多圖警告！

前面說(shuō)。

這是美國(guó)數(shù)學(xué)家約翰巴茲(John Baez)在他主頁(yè)上發(fā)表的一篇文章，很快引起了很多人的興趣。標(biāo)題中的“根”表示數(shù)學(xué)中多項(xiàng)式的解。

如果沒(méi)有忘記高中數(shù)學(xué)課，就要知道以下兩個(gè)事實(shí)。多項(xiàng)式在復(fù)數(shù)域中必須有根，每個(gè)復(fù)數(shù)可以相當(dāng)于復(fù)平面上的一個(gè)點(diǎn)。

這樣，給定了一系列多項(xiàng)式，我們就可以把它們的根畫在蒙面上，形成特定的模式。

即使對(duì)多項(xiàng)式完全不了解，也不會(huì)妨礙您欣賞這些圖案的美麗，請(qǐng)放心。(大衛(wèi)亞設(shè))。

你可能聽說(shuō)過(guò)經(jīng)典的曼德勃羅特套裝(Mandelbrot set)。在這里你會(huì)很容易看到一些相似之處。(約翰f肯尼迪)。

不同的是人們對(duì)這些新模式知之甚少。

下面所有括號(hào)里的文字都是我添加的，以便不熟悉蒙面的朋友們能夠理解那些點(diǎn)的位置。

模特們可以看到原畫。

我的朋友Dan Christensen發(fā)現(xiàn)了一幅驚人的畫(見(jiàn)上圖)。這是由5次以下多項(xiàng)式的根在復(fù)平面上的相應(yīng)點(diǎn)組成的，所有系數(shù)都是-4到4之間的整數(shù)。

超模軍，再放大一點(diǎn)。

圖中，二次多項(xiàng)式的根是灰色的，三次多項(xiàng)式的根是青色的，四次多項(xiàng)式的根是紅色的，五次多項(xiàng)式的根是黑色的。

橫軸是實(shí)軸，縱軸是虛軸，中心大孔的中心是原點(diǎn)。

兩邊稍微小一點(diǎn)的洞的中心是1，I和1的六個(gè)虛肌出也各有一個(gè)小洞(也就是說(shuō)，中間那個(gè)大洞不是上下對(duì)稱的小洞)。(阿爾伯特愛(ài)因斯坦，美國(guó)作家)。

在這里可以看到很多迷人的圖案。給人的感覺(jué)是，這個(gè)整數(shù)系數(shù)多項(xiàng)式的根正在努力避免整個(gè)點(diǎn)和單位根。例外情況是，這整個(gè)點(diǎn)和單位是多項(xiàng)式的根。(大衛(wèi)亞設(shè))。

如果放大圖案，可以看到更多的細(xì)節(jié)。

從這里可以看到，1這個(gè)點(diǎn)所在的空白區(qū)域周圍環(huán)繞著美麗的羽毛，EXP(IOI/3)這個(gè)點(diǎn)周圍有6顆星星(左上角梅花形洞)，還有連接這兩點(diǎn)的奇特紅色連接，還有其他很多點(diǎn)周圍的星形洞。

人們應(yīng)該開始研究這些東西！

讓我們把所有系數(shù)在-n到n之間的整數(shù)，即D次以下多項(xiàng)式的整根集合稱為克里斯滕森集Cd，N。

d和N越大，Cd、N越大，當(dāng)N變成無(wú)窮大時(shí)，很明顯，這個(gè)集合傾向于填滿完全蒙面。(托馬斯a愛(ài)迪生)。

如果固定d，使N無(wú)限，我們就能得到所有的玻璃復(fù)數(shù)。如果讓d和N同時(shí)無(wú)窮大，就可以得到整個(gè)代數(shù)復(fù)數(shù)形式。

所以有趣的問(wèn)題是，如果我們固定N，使D無(wú)限，我們能得到什么？

Sam Derbyshire受到上圖的鼓舞，決定繪制分辨率更高的多項(xiàng)式根圖。

經(jīng)過(guò)幾次實(shí)驗(yàn)后，他認(rèn)為他最喜歡的是系數(shù)為1的多項(xiàng)式。

他畫了24集以下的這種多項(xiàng)式的根共224個(gè)，根約為24 224個(gè)，即約4億個(gè)高清晰度圖片。

他用Mathematica(數(shù)學(xué)軟件)計(jì)算所有這些根花了大約4天的時(shí)間，得到了大約5G的數(shù)據(jù)。

然后，他用Java語(yǔ)言創(chuàng)造了這個(gè)美妙的圖案。

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顏色表示根的密度，從黑色到暗紅色到黃色再到白色。上圖是低分辨率版本，我們打開原圖可以放大一點(diǎn)看到更多細(xì)節(jié)：

請(qǐng)注意單位根周圍的那些小洞，還有圓弧內(nèi)部的那些羽毛。

為了更清楚地觀察，我們把下面這些標(biāo)記出來(lái)的區(qū)域放大：

這里是 1 這個(gè)點(diǎn)處的那個(gè)洞。（即上面最右邊那個(gè)標(biāo)記出來(lái)的區(qū)域。）

中間那條白線是實(shí)軸。這是因?yàn)橛蟹浅６嗟亩囗?xiàng)式根都是實(shí)數(shù)。

然后這里是 i 這個(gè)點(diǎn)處的洞。（即最上面那個(gè)標(biāo)記區(qū)域。）

這是 exp(iπ/4) 這個(gè)點(diǎn)周圍。（差不多位于 1 和 i 正中央。）

請(qǐng)注意，根的密度在接近這個(gè)點(diǎn)的時(shí)候會(huì)變大，然后又突然變小?？梢钥吹竭@些密度所形成的微妙的圖案。

但是更漂亮的是當(dāng)我們來(lái)到單位圓內(nèi)部時(shí)的那些羽毛狀圖案！

這里是實(shí)軸附近的樣子，這個(gè)圖的中心位于 4/5 點(diǎn)處。（右邊數(shù)第二個(gè)標(biāo)記區(qū)域。）

在 (4/5)i 點(diǎn)處的樣子就截然不同了。（從上數(shù)第二個(gè)標(biāo)記區(qū)域。）

但是我覺(jué)得最漂亮的還要說(shuō)是 (1/2) exp(i π / 5) 這個(gè)點(diǎn)周圍的區(qū)域。（剩下的那個(gè)標(biāo)記區(qū)域。）

這幅圖生動(dòng)的展示出，在我們的數(shù)學(xué)研究中，規(guī)律性是如何從一團(tuán)混沌中逐漸成型的，就像從薄霧中隱約顯現(xiàn)出來(lái)一樣。

這里有太多東西需要解釋了，每幅圖片都至少需要一兩個(gè)定理來(lái)描述。

如果模友想看到更多的這類結(jié)果，可以參見(jiàn)：

Dan Christensen，整系數(shù)多項(xiàng)式的根的圖案：

或者直接去看作者John Baez的英文全文，里面還有更豐富的后續(xù)內(nèi)容（

超模君相信模友的英語(yǔ)水平是可以的）：

本文由超級(jí)數(shù)學(xué)建模編輯整理

資料來(lái)源于木遙（科學(xué)松鼠會(huì)）

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