一個(gè)

讓我介紹一下我是誰(shuí)

即使教學(xué)內(nèi)容相同，不同版本的教材在編排上也可以有不同的選擇。對(duì)比不同版本教材的內(nèi)容結(jié)構(gòu)，有時(shí)會(huì)給我們新的啟示和思考，分?jǐn)?shù)乘法也是如此。

分?jǐn)?shù)乘法的計(jì)算教學(xué)涉及分?jǐn)?shù)乘整數(shù)、分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)等。我們來(lái)看看不同版本教材的具體安排:

六版教材基本包括兩個(gè)部分:分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)。分?jǐn)?shù)和整數(shù)的相乘部分基本包括兩種情況:一種是求幾個(gè)相同分?jǐn)?shù)的和；另一種是求一個(gè)數(shù)的分?jǐn)?shù)。

青島版教材沒(méi)有教分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的第二種情況，只是在實(shí)踐中出現(xiàn)；浙江教育版教材中沒(méi)有分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)的第一種情況下的例題教學(xué)，但其參考書(shū)中提到學(xué)生在第二種情況下的例題教學(xué)之前已經(jīng)有了第一種情況的學(xué)習(xí)基礎(chǔ)。其他版本的教材對(duì)這兩種情況都做了專門(mén)的舉例教學(xué)。

人教版教材中，除了分?jǐn)?shù)乘整數(shù)和分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)兩節(jié)外，還增加了分?jǐn)?shù)乘小數(shù)的內(nèi)容。

人教版中“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”的獨(dú)特排列方式引起了作者極大的好奇，這就不可避免地引出了以下問(wèn)題:

1.人民教育出版社是什么時(shí)候開(kāi)始有這個(gè)課內(nèi)容的？

2.分?jǐn)?shù)有必要乘以小數(shù)嗎？

3.不教，學(xué)生會(huì)不會(huì)？

4.其他版本的教材沒(méi)有這個(gè)課時(shí)，老師怎么操作？

1.人教版什么時(shí)候開(kāi)始有“小數(shù)乘小數(shù)”了？

PEP是什么時(shí)候開(kāi)始有這個(gè)課程內(nèi)容的？1992年，沒(méi)有；2005年，沒(méi)有；只是2013年，很明顯是新的。

從上表可以看出，在“分?jǐn)?shù)乘法”教學(xué)之前，學(xué)生已經(jīng)有了嘗試計(jì)算分?jǐn)?shù)乘法的能力。從計(jì)算的準(zhǔn)確性來(lái)看，分?jǐn)?shù)乘以整數(shù)，分?jǐn)?shù)乘以分?jǐn)?shù)，分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)都呈現(xiàn)出遞減的趨勢(shì)，這也從另一個(gè)角度說(shuō)明這三部分的計(jì)算教學(xué)難度在增加。從空白人數(shù)量來(lái)看，有21人“分?jǐn)?shù)乘小數(shù)”，占12.9%，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于“分?jǐn)?shù)乘分?jǐn)?shù)”。不能入門(mén)的人數(shù)大幅增加，也從另一個(gè)角度解釋了計(jì)算“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”內(nèi)容的難度。

“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”的計(jì)算讓12.9%的學(xué)生無(wú)從下手。那么，50.3%計(jì)算正確的學(xué)生舒服嗎？作者做了進(jìn)一步的分析。

在82位正確的人中，詳情如下:

① 42人(51.2%)按分?jǐn)?shù)轉(zhuǎn)換后的分?jǐn)?shù)乘法規(guī)律計(jì)算。

(1)在經(jīng)驗(yàn)的基礎(chǔ)上，學(xué)生學(xué)會(huì)了三個(gè)數(shù)字:“整數(shù)、分?jǐn)?shù)、小數(shù)”。這三個(gè)數(shù)字在運(yùn)算過(guò)程中有三種情況，即“整數(shù)乘小數(shù)”、“整數(shù)乘小數(shù)”和“小數(shù)乘小數(shù)”。由于在面積圖形和整數(shù)乘法方面的經(jīng)驗(yàn)積累，無(wú)論是“整數(shù)乘以分?jǐn)?shù)”還是“整數(shù)乘以小數(shù)”，學(xué)生都可以通過(guò)獨(dú)立繪圖和構(gòu)造幾種含義來(lái)幫助計(jì)算。但是，“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”就不一樣了。第一，在意義理解上，學(xué)生尚未構(gòu)建以小數(shù)為單位“1”的認(rèn)知；其次，在計(jì)算形式上，與前兩者不同，計(jì)算前需要將一個(gè)數(shù)轉(zhuǎn)換成另一個(gè)數(shù)，但這種轉(zhuǎn)換的經(jīng)驗(yàn)明顯不足；此外，大多數(shù)學(xué)生潛意識(shí)里認(rèn)為小數(shù)不能直接從分母中去除。人民教育版主張“小數(shù)和分母可分時(shí)，小數(shù)和分母直接除，然后相乘”。學(xué)生不能獨(dú)立探索，需要通過(guò)老師的教學(xué)來(lái)獲得。通過(guò)進(jìn)一步的訪談，筆者還發(fā)現(xiàn)，由于初中的影響，雖然學(xué)校沒(méi)有教過(guò)“分?jǐn)?shù)乘法”，但至少有三分之一的學(xué)生通過(guò)校外培訓(xùn)班接觸過(guò)零散的分?jǐn)?shù)乘法教學(xué)，當(dāng)然也包括使用“小數(shù)和分母直接除再乘”的兩個(gè)學(xué)生。真實(shí)情況肯定遠(yuǎn)比上面的情況差。

