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對(duì)兩個(gè)素?cái)?shù)定理的證明是一個(gè)很好的例子，說明了群論和數(shù)論之間美麗的相互關(guān)系。

撰文 徐一鴻（A. Zee）

翻譯 林海（清華大學(xué)）

校對(duì) 淺灘

諾貝爾物理學(xué)獎(jiǎng)獲得者肯尼斯·格迪斯·威爾遜（Kenneth Geddes Wilson，1936 - 2013），在量子場(chǎng)論和凝聚態(tài)物理學(xué)等領(lǐng)域具有深刻的影響。他幾年前去世了。我在紀(jì)念他的文章《回憶肯·威爾遜》（“My Memory of Ken Wilson”）中講述了他對(duì)我的學(xué)術(shù)生涯的影響[1]。我寫的群論教科書[2]里講過下面這個(gè)故事。

圖1. 肯尼斯·格迪斯·威爾遜（Kenneth Geddes Wilson，1936 - 2013）。（圖片來源：維基百科[3]。）

量子電動(dòng)力學(xué)（QED）的創(chuàng)始人之一，著名物理學(xué)家，理查德·菲利普斯·費(fèi)曼（Richard Phillips Feynman，1918 - 1988），在任教的美國加州理工學(xué)院為研究生開設(shè)多次研討班（seminar）?？稀ね栠d曾是參加研討班的學(xué)生之一。有一次在研討班期間，費(fèi)曼撞見威爾遜和一位同學(xué)正在說話，就問威爾遜在說什么。威爾遜回答說：他們?cè)谟懻摗巴栠d定理（Wilson’s theorem）”。費(fèi)曼于是讓威爾遜上前在黑板上陳述并證明“威爾遜定理”。

不過，定理中的威爾遜是另一個(gè)人！“威爾遜定理”是由英國的約翰·威爾遜（John Wilson，1741 - 1793）于1770年左右發(fā)現(xiàn)，并由他的老師愛德華·華林（Edward Waring，約1736 - 1798）于同年宣布的。愛德華·華林和約翰·威爾遜師生都沒能證明這個(gè)定理。該證明是在1771年，由物理學(xué)家皆較為熟悉的法籍意大利[4]物理學(xué)家和數(shù)學(xué)家，約瑟夫·路易斯·拉格朗日（Joseph-Louis Lagrange）給出的。阿拉伯學(xué)者哈金（Ibnal-Haytham）可能在1000年左右就知道[5]這個(gè)定理[6]。

這個(gè)定理說的是什么？讓我們先做幾個(gè)數(shù)值試驗(yàn)。

取一個(gè)自然數(shù)n，看看 (n-1)!+1 是否能被 n 整除（這里解釋一下何為“!”。比如對(duì)于正整數(shù)m，m! 表示其階乘，即所有小于等于m的正整數(shù)的乘積。例如5!=5·4·3·2·1=120 。）：

取n=3，有 (3-1)!+1=3 。是，它能被3整除。

取n=4，有 (4-1)!+1=7。否，它不能被4整除。

取n=5，有 (5-1)!+1=25。是，它能被5整除。

取n=6，有 (6-1)!+1=121。否，它不能被6整除。

取n=7，有 (7-1)!+1=721。是，它能被7整除。

讀者可以再取幾個(gè)數(shù)試算。

“威爾遜定理”說的是，當(dāng)且僅當(dāng)n是一個(gè)質(zhì)數(shù)時(shí)，(n-1)!+1能被n整除。這個(gè)定理可以用于檢驗(yàn)一個(gè)自然數(shù)是否為質(zhì)數(shù)[7]。

有些物理學(xué)家會(huì)風(fēng)趣地說，這不用證明，因?yàn)槲覀円延?個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，這個(gè)定理的正確性的置信水平（confidence level）為99%。（這當(dāng)然是一個(gè)玩笑?。?duì)數(shù)學(xué)家而言，當(dāng)然需要一個(gè)證明。也許你可以想出一個(gè)證明，足以媲美華林和威爾遜的才智?；蛟S，你不能給出證明，但你仍然可以閱讀我的群論教科書中的證明[8]。這個(gè)證明是一個(gè)很好的例子，展現(xiàn)了群論與數(shù)論之間美妙的相互關(guān)系。

