1現(xiàn)代數(shù)學(xué)的興起

近代數(shù)學(xué)的興起始于16世紀(jì)，首先代數(shù)從天文學(xué)中分離出來(lái)，代數(shù)從天文學(xué)中分離出來(lái)，透視法生成射影幾何，代數(shù)的發(fā)明改進(jìn)了計(jì)算，但其主要成果應(yīng)該是解三次和四次代數(shù)方程的突破，代數(shù)的符號(hào)化。

2 解析幾何的誕生

進(jìn)入17世紀(jì)以后，各式各樣的數(shù)學(xué)理論和分支如雨后春筍般茁壯成長(zhǎng)。從本質(zhì)上講，近代數(shù)學(xué)是關(guān)于變量的數(shù)學(xué)。文藝復(fù)興以來(lái)資本主義生產(chǎn)力的發(fā)展，對(duì)科學(xué)技術(shù)提出了全新的要求。例如，機(jī)械的普遍使用引發(fā)了對(duì)機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究；由貿(mào)易帶動(dòng)的航海業(yè)的發(fā)展要求更精確和便捷地測(cè)定船舶的位置，這需要研究天體運(yùn)動(dòng)的規(guī)律；武器的改進(jìn)則推動(dòng)了彈道問(wèn)題的研究。所有這些問(wèn)題都表明，對(duì)運(yùn)動(dòng)和變化的研究已成為自然科學(xué)研究和數(shù)學(xué)研究的中心問(wèn)題。

變量數(shù)學(xué)的第一個(gè)里程碑是解析幾何的發(fā)明。作為幾何學(xué)的一個(gè)分支，解析幾何的基本思想是在平面中引進(jìn)坐標(biāo)的概念，因此它又被稱為坐標(biāo)幾何。用解析幾何的方法，我們可以將任何一個(gè)形如f(x,y)=0的代數(shù)方程（通過(guò)方程的解）與平面上的一條曲線對(duì)應(yīng)起來(lái)。這樣一來(lái)，一方面，幾何問(wèn)題也就可以轉(zhuǎn)化為代數(shù)問(wèn)題，再通過(guò)對(duì)代數(shù)問(wèn)題的研究就可以發(fā)現(xiàn)新的幾何問(wèn)題。另一方面，代數(shù)問(wèn)題也就有了幾何意義的解釋。

3 微積分學(xué)的先驅(qū)

微積分特別是積分學(xué)的萌芽，可以追溯到古代。面積、體積的計(jì)算自古以來(lái)一直是數(shù)學(xué)家們感興趣的問(wèn)題，在古代希臘、中國(guó)和印度的著述中，不乏用無(wú)限小的過(guò)程計(jì)算特殊形狀的面積、體積和曲線長(zhǎng)的例子。其中包括阿基米德和祖沖之父子，他們成功地求出了球的體積；芝諾的悖論則表明，一個(gè)普通的常量也可以被無(wú)限劃分。在微分學(xué)方面，阿基米德和阿波羅尼奧斯分別討論過(guò)螺線和圓錐曲線的切線，但這些都只是個(gè)別的或靜態(tài)的。

微積分的創(chuàng)立，主要是為了解決17世紀(jì)面臨的科學(xué)問(wèn)題。17世紀(jì)上半葉，歐洲接連取得了天文學(xué)和力學(xué)領(lǐng)域的重大進(jìn)展。首先是荷蘭的一位眼鏡商發(fā)明了望遠(yuǎn)鏡，得知這一消息的意大利人伽利略（Galileo Galilei, 1546-1642）迅速造出了高倍望遠(yuǎn)鏡，他用望遠(yuǎn)鏡發(fā)現(xiàn)了太陽(yáng)系的許多不為人知的秘密，從而證實(shí)了15世紀(jì)波蘭天文學(xué)家哥白尼（N.Copernicus, 1473-1543）的“日心說(shuō)”是正確的，但這一成就給他帶來(lái)的是一系列災(zāi)難，教會(huì)的審訊和迫害導(dǎo)致他雙目失明，最后郁郁寡歡而亡。與此同時(shí)，比他小7歲的德國(guó)天文學(xué)家開普勒（J.Kepler, 1571-1630）在獲取丹麥前輩及同行第谷（Tycho Brahe, 1546-1601）的觀察數(shù)據(jù)后，用更精確的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程證明了“日心說(shuō)”。

