在現(xiàn)代數(shù)學(xué)中，有一個(gè)詞很容易被外行人誤解:信號(hào)。

數(shù)學(xué)家們?cè)谡務(wù)摗耙粋€(gè)信號(hào)”的時(shí)候，想到的不是紅綠燈的閃光燈，也不是手機(jī)屏幕頂部的天線圖案，而是一條可以具體數(shù)字化的信息，可以是聲音、圖像，也可以是遙感測(cè)量數(shù)據(jù)。

簡(jiǎn)單來說就是一個(gè)函數(shù)，定義在通常的一維或多維空之上。比如聲音是一維空定義的函數(shù)，自變量是時(shí)間，因變量是聲強(qiáng)，圖像是二維空定義的函數(shù)，自變量是橫軸縱軸坐標(biāo)，因變量是圖像像素的顏色和明暗等等。

數(shù)學(xué)上，關(guān)于一個(gè)信號(hào)最基本的問題是如何表達(dá)和描述它。

按照上面提到的方法，把一個(gè)信號(hào)理解為在時(shí)間或空上定義的函數(shù)是一種自然的表示，但往往不足以理解這個(gè)信號(hào)的內(nèi)容。

例如，一個(gè)聲音，如果簡(jiǎn)單地用一個(gè)在時(shí)間上定義的函數(shù)來表達(dá)，它是這樣畫的:

這通常被稱為波形圖。毫無(wú)疑問，它包含了關(guān)于這個(gè)聲音的所有信息。

但毫無(wú)疑問，這個(gè)信息很難從上面的“功能”中直接看到。事實(shí)上，這只是巴赫第三首無(wú)伴奏小提琴序曲的前幾小節(jié)

以下是巴赫的手稿，從某種意義上說，它也構(gòu)成了對(duì)上述聲音的“描述”:

這兩種描述有什么關(guān)系？第一個(gè)描述描述了具體的信號(hào)值，第二個(gè)描述描述了聲級(jí)。

直到19世紀(jì)，人們才逐漸意識(shí)到這兩種描述之間其實(shí)存在著雙重關(guān)系，這一點(diǎn)并不明顯。

1807年，法國(guó)數(shù)學(xué)家j .傅立葉在提交給巴黎科學(xué)院的一篇革命性論文《固體中挑戰(zhàn)性傳播的莫爾》中提出了一個(gè)全新的觀點(diǎn):任何函數(shù)都可以表示為一系列不同頻率的簡(jiǎn)諧振動(dòng)的疊加。

有趣的是，這個(gè)結(jié)論是他對(duì)熱傳導(dǎo)研究的副產(chǎn)品。

本文經(jīng)拉格朗日、拉普拉斯、勒讓德等審閱后被駁回。，因?yàn)樗乃枷胩植?，極其不嚴(yán)謹(jǐn)。

1811年，傅立葉提交了修改后的論文，獲得了科學(xué)院獎(jiǎng)，但由于缺乏嚴(yán)謹(jǐn)性，仍然拒絕在《科學(xué)院報(bào)告》中發(fā)表。

傅立葉對(duì)此很擔(dān)心，直到1824年他成為科學(xué)院的秘書，他才能夠在《報(bào)告》中完整地發(fā)表他1811年的論文。

用今天的語(yǔ)言來說，傅立葉的發(fā)現(xiàn)實(shí)際上是在說:

任何信號(hào)都可以用兩種方式表示，一種是通常意義上的表達(dá)，自變量是時(shí)間或空之間的坐標(biāo)，因變量是那里信號(hào)的強(qiáng)度，另一種是將一個(gè)信號(hào)“展開”成不同頻率的簡(jiǎn)單三角函數(shù)的疊加，所以等價(jià)于把它當(dāng)作在所有頻率定義的/[/k0/來處理

這兩個(gè)函數(shù)，一個(gè)定義在時(shí)域，另一個(gè)定義在頻域，通?？雌饋硗耆煌?，但描述同一信號(hào)的方式卻完全不同。

它們就像是兩種不同的語(yǔ)言，乍一看完全不相關(guān)，但實(shí)際上可以準(zhǔn)確地互相翻譯。從數(shù)學(xué)上講，這個(gè)翻譯過程叫做傅里葉變換。

