在20世紀(jì)前30年發(fā)生的影響深遠(yuǎn)的物理革命中，量子力學(xué)“對所有人來說都很容易”。狹義相對論可以說是一個(gè)“敲山震虎”。雖然兩者差別很大，但似乎都是“地球照樣轉(zhuǎn)，沒有人”。量子力學(xué)的命題繼承了普朗克的“量子假說”，狹義相對論的命題是歷史的必然。其目的是解決當(dāng)時(shí)經(jīng)典物理中已經(jīng)暴露出來的矛盾，如以太危機(jī)，穩(wěn)定物理大樓。

在與希爾伯特多次通信后，愛因斯坦于11月25日提出了廣義相對論的最終場方程:

Guv是愛因斯坦張量；Ruv是黎曼張量凝聚而成的Ritchie張量，表示曲率項(xiàng)，表示空之間的彎曲度。r是由Ritchie張量凝聚而成的曲率標(biāo)量；Guv是度量張量；Tuv是主動(dòng)張量，表示物質(zhì)的分布和運(yùn)動(dòng)。g是引力常數(shù)；c是光速的真空速度。整個(gè)方程的意義是:在空 =空之間物質(zhì)的能量-動(dòng)量分布的彎曲態(tài)。這個(gè)方程是一個(gè)二階非線性張量方程。

希爾伯特于1915年11月20日提出了場方程。希爾伯特在哥廷根的皇家科學(xué)院發(fā)表了一篇關(guān)于引力理論的報(bào)告，并介紹了他的研究成果:

也就是說，雖然希爾伯特和愛因斯坦的形式不同，但他們都發(fā)現(xiàn)了正確的引力場方程，從而牛頓和萊布尼茨的微積分之戰(zhàn)在300年前再次上演。

然而，盡管后人經(jīng)常爭論愛因斯坦和希爾伯特誰先到達(dá)，例如物理學(xué)家基普·索恩在他的著作《黑洞與時(shí)間扭曲:愛因斯坦令人發(fā)指的遺產(chǎn)》中明確表達(dá)了自己的觀點(diǎn):“值得注意的是，愛因斯坦并不是第一個(gè)發(fā)現(xiàn)翹曲定律正確形式的人。對第一個(gè)發(fā)現(xiàn)的認(rèn)可必須歸功于希爾伯特。”

愛因斯坦的傳記作者阿爾布雷特·福爾辛認(rèn)為，盡管愛因斯坦和希爾伯特獨(dú)立地提出了正確的形式:

11月，當(dāng)愛因斯坦完全專注于他的引力理論時(shí)，他基本上只和希爾伯特通信，把他的出版物發(fā)給希爾伯特，感謝他在11月18日寫了他的文章草稿。愛因斯坦必須在寫這封信之前立即收到這篇文章。愛因斯坦可以把注意力轉(zhuǎn)向希爾伯特的論文嗎？他發(fā)現(xiàn)了自己方程中仍然缺失的項(xiàng)，于是“借用”了希爾伯特？

盡管后人爭論不休，希爾伯特本人還是非?？犊胤艞壛俗约旱墓?，向愛因斯坦表示祝賀:

“愛因斯坦提出了深刻的思想和獨(dú)特的概念，并發(fā)明了巧妙的方法來處理它們?！?/p>

1915年12月4日，希爾伯特甚至提名愛因斯坦當(dāng)選哥廷根數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)會(huì)員。希爾伯特的慷慨讓愛因斯坦非常感動(dòng)。12月20日，愛因斯坦主動(dòng)寫信給希爾伯特，提出一個(gè)解決方案:

我們之間有些怨恨，不想再分析原因了。我與痛苦的感覺作斗爭，并取得了成功。我再次以無微不至的善意想念你，我請求你也這樣做?？陀^來說，如果從這個(gè)寒酸的世界里解放出來的兩個(gè)人沒有給對方帶來幸福，那就太可惜了。

廣義相對論的場方程提出了105年，歷史給了他們最公正的評價(jià)。美國物理學(xué)家派斯在他著名的愛因斯坦傳記《上帝是微妙的》中說:

基本方程的發(fā)現(xiàn)應(yīng)該歸功于愛因斯坦和希爾伯特。

這段話可以說是愛因斯坦和希爾伯特在發(fā)現(xiàn)引力場方程方面的成就的最終結(jié)論。無論如何，學(xué)術(shù)爭鳴推動(dòng)了科學(xué)的進(jìn)步，廣義相對論場方程的制定意義重大，被認(rèn)為是科學(xué)界無盡的寶藏。許多科學(xué)家通過求解廣義相對論的場方程獲得了許多重要的理論。

像黑洞這樣的特殊天體是通過求解場方程發(fā)現(xiàn)的。在廣義相對論的場方程中，愛因斯坦使用了傳統(tǒng)的直角坐標(biāo)系，所以計(jì)算一個(gè)對稱的、不旋轉(zhuǎn)的、不帶電荷的質(zhì)量球只能給出一個(gè)近似解。但物理學(xué)家史瓦西卻采取了不同的做法，他引入的坐標(biāo)系與極坐標(biāo)系相似，從而可以得到精確解。

這個(gè)精確解被命名為“史瓦西度量”，是廣義相對論場方程的第一個(gè)精確解。

在此基礎(chǔ)上，史瓦西發(fā)表了第二篇論文，給出了史瓦西解和黑洞視界半徑的計(jì)算公式。所以黑洞的視界半徑稱為“史瓦西半徑”，圍繞上述天體的史瓦西半徑處的假想球體稱為視界。

簡單來說，史瓦西設(shè)一個(gè)天體，其電荷為0，即電中性，角動(dòng)量為0，即不旋轉(zhuǎn)，其宇宙學(xué)常數(shù)也為0。這可以用來描述地球、太陽等自轉(zhuǎn)緩慢的天體，但如果質(zhì)量增加足夠多，其逃逸速度將超過光速。這意味著沒有任何東西可以逃離它的魔爪，所以它本身是看不見的。這個(gè)天體后來被惠勒命名為“黑洞”。

另外，一般相對論場方程的解是雷斯勒-諾德斯特龍度量，這種度量形式的黑洞稱為雷斯勒-諾德斯特龍黑洞；廣義相對論中還有克爾度量，克爾度量或克爾真值空，它描述了圍繞旋轉(zhuǎn)的球?qū)ΨQ大質(zhì)量物體的真空區(qū)域的時(shí)間空幾何......

作為廣義相對論的中心方程，廣義相對論的場方程有許多未知的奧秘等待我們?nèi)ヌ剿鳌?/p>