對(duì)于積分，首先要有美院法的思想，首先要簡(jiǎn)單引入靜態(tài)分庭的來源(分割-乘積-總和-極限)。

而微元法思想，一直貫穿考研數(shù)學(xué)的核心，即使到后面的概率論中求概率密度和分布函數(shù)，依然需要用微元法的思想。萬物皆可微。

對(duì)于變換“元”的方法有哪些呢？

時(shí)間“元”與空間“元”，點(diǎn)元-線元-面元-體元，均勻-非均勻，直線-曲線。對(duì)于極坐標(biāo)系還有角“元”和弧“元”等等。

根據(jù)題目明確對(duì)何種元素進(jìn)行分割？是把曲線分割成很多個(gè)一小段，還是把塊切成很多個(gè)一小薄片？先把分割后某一點(diǎn)處的微元表示出來，然后積分區(qū)域累加，最后選用合適方法計(jì)算所表示出來的積分。

第一型第二型曲線積分依然要運(yùn)用微元法的思想。

1.對(duì)于第一型曲線積分，其物理意義是求曲線桿的質(zhì)量，幾何意義是對(duì)弧長(zhǎng)的曲線積分。

定義和性質(zhì)如下：

基本計(jì)算方法：直接法、利用奇偶性、利用對(duì)稱性、利用形心坐標(biāo)

對(duì)于（1），ds=根號(hào)下（dx+dy），提出一個(gè)dt到根號(hào)外，同時(shí)在根號(hào)內(nèi)同除dt，就可得到（1）式。

對(duì)于（2）是把x看成參數(shù)：y=y(x),x=x。ds=根號(hào)下（dx+dy），提出一個(gè)dx到根號(hào)外，同時(shí)在根號(hào)內(nèi)同除dx，就可得到（2）式。

對(duì)于（3）把θ看成參數(shù)。

4.利用形心，縱坐標(biāo)或橫坐標(biāo)比較明顯的情況下，分母表示L的周長(zhǎng)容易求的情況下，考慮此法。

有關(guān)第一型曲線積分的題型一般用上述四種方法即可求解，比較簡(jiǎn)單。

2.對(duì)于第二型曲線積分，其物理意義是變力沿曲線做功。

由于是變力（有大小也有方向）和曲線，所以在計(jì)算過程中要注意方向。相對(duì)于第一型曲線積分是對(duì)弧長(zhǎng)（只有正）的線積分，而第二型曲線積分則是對(duì)坐標(biāo)（有正有負(fù)）的線積分。

第二型曲線積分定義和性質(zhì)如下：

計(jì)算方法有如下幾種，具體題目依據(jù)其已知情況選用組合不同方法。

【直接法是通過變量參數(shù)化后計(jì)算定積分，起點(diǎn)為下限，終點(diǎn)為上限】

【注：使用格林公式需要：L需要滿足光滑封閉正向曲線，正向：如果是單連通區(qū)域，逆時(shí)針為曲線正向，如果是復(fù)連通區(qū)域，則外圈逆時(shí)針，內(nèi)圈順時(shí)針?？偠灾瑑?nèi)圈外圈都要滿足你在“跑步時(shí)”，左手是靠在積分區(qū)域內(nèi)側(cè)?？梢援媹D理解：箭頭方向?yàn)檎较颍笫志吭趨^(qū)域（陰影部分）內(nèi)側(cè)。 P(x,y),Q(x,y)在區(qū)域內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，即區(qū)域內(nèi)沒有瑕點(diǎn)（無定義點(diǎn)），滿足以上兩個(gè)條件才能用格林公式。如果：曲線非閉合，則補(bǔ)線閉合后再用格林公式，如果存在瑕點(diǎn)，則挖去瑕點(diǎn)變成復(fù)連通區(qū)域再用格林公式】

【注：兩類曲線積分的聯(lián)系，需要求有向曲線弧在某點(diǎn)處的切向量的方向角cosα=正負(fù)（dx/dt）/((根號(hào)下dx+dy)/dt）,計(jì)算量大，一般不用此法】

典型例題：例1，利用積分與路徑無關(guān)。

兩種解法如下，第一種解法簡(jiǎn)要變換路徑亦有兩種。

解法二如下：

例2、利用格林公式以及補(bǔ)線用格林公式

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