傅立葉變換是數(shù)學(xué)中一個(gè)極其美麗的對(duì)象:

它是完全可逆的，任何能量有限的時(shí)域或空域信號(hào)都存在唯一的頻域表達(dá)，反之亦然。它完全不損傷信號(hào)的內(nèi)在結(jié)構(gòu)：任何兩個(gè)信號(hào)之間有多少相關(guān)程度（即內(nèi)積），它們的頻域表達(dá)之間也一定有同樣多的相關(guān)程度。它不改變信號(hào)之間的關(guān)聯(lián)性：一組信號(hào)收斂到一個(gè)特定的極限，它們的頻域表達(dá)也一定收斂到那個(gè)極限函數(shù)的頻域表達(dá)。

傅里葉變換就像是在信號(hào)被完全打亂后，以最不可識(shí)別的方式重復(fù)信號(hào)，所有的信息依然原封不動(dòng)的存在。如果科幻作家知道這一點(diǎn)，他們本可以制作出更有趣的材料。

在傅里葉變換的所有這些數(shù)學(xué)性質(zhì)中，最不尋常的一個(gè)是，一個(gè)在時(shí)域或空域看起來很復(fù)雜的信號(hào)，通常在頻域簡(jiǎn)單地表示出來。

這里的“簡(jiǎn)單”是指作為頻域中的函數(shù)，只集中在很小的區(qū)域，大量的值接近于零。

比如下圖是一張人臉及其對(duì)應(yīng)的傅里葉變換?？梢钥闯觯械念l域信號(hào)幾乎都分布在中心周圍，周圍大部分區(qū)域是黑色的。

這是一個(gè)很有意義的事實(shí)，說明一個(gè)似乎占據(jù)了空域中所有空的信號(hào)，很可能只占據(jù)了頻域中很小的一個(gè)區(qū)域，大部分頻率都被浪費(fèi)了。

這就得出了一個(gè)非常有用的結(jié)論:一個(gè)看似擁有大量信息的信號(hào)實(shí)際上可以用更少的數(shù)據(jù)來描述。只要先進(jìn)行傅里葉變換，那么就只能記錄不接近零的頻域信息，這樣就可以大大減少數(shù)據(jù)量。

基本上，這是當(dāng)今大多數(shù)數(shù)據(jù)壓縮方法的基本思想?；ヂ?lián)網(wǎng)時(shí)代，需要在盡可能節(jié)省帶寬和時(shí)間的前提下傳輸大量的多媒體信息，因此數(shù)據(jù)壓縮一直是核心問題之一。

今天，幾乎所有流行的數(shù)據(jù)壓縮格式，無(wú)論是mp3格式的聲音還是jpg格式的圖像，都是由傅里葉變換發(fā)明的。

從這個(gè)意義上說，幾乎所有的現(xiàn)代信息社會(huì)都是以傅立葉理論為基礎(chǔ)的。

這當(dāng)然是傅立葉本人始料未及的。

傅里葉變換的這種雙重關(guān)系的本質(zhì)是以一種完全打亂的方式來敘述一條信息。

如前所述，一個(gè)信號(hào)可能在空域內(nèi)容豐富，但在頻域重新表達(dá)時(shí)，在大多數(shù)區(qū)域往往接近于零。

另一方面，這種關(guān)系是對(duì)稱的:在空域中大多數(shù)區(qū)域接近于零的信號(hào)通常占據(jù)頻域中的大多數(shù)頻率。

有沒有在空域和頻域廣泛分布的信號(hào)？

是的，最簡(jiǎn)單的例子就是噪聲信號(hào)。純白噪聲的傅里葉變換仍然是噪聲，因此它廣泛分布在空域和頻域。如果用信號(hào)處理的語(yǔ)言，就意味著“噪聲本身是不可壓縮的”。

這并不違背直覺，因?yàn)樾盘?hào)壓縮的本質(zhì)是通過挖掘信息的結(jié)構(gòu)和規(guī)律來更簡(jiǎn)潔地描述信息，而噪聲顧名思義是沒有結(jié)構(gòu)和規(guī)律的信號(hào)，所以不能自然壓縮。