②從解題策略來(lái)看，采用分布規(guī)律比較復(fù)雜，不容易轉(zhuǎn)換分?jǐn)?shù)或小數(shù)，尤其是在計(jì)算0.75×2.4時(shí)。人教版提倡的“小數(shù)和分母可分時(shí)，小數(shù)和分母直接除再相乘”的計(jì)算方法，無(wú)疑是最佳選擇。

③難度系數(shù)方面，分?jǐn)?shù)和小數(shù)的相乘也相當(dāng)復(fù)雜。小數(shù)與分?jǐn)?shù)相乘，可以通過(guò)將小數(shù)改寫(xiě)成分量來(lái)相乘；如果分?jǐn)?shù)可以減為有限小數(shù)，也可以減為小數(shù)相乘。如果小數(shù)和分母都可以整除，那么直接除以分母再乘以分子更方便。如果數(shù)據(jù)比較特殊，比如接近整數(shù)的分?jǐn)?shù)或小數(shù)，可以采用乘法分布規(guī)律。這就要求學(xué)生在遇到這樣的計(jì)算問(wèn)題時(shí)，要對(duì)數(shù)據(jù)做出準(zhǔn)確的判斷，靈活選擇算法。作為一名有多年教學(xué)經(jīng)驗(yàn)的數(shù)學(xué)教師，筆者也發(fā)現(xiàn)，中小學(xué)生在這方面明顯不夠靈活，需要特殊訓(xùn)練。

4.其他版本的教材沒(méi)有這個(gè)課時(shí)內(nèi)容，老師是怎么操作的？

從以上情況分析可知，“小數(shù)乘小數(shù)”是小數(shù)乘法計(jì)算中非常重要且不可缺少的環(huán)節(jié)。那么，其他版本的教材沒(méi)有這個(gè)課時(shí)的內(nèi)容，老師是怎么操作的呢？作者做過(guò)一次采訪，采訪的結(jié)果是有很多類(lèi)似“沒(méi)有教材，但是我們都教分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”這樣的回答?？梢?jiàn)，無(wú)論使用哪一個(gè)版本的教材，老師都認(rèn)為“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”的教學(xué)是必不可少的。

雖然大家都同意教“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”的內(nèi)容，但是對(duì)于教學(xué)時(shí)間沒(méi)有統(tǒng)一的認(rèn)識(shí)。因?yàn)榻滩闹袥](méi)有這方面內(nèi)容的安排，大部分老師都是用這個(gè)知識(shí)點(diǎn)的時(shí)候才教，比較隨意。

1.教材是給學(xué)生的，要遵循學(xué)生學(xué)習(xí)和認(rèn)知的邏輯。“小數(shù)乘小數(shù)”教學(xué)的缺失，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生知識(shí)的匱乏。

2.分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)復(fù)雜而靈活，方法往往隨著數(shù)據(jù)的變化而變化。這個(gè)班缺少內(nèi)容教學(xué)，會(huì)導(dǎo)致學(xué)生的計(jì)算能力不足。

3.老師雖然用教材授課，但大部分時(shí)間還是靠教材。缺少具有這種教學(xué)內(nèi)容的教材，很容易導(dǎo)致教師的教學(xué)“不為人知”，變得隨意，缺乏系統(tǒng)性。

綜上所述，作者建議其他版本的教材也要借鑒人教版教材，增加“分?jǐn)?shù)乘以小數(shù)”的內(nèi)容來(lái)補(bǔ)充這個(gè)本質(zhì)的謎題。

五

想想看:這就是區(qū)別

方老師在數(shù)學(xué)課上問(wèn)阿喜:“二分之一和八分之一十六分之一有什么區(qū)別？”

Axi沒(méi)有回答。

方老師說(shuō):“你想想。如果讓你選半個(gè)橘子和八個(gè)十六分之一的橘子，你會(huì)選哪個(gè)？”

阿希:“我必須有一半。”

“為什么？”

“橘子分成十六分之一的時(shí)候已經(jīng)流走了很多橘子汁，老師你不這么認(rèn)為嗎？”

審核人:沈美蓮、王