哥白尼也好，第谷也好，都以為行星的運(yùn)動(dòng)軌道是圓的（伽利略也未曾否定這一點(diǎn)），開普勒的第一行星運(yùn)動(dòng)定律卻認(rèn)定“行星的運(yùn)動(dòng)軌道是橢圓的，太陽(yáng)位于該橢圓軌道的一個(gè)焦點(diǎn)上”。據(jù)說(shuō)有一次他買東西，對(duì)商人們粗糙地估計(jì)酒桶的體積十分不滿，因而努力找到了旋轉(zhuǎn)體的體積計(jì)算方法，從而把阿基米德發(fā)明的球體積公式做了一般的推廣。開普勒所用的方法正是積分學(xué)中的“微元法”。用現(xiàn)代數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)說(shuō)，就是用無(wú)數(shù)無(wú)限小的元素之和去求取曲邊形的面積和旋轉(zhuǎn)體的體積。

相比這下，意大利人卡瓦列利（B.Cavalieri, 1598-1647）對(duì)數(shù)學(xué)的研究更為專一，他一生的主要成就就是發(fā)展了所謂的“不可分量”理論，即線、面、立體分別是由無(wú)限多個(gè)點(diǎn)、線和平面組成。不過(guò)，卡瓦列利也僅能求出冪函數(shù)x^n的定積分，這里n必須是正整數(shù)。英國(guó)數(shù)學(xué)家沃利斯則考慮把n換成分?jǐn)?shù)p/q，但他僅得到了p=1時(shí)的結(jié)果。

沿著微積分的路線追溯，我們也可以追溯微積分理論發(fā)現(xiàn)之前三位前輩的工作，他們是笛卡爾、費(fèi)馬和巴羅。笛卡爾和巴羅（I.Barrow, 1630-1677）嘗試求一般曲線的切線，分別采用了被后人稱作“圓法”的代數(shù)方法和“微分三角形”的幾何方法，費(fèi)馬則是在求函數(shù)的極值時(shí)采用了微分學(xué)的方法，唯一的差別是符號(hào)不同。實(shí)際上，他已經(jīng)意識(shí)到，用這種方法可以求出切線，但因?yàn)槭窃趯懡o梅森神甫的信里，故只是意味深長(zhǎng)地說(shuō)了一句，“我將在另外的場(chǎng)合論述”?？梢哉f(shuō)，費(fèi)馬是最接近微積分理論的一位。

4 牛頓的微積分

17世紀(jì)所面臨的新的科學(xué)問(wèn)題，與微積分的關(guān)系非常密切。例如，曲線的切線既可以用來(lái)確定運(yùn)動(dòng)物體在某一點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方向，也可能求出光線進(jìn)入透鏡時(shí)與法線的夾角；函數(shù)的極值既可以用來(lái)計(jì)算炮彈最大射程的發(fā)射角，也可以求得行星離開太陽(yáng)的最近和最遠(yuǎn)的距離。此外，還有這樣一個(gè)問(wèn)題：已知物體移動(dòng)的距離可表示為時(shí)間的函數(shù)，求該物體在任何時(shí)刻的速度和加速度?？梢哉f(shuō)，正是這個(gè)并不復(fù)雜的動(dòng)力學(xué)問(wèn)題及其逆問(wèn)題促使牛頓創(chuàng)立了微積分。

解析幾何不僅把代數(shù)方法應(yīng)用于幾何，也把變量引入了數(shù)學(xué)，為微積分的創(chuàng)立開辟了道路，但真正起關(guān)鍵作用的還是函數(shù)概念的建立。1642年，即笛卡爾發(fā)表解析幾何原理的5年以后，牛頓（I.Newton, 1642-1727）出生在英格蘭林肯郡的一個(gè)小村莊，那一年伽利略出世了。

