立體幾何初探

1.1.1構成空間幾何體的基本圖元柱

1.1.2棱鏡、金字塔和金字塔的結構特征

1.1.3圓柱、圓錐和圓錐的結構特征

1.1.4投影和直方圖

1.1.5三種視圖

1.1.6棱鏡、金字塔和金字塔的表面積

1.1.7支柱、圓錐和平臺的體積

棱鏡表面積A=L*H 2*S，體積V=S*H

(l-底面周長、h-柱高度、s-底面面積)

圓柱表面積a=l * h 2 * s=2 * r * h 2 * r 2，體積v=s * h= * r 2 * h

(l-底面周長、h-柱高度、s-底面面積、r-底面圓半徑)

球體表面積a=4 * r 2，體積v=4/3 * r 3

(R-球體半徑)

圓錐表面積a=1/2 * s * l * r 2，體積v=1/3 * s * h=1/3 * r 2 * h

(s-圓錐母線長度，l-底面周長，r-底面圓半徑，h-圓錐高度)

金字塔表面積A=1/2*s*L S，體積V=1/3*S*H

(s-側三角形的高度、l-底面周長、s-底面面積、h-棱錐高度)

矩形周長=(長度寬度)2正方形a-角長度c=4a

S=a2矩形a和b-邊長c=2 (a b)

S=ab三角形a、b、c-3面長度h-a面的高度

S-周長的一半a、b和c-內閣，其中s=(a b c)/2s=ah/2=ab/2 sinc=[s(s-a)(s-b)

平行四邊形a、b邊長h-a邊的高-雙面角s=ah=a、b- in

菱形a-角長度-角度d-長對角線長度d-短對角線長度s=DD/2

=a2sin 梯形a和b-上、下長度h-高度

M-中間水印長度s=(a b) h/2=MH d-直徑c= d=2 r

S= R2= D2/4扇區(qū)r扇區(qū)半徑矩形的周長=角長度4矩形的面積=長度寬度

正方形的面積=邊長變相三角形的面積=底部高度2平行四邊形的面積=底部高度

梯形面積=(上下)高度2直徑=半徑2半徑=直徑2圓周長=圓周率直徑=圓周率半徑2圓面積=圓周率半徑半徑

長方體的表面積=(長度寬度高度寬度高度)2長方體的體積=長度寬度高度正方形的表面積=邊長邊長6正方形的體積=邊長邊長邊圓柱的側面面積=

圓柱體的表面積=頂部和底部區(qū)域側面區(qū)域圓柱體的體積=底部區(qū)域高度

圓錐體的體積=樓層面積高度3框(方形、圓柱體)

的體積=底部面積高平面圖形名稱符號周長c和面積S a——中心角度

C=2r 2 r (a/360) s= R2 (a/360)

弓l-弧長b-弦長h-箭高r-半徑-中心角度的度s=r 2/2(/180-sin)=r 2 arccos[(r-h)/r]-

= R2/360-b/2 [R2-(b/2) 2] 1/2

=r (l-b)/2bh/2

2bh/3環(huán)r-外圓半徑r-內圓半徑d-外圓直徑d-內圓直徑s= (R2-R2)

= (D2-D2)/4橢圓d-長軸d-短軸s= DD/4

立方體圖名稱符號區(qū)域s和體積v立方體a-邊長s=6a 2v=a3

方塊a-長度b-寬度c-高度s=2 (ab AC BC)