另一方面，有沒有一個(gè)信號(hào)在空域和頻域的分布很簡(jiǎn)單？

換句話說，是否存在這樣一個(gè)函數(shù)，它只分布在空之間的幾個(gè)區(qū)域，只占據(jù)頻域的幾個(gè)頻率？

答案是不存在。這就是所謂的測(cè)不準(zhǔn)原理。

這個(gè)事實(shí)有著極其重要的內(nèi)涵，但它的重要性卻不容易馬上被注意到。甚至不是很直觀:大自然必須限制一個(gè)信號(hào)在空之間的分布，頻率分布不能集中在一起，這似乎不合理。

這個(gè)原理可以直觀的解釋為:所謂的頻率本質(zhì)上反映的是一個(gè)長(zhǎng)期的全球趨勢(shì)，所以任何一個(gè)單一的頻率都必須對(duì)應(yīng)一個(gè)在時(shí)間上廣泛存在的信號(hào)空。另一方面，任何只存在于幾個(gè)區(qū)塊空的信號(hào)都有很多不同的長(zhǎng)期發(fā)展可能性，因此無(wú)法準(zhǔn)確推斷其頻率。

還是以音樂為例吧。聲音可以被限制在一個(gè)很小的時(shí)間間隔內(nèi)，例如，一個(gè)聲音只持續(xù)一瞬間。聲音也可以只有單一頻率，比如音叉發(fā)出的聲音。

但測(cè)不準(zhǔn)原理告訴我們，這兩樣?xùn)|西不能同時(shí)成立，一個(gè)聲音不可能占據(jù)很短的時(shí)間，擁有非常純凈的音響。當(dāng)聲音的音程短到一定程度，頻率就變得不確定，而純頻率的聲音音程在時(shí)間上不能太短。

所以說“某時(shí)刻某音高的聲音”是沒有意義的。

這看似是一個(gè)技術(shù)難點(diǎn)，但實(shí)際上反映了一個(gè)本質(zhì)的自然規(guī)律:任何信息的時(shí)間空分辨率和頻率分辨率不可能同時(shí)無(wú)限提高。我們?cè)陬l率上識(shí)別的波越精確，它在空中的位置就越模糊，反之亦然。

這個(gè)規(guī)律是任何熟悉現(xiàn)代多媒體技術(shù)的人都熟悉的，因?yàn)樗鼮樾盘?hào)處理建立了牢不可破的邊界，在一定程度上指明了它的發(fā)展方向。

由于時(shí)間空分辨率和頻率分辨率不能同時(shí)無(wú)限小，人們總是可以研究那些時(shí)間空分布和頻率分布盡可能集中的信號(hào)。它們?cè)谝欢ㄒ饬x上構(gòu)成了信號(hào)的“原子”，并且具有測(cè)不準(zhǔn)原理所允許的最佳分辨率，而其他所有信號(hào)在時(shí)間空和頻率上都可以分解成這些原子。

這個(gè)想法是由D. Gabor在20世紀(jì)40年代提出的，成為現(xiàn)代數(shù)字信號(hào)處理的基本思想，一直影響到今天。

但眾所周知，測(cè)不準(zhǔn)原理本身并不是數(shù)學(xué)家發(fā)明的，而是來自于量子物理學(xué)家的洞察力。同一個(gè)數(shù)學(xué)結(jié)論能對(duì)兩個(gè)完全不相關(guān)的學(xué)科產(chǎn)生歷史性影響，大概是個(gè)罕見的例子。

其實(shí)測(cè)不準(zhǔn)原理不是一個(gè)單一的定理，而是一組定理的統(tǒng)稱。

基本上，任何描述一個(gè)信號(hào)不能同時(shí)在時(shí)間空域和頻率域過于集中的命題，都可以稱為測(cè)不準(zhǔn)原理。因?yàn)檫@里的“集中”這個(gè)性質(zhì)，可以用不同的數(shù)學(xué)來描述，所以對(duì)應(yīng)不同的數(shù)學(xué)定理。