這兒說個(gè)經(jīng)典的笑話。一位工程師、一位物理學(xué)家和一位數(shù)學(xué)家第一次游覽新西蘭。他們?cè)诨疖嚿贤姶巴庖恢缓谏难?。工程師驚嘆：“新西蘭的羊是黑色的。” 物理學(xué)家卻說：“你還不能這么認(rèn)為。如果等會(huì)兒看見另外一兩只羊也都是黑色的，那么我們才可以比較肯定地猜測(cè)，新西蘭所有的羊都是黑色的?！比欢鴶?shù)學(xué)家則笑著說：“你只能說，我們從火車上看到的新西蘭的羊，它們朝向火車的這一側(cè)是黑色的?！?/p>

現(xiàn)在，我想提一下“費(fèi)馬小定理”（Fermat's little theorem）（稱之為“小定理”是為了區(qū)別于著名的“費(fèi)馬大定理（費(fèi)馬最后定理）”）。皮埃爾·費(fèi)馬（Pierre de Fermat，1601或1607/1608 - 1665）[9]在物理學(xué)和數(shù)學(xué)上皆做出了基礎(chǔ)的貢獻(xiàn)。在這兒只討論“費(fèi)馬小定理”的一個(gè)特殊情形。

如果p是一個(gè)大于2的質(zhì)數(shù)，“費(fèi)馬小定理”說，2^(p-1)-1能被p整除。

讓我們?cè)僮鰩讉€(gè)數(shù)值試驗(yàn)：

取p=3，有 2^2-1=3 。是，它能被3整除。

取p=4，有 2^3-1=7 。否，它不能被4整除。

取p=5，有 2^4-1=15 。是，它能被5整除。

取p=6，有 2^5-1=31 。否，它不能被6整除。

取p=7，有 2^6-1=63 。是，它能被7整除。

此時(shí)，讀者更傾向于做物理學(xué)家，還是數(shù)學(xué)家？

Gutfreund和Little[10]用物理學(xué)語言給出了一個(gè)優(yōu)美的證明。

考慮在一個(gè)圓環(huán)上排列著p個(gè)符號(hào)（symbol）其中每個(gè)符號(hào)可以取值“+”或“-”（圖2）。物理學(xué)家稱這個(gè)圓環(huán)具有p個(gè)伊辛自旋（Ising spin），并稱這p個(gè)“+”或“-”的符號(hào)的一種排列為一個(gè)“自旋構(gòu)型”（spin configuration）。物理學(xué)有一個(gè)領(lǐng)域稱為統(tǒng)計(jì)物理和熱力學(xué)，其中含括了計(jì)算構(gòu)型的個(gè)數(shù)。如果讀者不知道這些術(shù)語，比如“自旋”等，沒有關(guān)系，這對(duì)接下來的討論并不重要。

圖2. 排列著p個(gè)符號(hào)的圓環(huán)。每一個(gè)排列是一個(gè)構(gòu)型（configuration）。圖中的5個(gè)構(gòu)型在同一個(gè)等價(jià)類（equivalence class）中。（圖片來源：A. Zee “Group Theory in a Nutshell for Physicists”第153頁。）

以下的討論[11]適用于任意的質(zhì)數(shù)p。為了使讀者易讀，我將常常以p＝5為例。比如，p＝5時(shí)，++--+這一個(gè)排列就是一個(gè)構(gòu)型（configuration）。

因?yàn)槊總€(gè)符號(hào)可以取兩個(gè)值，即“+”或“-”，所以，p＝5時(shí)，這個(gè)圓環(huán)總共有2×2×2×2×2=25=32個(gè)構(gòu)型。對(duì)于任意的質(zhì)數(shù)p，總共有2p個(gè)構(gòu)型。如果兩個(gè)構(gòu)型可以通過逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)若干格而變?yōu)橄嗤瑒t稱這兩個(gè)構(gòu)型是等價(jià)的（equivalent），或者說，是同類的。例如，p＝5時(shí)，以下五個(gè)構(gòu)型，++--+、+--++、--+++、-+++-和+++--，是互相等價(jià)的（圖2）。這和我們的直觀相符：在這5個(gè)構(gòu)型中，每個(gè)構(gòu)型都有3個(gè)相鄰的“+”和2個(gè)相鄰的“-”。這5個(gè)互相等價(jià)的構(gòu)型，被稱為在同一個(gè)“等價(jià)類”（equivalence class）中，或者簡稱在同一“類”（class）中。

這里請(qǐng)注意一個(gè)重要方面：符號(hào)都取“+”的構(gòu)型，例如p＝5時(shí)的+++++，是特殊的；因?yàn)樗坏葍r(jià)于自身。它所在的等價(jià)類只有一個(gè)構(gòu)型。同理，符號(hào)都取“-”的構(gòu)型，例如p＝5時(shí)的-----，也是特殊的。這兩個(gè)構(gòu)型皆是特殊的。

