0也符合條件，如果只得出a<0，就漏掉了一個a=0，當然是不對的。這個知識點，有一次全國初中數(shù)學(xué)競賽還考過。同理，由|a|=a，應(yīng)該得出a≥0，而不是a>0.

但是，如果絕對值這樣定義：

圖三

又是不合理的！為什么不合理？因為a=0重復(fù)了兩次！違反了“不重不漏”的原則。

總結(jié)：老師的批改沒有錯。我們應(yīng)從小李同學(xué)的錯誤答案中吸取教訓(xùn)，答題時應(yīng)該認真、細致、全面地考慮問題。

讓我們再重溫一下絕對值的定義。

圖一和圖二是三分支和兩分支表述的代數(shù)定義。

也請同學(xué)們理解：

若|a|=a，則a≥0，

若|a|=－a，則a≤0.

用文字語言定義：

正數(shù)的絕對值是它本身；負數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)；0的絕對值是0。

絕對值的幾何定義：在數(shù)軸上表示一個數(shù)的點到原點的距離，叫做這個數(shù)的絕對值。

上面關(guān)于絕對值的定義蘊含著下面幾個重要的結(jié)論：

（1）任何有理數(shù)的絕對值都是非負數(shù)，即

|a|≥0；

（2）兩個絕對值相等的數(shù)，它們或者相等，或者互為相反數(shù)，即|a|=|b|，那么a=b或a=－b；

（3）一個數(shù)的絕對值是它本身，這個數(shù)必定是非負數(shù)，即如果若|a|=a，那么a≥0；

一個數(shù)的絕對值是它的相反數(shù)，這個數(shù)必定是非正數(shù)，即如果|a|=－a，那么a≤0.

（4）絕對值為0的數(shù)，只有0自身。即如果|a|=0，那么a=0.

這些結(jié)論在解決與絕對值有關(guān)的問題時，非常有用。

絕對值化簡

其實，上面說的絕對值的概念和定義，已經(jīng)包含了絕對值化簡的方法。

在去掉絕對值符號時，我們需要判斷是否變號。舉個例子：

|a－b|=a－b，（a－b）≥0；

|a－b|=－(a－b)=b－a，（a－b）<0.

遇到絕對值符合里面有字母的時候，一定要分類討論，非負性是絕對值的重要性質(zhì)，所以在去掉絕對值符號時，要保證每一個絕對值都不是負數(shù)。下面請看例題：

計算|1－a|+|2a+1|+|a|的值(其中a<－2)。

∵|1－a|=1－a>0；

|2a+1|=－(2a+1)>0；

|a|=－a>0.

∴原式=1－a－2a－1－a

=－4a.

把題目改一下，去掉a<－2的限制，你還會不會做呢？

題目雖然變復(fù)雜了，但是牢記絕對值的非負性，完全可以做對。解題思路是先分類討論，再綜合在一起得到答案。

具體解法是先求出使絕對值等于0的a值，即找零點，幾個零點把數(shù)軸分為幾段再分類討論。這就是零點分段法。最后再綜合起來寫出答案。

本題有3個零點，它們是－1/2，0，1。

∵當a<－1/2時，原式=1－a－(2a+1)－a

=1－a－2a－1－a=－4a

當－1/2≤a<0時，原式=1－a+2a+1－a

=2；

當0≤a<1時，原式=1－a+2a+1+a

=2a+2；

當a≥1時，原式=a－1+2a+1+a

=4a.

∴

運用題設(shè)中的隱含條件

例1 已知：|x－2|+x－2=0，求：x+2的最大值。

因為|x-2|+x－2=0，所以|x－2|=－(x－2)，根據(jù)絕對值的概念，一個數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)時，這個數(shù)為負數(shù)或零，所以x－2≤0，即x≤2，這表示x的最大值為2，所以x+2的最大值為4。

利用數(shù)軸獲取信息

例2 有理數(shù)a，b、c在數(shù)軸上的位置如圖1所示，化簡|a|+ |b|+|a+b|+|b－c|式子。

圖一

觀察數(shù)軸可知a<0，c>b>0，且|c|>|b|>|a|，則a+b>0，b－c<0， 所以

原式=－a+b+a+b－b+c=b+c

最后一道難題

遇到難題的慌張

例3 化簡||x-1|-2|+|x+1|

這道題有點難，有的同學(xué)完全不會做。

有句話叫“難者不會，會者不難”。

明朝數(shù)學(xué)家程大位說過：“難者，難也。然似難而實非難也?！?，其難題唯在乎立法，立法既明，則迎刃而破，又何難之有哉。”

找到解題方法，就不難了。

題目有三個絕對值，先確定零點值，再用零點分段法分類討論。雙層絕對值就分步驟去絕對值符號。

題目有三個零點，即－1，1，3，這三個點把數(shù)軸分為四段，分段討論。

解：

(1)當X<－1時，

原式=|1－x－2|－X－1

=|－X－1|－X－1

=－X－1－X－1

=－2X－2

(2)當1>X ≥－1時，

原式=|1-X-2|+X+1

=|-X-1|+X+1

=X+1+X+1

=2X+2

(3)當3>X≥1時，

原式=|X-1-2|+X+1

=|X-3|+X+1

=3-X+X+1

=4

(4)當X≥3時，

原式=|X-1-2|+X+1

=|X-3|+X+1

=X-3+X+1

=2X-2

綜上所述，絕對值在初中數(shù)學(xué)中有著重要地位，貫穿于整個初中代數(shù)、幾何的各個角落。絕對值是重要的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想和方法，如數(shù)形結(jié)合思想、化歸思想、分類討論思想等，應(yīng)當引起足夠的重視。

附錄：絕對值相關(guān)學(xué)習(xí)資料

下次我們談?wù)劷^對值的幾何意義，敬請期待。

科學(xué)尚未普及，媒體還需努力。感謝閱讀，再見。