牛頓建立的微積分的方法稱為“流數(shù)術(shù)”，他在劍橋大學(xué)上學(xué)時(shí)便開始研究，在回到家鄉(xiāng)林肯郡躲避鼠疫的兩年時(shí)間里取得了突破。據(jù)牛頓本人說(shuō)，他是在1665年11月發(fā)明了“正流數(shù)術(shù)”（微分學(xué)），在次年5月發(fā)明了“反流數(shù)術(shù)“（積分學(xué)）。也就是說(shuō)，牛頓與之前所有的探求微積分學(xué)的同行們不同，他把微分和積分作為矛盾的對(duì)立面一起考慮并加以解決（他的競(jìng)爭(zhēng)者萊布尼茨也是如此）。

1669年，回到劍橋的牛頓在朋友們中間散發(fā)了題為”運(yùn)用無(wú)窮多項(xiàng)方程的分析學(xué)“的小冊(cè)子（此前，他曾從運(yùn)動(dòng)學(xué)的角度出發(fā)做過(guò)類似的探討），像那個(gè)時(shí)候的其他學(xué)者一樣，他也是用拉丁文寫的。

牛頓假定，有一條曲線y，它下方的面積是：

z=ax^n

其中n可以是整數(shù)或分?jǐn)?shù)。給定x的無(wú)限小增量叫o，由x軸、y軸、曲線和x+o處的縱坐標(biāo)圍成的面積，他用z+oy表示，其中oy是面積的增量，那么，

z+oy=a(x+o)^n

利用他自己發(fā)明的二項(xiàng)式展開定理，上式等號(hào)右邊是一個(gè)無(wú)窮級(jí)數(shù)。將這個(gè)方程與前面的方程相減，用o除以方程的兩邊，略去仍然含有o的項(xiàng)，得到

y=nax^(n-1)

用現(xiàn)代的語(yǔ)言講就是，面積在任意x點(diǎn)的變化率是曲線在x處的y值；反之，如果曲線是y=nax^(n-1)，那么它下方的面積就是z=ax^n，這正是微分學(xué)和積分學(xué)的雛形。兩年以后，牛頓在一本《流數(shù)法與無(wú)窮級(jí)數(shù)》的書里給出了更廣泛且明確的說(shuō)明。他把變量叫做“流”（fluent），把變量的變化率叫做“流數(shù)”（fluxion），“流數(shù)術(shù)”一說(shuō)由此而來(lái)。

與此同時(shí)，牛頓也將他的正、反流數(shù)術(shù)應(yīng)用于切線、曲率、拐點(diǎn)、曲線長(zhǎng)度、引力和引力中心等問(wèn)題的計(jì)算。

5 萊布尼茨的微積分

萊布尼茨（G.W.Leibniz, 1646-1710）在1672～1676年四年居留巴黎期間，與荷蘭數(shù)學(xué)家物理學(xué)家惠更斯的結(jié)識(shí)交流，激發(fā)了他對(duì)數(shù)學(xué)的興趣，開始了對(duì)求曲線的切線以及面積和體積等微積分問(wèn)題的研究。萊布尼茨的微積分是從幾何學(xué)的角度出發(fā)的。確切地說(shuō)，他最初（1673）是從帕斯卡的一篇談?wù)搱A的論文中獲得靈感的。

萊布尼茨創(chuàng)立微積分首先是出于對(duì)幾何問(wèn)題的思考，尤其是對(duì)特征三角形的研究，于1673年萊布尼茨提出了自己的“特征（直角）三角形”。萊布尼茨是這樣考慮的：

如圖上圖所示，設(shè)曲線c通過(guò)原點(diǎn)，P(x，y)為曲線c上的任一點(diǎn)，過(guò)P作法線交x軸于N，從P點(diǎn)的垂足H到N的距離V（稱為次法線）是x的函數(shù)，則從o到x的面積為1/2y^2。

在P點(diǎn)的無(wú)窮小鄰近曲線上取一點(diǎn)Q，以PQ為“斜邊”作一“特征（直角）三角形△PQR”，其兩段PR, RQ為無(wú)窮小變化量dx和dy，則Rt△PQR～Rt△PNH，于是有dy/v=dx/y，即vdx=ydy，求和得