然而，在所有被稱為“測(cè)不準(zhǔn)原理”的定理中，最著名的是w·海森堡在1927年提出的版本，它深刻地影響了物理學(xué)的發(fā)展。它的精確數(shù)學(xué)描述是:

假設(shè)一個(gè)信號(hào)的總能量為1，這個(gè)信號(hào)的方差與其傅里葉變換能量的乘積不小于1/16 π。

換句話說，他們各自的能量可能集中，但不能同時(shí)集中。如果時(shí)間空域的能量方差很小，頻域的能量方差就不會(huì)太小，反之亦然。

詳細(xì)討論這個(gè)定理在量子物理中的意義超出了本文的范圍，該領(lǐng)域有很多相關(guān)的工作。然而，以下是一些相關(guān)歷史事實(shí)的簡(jiǎn)要清單:

海森堡在 1927 年的那篇文章標(biāo)題為 Ueber den anschaulichen Inhalt der quantentheoretischen Kinematik und Mechanik（《量子理論運(yùn)動(dòng)學(xué)和力學(xué)的直觀內(nèi)容》）。這篇文章很大程度上是對(duì)薛定諤 在 1926 年所提出的薛定諤波動(dòng)方程的回應(yīng)。相較于海森堡的矩陣力學(xué)而言，薛定諤的方程很快由于它物理上的直觀明晰而吸引了越來越多物理學(xué)家的贊賞。海森堡對(duì)此極為失落。在 1926 年 6 月 8 日海森堡寫給泡利 的信中他說：「我對(duì)薛定諤的理論想得越多我就越覺得惡心?！挂虼?，他迫切需要給他自己的理論配上一幅更直觀的圖象。 海森堡的這篇文章提出了后來被人們所熟悉的關(guān)于為什么無(wú)法同時(shí)測(cè)量一個(gè)電子的位置和動(dòng)量的解釋，但是并未給出任何嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。他把他的結(jié)論籠統(tǒng)地表達(dá)為 Δx Δp ≥ ?，其中 x 是位置，p 是動(dòng)量，? 是普朗克常數(shù)。但他并沒有詳細(xì)說明 Δx 和 Δp 的嚴(yán)格意思，只針對(duì)若干具體情形做了一些直觀的討論。 第一個(gè)從數(shù)學(xué)上證明不確定性原理的物理學(xué)家是 E. Kennard。他在 1927 年證明了文章開頭所描述的定理，指出 Δx 和 Δp 的數(shù)學(xué)意義其實(shí)是方差。這種解釋很快就成了海森堡不確定性原理的標(biāo)準(zhǔn)數(shù)學(xué)表達(dá)，海森堡本人 1930 年在芝加哥所做的演講中也使用了這種數(shù)學(xué)推導(dǎo)來佐證他的立論。需要說明的是，海森堡盡管很快接收了這一數(shù)學(xué)解釋，但是后來人們發(fā)現(xiàn)在他本人原先的論文里所舉的那些例子中，有很多被他用 Δx 和 Δp 籠統(tǒng)概括的含混概念其實(shí)是無(wú)法被解釋成方差的。在他心目中，不確定性原理首先是一個(gè)經(jīng)驗(yàn)事實(shí)，其次才是一個(gè)數(shù)學(xué)定理。 海森堡并未將他的發(fā)現(xiàn)命名為不確定性「原理」，而只是稱之為一種「關(guān)系」。愛丁頓 在 1928 年似乎第一個(gè)使用了原理一詞，將之稱為 principle of indeterminacy，后來 uncertainty principle 這種說法才漸漸流行起來。海森堡本人始終稱之為 ungenauigkeitsrelationen / unbestimmtheitsrelationen（相當(dāng)于英語(yǔ)的 inaccuracy / indeterminacy relations），直到五十年代才第一次接受了 principle 這種叫法。

海森堡

有趣的是，就連很多信號(hào)處理或者量子力學(xué)的專家都不知道，他們平時(shí)討論的測(cè)不準(zhǔn)原理其實(shí)和對(duì)方的是一樣的。