除了這兩個(gè)特殊構(gòu)型，我們將其余的2^p-2個(gè)非特殊構(gòu)型劃分為等價(jià)類。如上所述，每個(gè)非特殊構(gòu)型所在的等價(jià)類正好包含p個(gè)構(gòu)型。因此，2^p-2能被p整除。例如，p=5時(shí)，有32-2=30個(gè)非特殊構(gòu)型，并有6個(gè)等價(jià)類；這時(shí)25-2確實(shí)能被5整除。

現(xiàn)在，我們幾乎完成了證明！請(qǐng)注意，2^p-2顯然是一個(gè)偶數(shù)（因?yàn)槲覀儚呐紨?shù)

2^p上減去了另一個(gè)偶數(shù)2）。那么，2^p-2能同時(shí)被2和p整除。因此，當(dāng)p為大于2的質(zhì)數(shù)時(shí)，2p-2能被2p整除。從而，(2^p-2)/2=2^p-1-1能被p整除。定理的證明完成了。

留心的讀者可能會(huì)提一個(gè)問題：在上面的證明中，我們?cè)谀膬菏褂昧恕皃是大于2的質(zhì)數(shù)”的事實(shí)？

為了解釋這個(gè)微妙的問題，最簡單的辦法是檢查一下，當(dāng)p不為質(zhì)數(shù)時(shí)，前面的證明如何失效。我們以p=6為例，考慮+-+-+-構(gòu)型。它逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一格后變?yōu)?+-+-+構(gòu)型；再逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)一格后，它又變回了原來的+-+-+-構(gòu)型。從而，+-+-+-和-+-+-+構(gòu)成了一個(gè)等價(jià)類。這個(gè)等價(jià)類只包含2個(gè)構(gòu)型，而不是6個(gè)。讀者可以檢驗(yàn)，+--+--、--+--+、-+--+-這3個(gè)構(gòu)型也構(gòu)成一個(gè)等價(jià)類。因此，在上面的證明中，僅當(dāng)p為質(zhì)數(shù)時(shí)，每個(gè)非特殊構(gòu)型的等價(jià)類才包含p個(gè)構(gòu)型。

這和群論有什么關(guān)系？要完全地回答這個(gè)問題會(huì)很復(fù)雜。對(duì)于已經(jīng)了解一些群論的讀者，我可以提一下，上一個(gè)段落的最后一句結(jié)論可以從“拉格朗日定理”（Lagrange's theorem）導(dǎo)出[12]。這位拉格朗日，就是前面提到的證明“威爾遜定理”的拉格朗日。

現(xiàn)在請(qǐng)讀者們自己思考一個(gè)簡單的問題：為什么[13]“費(fèi)馬小定理”對(duì)于質(zhì)數(shù)2不成立？顯然21-1=1不能被2整除。

聰明的讀者可能意識(shí)到了這個(gè)定理可以被推廣。例如，我們可以使環(huán)上的每個(gè)符號(hào)，不是取2個(gè)值“+”“-”，而是取3個(gè)值“+”“-”“×”，或者取a個(gè)值，其中a為一個(gè)任意大的自然數(shù)。

“費(fèi)馬小定理”說，如果p是大于2的質(zhì)數(shù)，而a不是p的倍數(shù)[14]，那么ap-1-1能被p整除。這正是費(fèi)馬提出的原始版本。

讀者可以試試不同的a和p，這很有趣。例如，p=3時(shí)，這個(gè)定理說，只要a不是3的倍數(shù)，a2-1就能被3整除[15]。

請(qǐng)注意“費(fèi)馬小定理”并沒有說，如果a不是p的倍數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)p是大于2的質(zhì)數(shù)時(shí)，ap-1-1能被p整除。所以，這個(gè)定理不能用作完美的對(duì)質(zhì)數(shù)的檢驗(yàn)（primality test）。在實(shí)際算法中，給定一個(gè)非常大的自然數(shù)p，我們隨機(jī)地取一系列不是p的倍數(shù)的自然數(shù)a，可以迅速檢驗(yàn)ap-1-1是否能被p整除。若試驗(yàn)時(shí)對(duì)某個(gè)a不成立，那么p便不是質(zhì)數(shù)。若對(duì)足夠多的a都成立，那么p很有可能是質(zhì)數(shù)。順便提一下，若ap-1-1能被p整除，但p不是質(zhì)數(shù)，那么，這樣的a被稱作“費(fèi)馬騙子數(shù)”（Fermat liar），這樣的p則被稱作“費(fèi)馬偽質(zhì)數(shù)”（Fermat pseudoprime）。