V=ABC棱柱s-基準區(qū)域h-高度v=sh棱錐s-基準區(qū)域

H-高度v=sh/3母架S1和S2-上方、下方區(qū)域h-高度v=h [S1 S2 (S1 S1) 1/2]/3

準氣缸S1-上下部區(qū)域S2-下部區(qū)域

S0-中間截面積h-高度v=h (S1 S2 4 s0)/6

圓柱r-基準半徑h-高度c-基準周長

S樓板-樓板面積S側-側面積S表-表面積C=2 R S樓板= R2

S側==Ch S表==Ch 2S底部v=s底部h= r2h

空心圓柱r-外圓半徑r-內圓半徑

H-高度v= h (R2-R2)直圓錐r-基準半徑h-高度v= r2h/3

圓桌r-頂部半徑r-底部半徑

H-高v= h (R2 RR R2)/三球r-半徑

D-直徑v=4/3 R3= D2/6球不足h-球不足r-球半徑

A-球的底部半徑v=h(3 a 2h 2)/6=h 2(3 r-h)/3 a 2=h(2 r-h)球表R1和R2-球表，底部半徑

H-高v= h [3 (R12 R22) H2]/6圓環(huán)r形環(huán)半徑

d型環(huán)直徑r型環(huán)剖面半徑d型環(huán)剖面直徑v=22 RR 2=2d 2/4

槍管d-槍管腹部直徑d-槍管底部直徑h-槍管高度v= h (2d 2 D2)/12(總線為弧形，中心為槍管中心)

V= h (2d 2 DD 3d 2/4)/15

(公共汽車是拋物線)

三個視圖的投影規(guī)則如下：

注釋，頂部長度對齊

周、左評價高。

左側，頂部寬度相等

點、線、面位置關系

公理1:一條線的兩點在平面上，那條線在平面上

公理2:如果兩個平面有公共點，就有公共線，所有公共點都在這條線上。

公理3:不共線的三個點決定平面。

推論1:線和線外的點決定平面

推論2:兩條交叉線決定平面。

推論3:兩條平行線決定平面

公理4:平行于同一條線的線

雙線定義：兩條平行或不相交的直線

判定定理：通過平面外點和平面內點的直線和平面內點，但那家店的直線是雙線。

等角定理：如果一個角的兩邊和另一個角的兩邊分別平行，且方向相同，那么這兩個角相等

線線平行→線面平行 如果平面外一條直線和這個平面內的一條直線平行，那么這條直線和這個平面平行。

線面平行→線線平行 如果一條直線和一個平面平行，經過這條直線的平面和這個平面相交，那么這條直線就和交線平行。

線面平行→面面平行 如果一個平面內有兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行。

面面平行→線線平行 如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行。

線線垂直→線面垂直 如果一條直線和一個平面內的兩條相交直線垂直，那么這條直線垂直于這個平面。

線面垂直→線線平行 如果連條直線同時垂直于一個平面，那么這兩條直線平行。

線面垂直→面面垂直 如果一個平面經過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直。

線面垂直→線線垂直 線面垂直定義：如果一條直線a與一個平面α內的任意一條直線都垂直，我們就說直線a垂直于平面α。

面面垂直→線面垂直 如果兩個平面互相垂直，那么在一個平面內垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面。

三垂線定理 如果平面內的一條直線垂直于平面的血現(xiàn)在平面內的射影，則這條直線垂直于斜線。

例題

對于四面體ABCD,(1)若AB=AC,BD=CD如何證明BC垂直于AD?(2)若AB垂直于CD,BD垂直于AC,如何證明BC垂直于AD?

證明：

(1).取BC的中點F,連結AF,DF,則

∵AB=AC,BD=CD，

∴△ABC與△DBC是等腰三角形，

AF⊥BC,DF⊥BC.而AF∩DF=F,

∴BC⊥面AFD.又AD在平面AFD內，

∴BC

(2).設A在面BCD上的射影為O.連結BO,CO,DO.則

∵CD⊥AB,CD⊥AO,AB∩AO=A,∴CD⊥面ABO.

而BO在平面ABO內，∴BO⊥CD.

同理，DO⊥BC.因此，O是△BCD的垂心，因此有

CO⊥BD.

∵BD⊥CO,BD⊥AO,CO∩AO=O,∴BD⊥面AOC.

而AC在平面AOC內，∴BD⊥AC.