兩者的關(guān)系真的不明顯，一個(gè)注重信號(hào)的時(shí)間空和頻域分布，一個(gè)注重粒子的運(yùn)動(dòng)和能量。它們之間的相關(guān)性只從數(shù)學(xué)公式上看起來很明顯。

在海森堡的時(shí)代，當(dāng)然沒有“信號(hào)處理”這個(gè)學(xué)科，數(shù)學(xué)家只把測(cè)不準(zhǔn)原理當(dāng)作純數(shù)學(xué)的結(jié)論。不清楚他們第一次注意到這個(gè)是什么時(shí)候。

據(jù)記載，n .維納1925年在哥廷根的一次演講中提到了類似的結(jié)論，但那次演講沒有紙質(zhì)材料。

H.韋爾在1928年出版的《群論與量子力學(xué)》一書中證明了這一原理，但他將其歸因于泡利的發(fā)現(xiàn)。

直到1946年，D. Gabor的經(jīng)典論文《通信理論》才真正使這個(gè)定理以今天信號(hào)處理領(lǐng)域的專家所熟悉的方式傳播開來。

左:Weyl；右:加博爾

如前所述，在數(shù)學(xué)中，測(cè)不準(zhǔn)原理不僅僅是海森堡的一個(gè)版本，實(shí)際上是一組定理的統(tǒng)稱。

比如g .哈代在1933年證明了一個(gè)類似海森堡原理的定理，今天一般稱之為哈代測(cè)不準(zhǔn)原理。

海森堡定理和哈代定理只是限制了信號(hào)在時(shí)間空域和頻率域的近似分布，并不限制它們同時(shí)集中在一個(gè)有限的區(qū)域內(nèi)。

M.Benedicks最早證明了信號(hào)不可能同時(shí)集中在時(shí)間空域和頻率域的有限區(qū)域，這已經(jīng)是1974年的事了。

到20世紀(jì)末，人們對(duì)“信號(hào)”一詞的理解發(fā)生了微妙的變化。如果在20世紀(jì)上半葉提到一個(gè)信號(hào)，人們往往會(huì)把它理解為一個(gè)連續(xù)函數(shù)。

到今年下半年，信號(hào)越來越多地對(duì)應(yīng)于一個(gè)離散的陣列。毫無(wú)疑問，這是計(jì)算機(jī)革命的后果。

在這種情況下，“不確定性原則”呈現(xiàn)出新的形式。在連續(xù)性的情況下，我們可以討論一個(gè)信號(hào)是否集中在某個(gè)區(qū)域。然而，在離散的情況下，重要的問題變成了信號(hào)是否集中在一些離散的位置，而在其他位置為零。數(shù)學(xué)家給出了這樣一個(gè)有趣的定理:

長(zhǎng)度為n的離散信號(hào)有一個(gè)非零值，其傅里葉變換有b個(gè)非零值，那么a+b ≥ 2 √ n。

也就是說，信號(hào)及其傅里葉變換中的非零元素不能太少。毫無(wú)疑問，這也是“測(cè)不準(zhǔn)原理”的一種新形式。

在上面的定理中，如果已知n是素?cái)?shù)，那么我們甚至有一個(gè)強(qiáng)得多的結(jié)論:

一個(gè)長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)有一個(gè)非零值，它的傅里葉變換有b個(gè)非零值，那么a+b >: N .

可惜這里需要“素?cái)?shù)”這個(gè)條件。對(duì)于非質(zhì)數(shù)，第二個(gè)命題很容易找到反例，第一個(gè)命題已經(jīng)是可以達(dá)到的最好結(jié)果。

這些定理有什么用？如果只能用來表明某件事做不到，如其字面意思所反映的，那么它的用處當(dāng)然是相對(duì)有限的。

但是——這無(wú)疑是辯證法的一個(gè)很好的例子——這樣一系列聲稱“不確定性”的定理，實(shí)際上可以用來推導(dǎo)一些“確定性”的事實(shí)。

設(shè)想這樣一種情況:假設(shè)我們知道一個(gè)信號(hào)的總長(zhǎng)度為n，我們知道很大一部分值為零，但不知道是哪一部分。同時(shí)，我們測(cè)量了這個(gè)信號(hào)在頻域中的k個(gè)頻率值空，但是k