因我從肯·威爾遜的一個(gè)故事說起，讓我再以另一個(gè)故事作結(jié)?？稀ね栠d從哈佛學(xué)院畢業(yè)后，西遷到加州理工學(xué)院攻讀研究生。他的父親（E. B. Wilson）是知名化學(xué)家和哈佛大學(xué)教授。他告訴肯·威爾遜，加州理工學(xué)院有兩個(gè)絕頂聰明的人：理查德·費(fèi)曼和默里·蓋爾曼（Murray Gell-Mann，1929 - ），你一到那里就應(yīng)該向他們介紹你自己。

當(dāng)威爾遜去敲費(fèi)曼的辦公室門時(shí)，聽到這位著名的物理學(xué)家喊道：“別打擾我！我很忙?！彼智昧藥紫?，這時(shí)費(fèi)曼打開門，瞪著威爾遜，問道：“干什么？”威爾遜解釋道，他是新來的研究生，希望費(fèi)曼給他建議一個(gè)題目做研究。費(fèi)曼喊道：“滾開?。℅et lost!）如果我有一個(gè)好題目，我就自己去研究了！”

接著，威爾遜去找蓋爾曼。蓋爾曼熱情地歡迎他到研究生院來。威爾遜請(qǐng)蓋爾曼給他建議一個(gè)題目，蓋爾曼向他解釋說，拉斯·昂薩格（Lars Onsager，1903 - 1976）[16]已經(jīng)給出了二維伊辛模型（Ising model）的嚴(yán)格解，并建議威爾遜去求解三維伊辛模型。然后說道：“等你找出嚴(yán)格解后，再來找我談?！庇腥さ氖牵迨嗄旰蟮慕袢?，三維伊辛模型仍未被嚴(yán)格求解，盡管人們已經(jīng)知道它的很多臨界性質(zhì)。

這個(gè)故事，刻畫了當(dāng)代人物對(duì)待研究生的兩種極端方式。哪種更為不妥呢？我還是請(qǐng)讀者們自己思考吧。

注釋：

1. 見“Ken Wilson Memorial Volume: Renormalization, Lattice Gauge Theory, the Operator Product Expansion and Quantum Fields”, B. E. Baaquie, K. Huang, M. E. Peskin, and K. K. Phua編輯, World Scientific 2015.

2. A. Zee, “Group Theory in a Nutshell for Physicists”, Princeton University Press 2016.

3.

4. 在那個(gè)時(shí)代，“法籍意大利人”這個(gè)詞還沒有意義。

5. 我不知道阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)中是否有“證明”這個(gè)概念。

6. 如果有讀者知道歷史上有中國數(shù)學(xué)家知道這個(gè)定理，請(qǐng)您留言告知。

7. 比如，2017是質(zhì)數(shù)，而2016顯然不是。

8. 見第152頁。

9. 關(guān)于費(fèi)馬的出生年份的混淆，原因是費(fèi)馬的父親結(jié)了兩次婚，并把兩任妻子生的兩個(gè)兒子都取名為Pierre（皮埃爾）。見K.Barner, NTM, 2001, vol. 9, no. 4, page 209.

10. H. Gutfreund and W. A. Little, Am. J. P(3), 1982.

11. 此處增修自我的群論書，第152頁。

12. 這個(gè)定理指出，如果H是有限群G的子群，那么G中元素的個(gè)數(shù)能被H中元素的個(gè)數(shù)整除?？蓞㈤單业娜赫摃?3頁。所以，如果p是質(zhì)數(shù)，循環(huán)群Zp沒有非平凡的子群。

13. 在上面的證明中，當(dāng)我們得出“2^p-2能同時(shí)被2和p整除”時(shí)，如果p=2，這兩條信息就變?yōu)橐粭l。

14. 如果a=kp，其中k為某自然數(shù)，那么a^(p-1)=k^(p-1)p^(p-1)顯然能被p整除，因而a^(p-1)-1不能被p整除，此時(shí)定理不適用。

15. 因?yàn)閍不等于3k，其中k為某自然數(shù)，那么a必然等于3k+1或3k+2。不論哪種情況，a^2-1=(a-1)(a+1)都能被3整除。

16. 拉斯?昂薩格于1968年獲得諾貝爾獎(jiǎng)，在這個(gè)故事發(fā)生的幾年之后。

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