若以ds表特征三角形的斜邊，過(guò)P點(diǎn)的法線長(zhǎng)為n，則有ds/n=dx/y，即yds= ndx，求和得∫yds=∫ndx②

由此可得曲線c繞x軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的表面積為s=∫2πyds-∫2πndx

因當(dāng)時(shí)還沒(méi)有積分符號(hào)，萊布尼茨是這樣用語(yǔ)言來(lái)描述他這一重要結(jié)果的：

“由一條曲線的法線形成的圖形，即將這些法線（在圓中即為半徑），按縱坐標(biāo)方向置于軸上所形成的圖形，其面積與曲線繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體的面積成正比?！?/p>

早在1666年，萊布尼茨就在《論組合的藝術(shù)》一文中考察過(guò)下列平方數(shù)數(shù)列：

0，1，4，9，16，25，36，...

其一階差是

1，3，5，7，9，11，...

二階差是

2,2,2,2,2,...

他注意到一階差的和對(duì)應(yīng)于原數(shù)列，求和與求差成互逆關(guān)系，由此他聯(lián)想到微分與積分的關(guān)系。利用笛卡爾坐標(biāo)系，他把曲線上無(wú)窮多個(gè)點(diǎn)的縱坐標(biāo)表示成y的數(shù)列，相應(yīng)的橫坐標(biāo)的點(diǎn)就是x的數(shù)列。如果以x作為確定縱坐標(biāo)的次序，再考慮任意兩個(gè)相繼的y值之差的數(shù)列，萊布尼茨驚喜地發(fā)現(xiàn)，“求切線不過(guò)是求差，求積不過(guò)是求和”。

求曲線的切線，依賴于縱坐標(biāo)的差值與橫坐標(biāo)的差值，當(dāng)這些差值變成無(wú)限小時(shí)之比；而求曲線下的面積，則依賴于無(wú)限小區(qū)間上的縱坐標(biāo)之和（亦即寬度為無(wú)限小的矩形面積之和），并看到了這兩類問(wèn)題的互逆性。萊布尼茨在給洛必達(dá)的一封信中總結(jié)說(shuō)：“求切線不過(guò)是求差，求積不過(guò)是求和”。

對(duì)于求和，在萊布尼茨1675年10月29日的一份手稿中，首先使用了符號(hào)“∫”，這是將“sum”的首個(gè)字母“s”的拉長(zhǎng)。在11月11目的手稿中又引進(jìn)了“dx”表示兩相鄰x值的差。l 676年11月萊布尼茨已能給出冪函數(shù)的微分與積分公式：

其中e不一定是正整數(shù)。

1677年，萊布尼茨在手稿中明確陳述了微積分基本定理。為了求出在縱坐標(biāo)為y的曲線下的面積，只需求出一條縱坐標(biāo)為z的曲線，使其切線的斜率為dz/dx=y，這樣原曲線下的面積為∫ydx=∫dz=z。如果是在區(qū)間[a，b]上，便得到面積

萊布尼茨于1684年發(fā)表了他的第一篇微分學(xué)論文《一種求極大與極小值和求切線的新方法》（簡(jiǎn)稱新方法），也是數(shù)學(xué)史上第一篇微分文獻(xiàn)，刊登在萊比錫的《教師學(xué)報(bào)》上。

文中引進(jìn)微分式，并給出了微分式的和、差、積、商乘冪與方根的微分公式：

d(u±v)=du±dv; d(uv)=udv+vdu;

1686年，萊布尼茨發(fā)表他的第一篇積分學(xué)論文《深?yuàn)W的幾何與不可分量及無(wú)限的分析》，文中論述了積分或求積問(wèn)題與微分或切線問(wèn)題的互逆關(guān)系，并得出擺線方程：

亦即某些超越曲線也可寫出其方程。

萊布尼茨引進(jìn)的符號(hào)“d”和“∫”體現(xiàn)了微分與積分的“差”與“和”的實(shí)質(zhì)，獲得普遍承認(rèn)，一直沿用至今。