根據(jù)傳統(tǒng)的信號(hào)處理理論，這是不可能的，因?yàn)槿缜八?，頻域空中的信息量與原始時(shí)域空中的信息量相同，所以要還原所有的信號(hào)，就必須知道頻域中的所有信息，就像需要多少個(gè)方程才能解多少個(gè)未知數(shù)一樣。如果你只知道一部分頻域信息，就像只知道k個(gè)方程，卻要解n個(gè)未知數(shù)。任何學(xué)過初等代數(shù)的人都知道，從k

但是借助測(cè)不準(zhǔn)原理，完全可以做到！

原因是，我們對(duì)原始信號(hào)有一個(gè)假設(shè)，即許多位置為零。然后，如果兩個(gè)不同的信號(hào)碰巧具有相同的k個(gè)頻率值，則這兩個(gè)信號(hào)之間的差的傅立葉變換在這k個(gè)頻率位置為零。

另一方面，因?yàn)閮蓚€(gè)不同的信號(hào)在原始的時(shí)間空域中有許多零，所以它們的差在時(shí)間空域中也必須包含許多零。測(cè)不準(zhǔn)原理告訴我們這是不可能的。所以，原來的信號(hào)其實(shí)是唯一確定的！

這當(dāng)然是一個(gè)非常違反直覺的結(jié)論。說明在一定情況下，我們可以用更少的方程求解更多的未知數(shù)。這個(gè)事情在應(yīng)用中極其重要。

一個(gè)簡(jiǎn)單的例子就是醫(yī)用核磁共振技術(shù)。MRI本質(zhì)上是采集人體圖像的頻域信息，還原空之間的信息。因?yàn)椴杉杀靖?，所以MRI非常昂貴，消耗資源。

但以上推理表明，其實(shí)核磁共振只能采集到很小一部分的頻域信息，可以完全還原所有的身體圖像，這在醫(yī)學(xué)上是無(wú)價(jià)的。

今天，類似的想法已經(jīng)被應(yīng)用到許多不同的領(lǐng)域，從醫(yī)學(xué)核磁共振和x光斷層掃描到石油勘探和衛(wèi)星遙感。簡(jiǎn)而言之:不確定性可以使測(cè)量成本更低，效果更好，雖然聽起來很矛盾。

更糟糕的是，本文開頭描述的不確定性定理不夠強(qiáng)，頻域測(cè)量的節(jié)約程度不夠大。但是從數(shù)學(xué)上來說是無(wú)法改進(jìn)的。這個(gè)僵局是在本世紀(jì)初打破的。

E.坎迪斯和陶哲軒證明了一系列新的不確定性原理，這些原理以隨機(jī)性為代價(jià)極大地提高了不等式的強(qiáng)度。他們的定理可以大致描述為:

長(zhǎng)度為N的離散信號(hào)有一個(gè)非零值，其傅里葉變換有b個(gè)非零值，所以a+b乘以一個(gè)最大概率不小于N/√的常數(shù)。

這里的“最大概率”不是一個(gè)生命術(shù)語(yǔ)，而是對(duì)具體概率的精確數(shù)學(xué)描述。換句話說，盡管在最壞的情況下，不確定性可能相對(duì)較小，但這種情況很少發(fā)生?？偟膩碚f，不確定性總是很大的。因此，它可以在測(cè)量方面帶來巨大的節(jié)約。

當(dāng)然，這也是一個(gè)“不確定性原理”，從某種意義上說，它比原定理更“不確定”，因?yàn)樗肓穗S機(jī)性。在他們工作的基礎(chǔ)上，近五六年來，一種叫做“壓縮傳感”的技術(shù)如火如荼地發(fā)展起來，成為覆蓋信號(hào)處理、信息提取、醫(yī)學(xué)成像等諸多工程領(lǐng)域的最重要的新興工程技術(shù)之一。

但是這些后續(xù)的發(fā)展估計(jì)遠(yuǎn)遠(yuǎn)超出了海森堡的初衷。

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數(shù)據(jù)來自木瑤