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計(jì)算機(jī)程序又為數(shù)學(xué)家立了功。

最近，來(lái)自美國(guó)、加拿大、瑞士的4位數(shù)學(xué)家，用C++和MATLAB程序解出了一個(gè)6元105項(xiàng)方程的59組特殊解。

求解完這個(gè)方程，也就證明了“有理四面體”（rational tetrahedra）總共只有59個(gè)“特殊”形狀和2個(gè)系列，從而解決了一個(gè)44年的數(shù)學(xué)難題。

而提出這一難題的，正是去年因新冠而去世的著名數(shù)學(xué)家約翰·康威（John Conway）。

△ 59個(gè)“有理四面體”單獨(dú)解（圖片來(lái)自：QuantaMagazine）

1976年，康威給出了求解該問(wèn)題的方程。1995年，兩位數(shù)學(xué)家找到了其中59組特殊解，但是他們不確定有沒(méi)有遺漏。

△ 有理四面體具有兩組“連續(xù)”解和59組單獨(dú)解

得益于計(jì)算機(jī)硬件的發(fā)展，現(xiàn)在只用MacBook Pro和幾臺(tái)至強(qiáng)CPU電腦，在幾天內(nèi)就完成了對(duì)所有解的搜索。

結(jié)果證明，那兩位數(shù)學(xué)家在20多年前其實(shí)已經(jīng)得到了完整的答案。

什么是有理四面體

四面體，顧名思義，就是四個(gè)三角形圍成的立體圖形。

四面體每?jī)蓚€(gè)面之間都組成一個(gè)二面角。四面體有6條棱，因此有6個(gè)二面角。

△ 四面體中有6個(gè)二面角（圖片來(lái)自Poonen手稿）

有理四面體是指四面體中的6個(gè)二面角都是有理數(shù)角度（與180°角的比值是有理數(shù)）。

就好像三角形的內(nèi)角和公式數(shù)學(xué)公式: a+b+c=180°一樣，四面體的6個(gè)二面角之間也有一種關(guān)系，只不過(guò)這種關(guān)系要復(fù)雜得多。

定義θij為四面體第i個(gè)面與第j個(gè)面的夾角（顯然θij=θji），那么這6個(gè)二面角之間的關(guān)系可以行列式表示為：

因?yàn)槭怯欣硭拿骟w，所以 θij=Qπ（弧度），Q是有理數(shù)。

我們把行列式展開(kāi)后，會(huì)得到一個(gè)包含17項(xiàng)的方程，而且方程中還有余弦函數(shù)，求解難度很大。

但是數(shù)學(xué)家們想到了一個(gè)巧妙的化簡(jiǎn)方法。

歐拉公式

接下來(lái)，數(shù)學(xué)家們用到了“最美數(shù)學(xué)公式”——?dú)W拉公式——來(lái)簡(jiǎn)化方程。

歐拉公式將復(fù)數(shù)（實(shí)數(shù)+虛數(shù)）的指數(shù)函數(shù)與三角函數(shù)聯(lián)系起來(lái)：

i是虛數(shù)，即-1的平方根。如果用圖像的方式理解歐拉公式，那就是：

很顯然，無(wú)論θ值如何變化，eiθ到0點(diǎn)的距離一定是1。

所以如果我們定義復(fù)數(shù)：

那么這個(gè)復(fù)數(shù)一定是在以原點(diǎn)為圓心，半徑為1的圓上。

△ 方程z5=1的5個(gè)解都在單位圓上

現(xiàn)在，方程里的三角函數(shù)可以用復(fù)數(shù)來(lái)替代了：

這樣，上面的行列式從一個(gè)三角函數(shù)方程變成了一個(gè)多項(xiàng)式方程：

但問(wèn)題也隨之而來(lái)，這個(gè)方程總共有105項(xiàng)，而且是一個(gè)6元方程！不過(guò)好消息是，我們知道這6個(gè)未知數(shù)都在那個(gè)半徑為1的圓上（稱(chēng)作“單位根”）。

巧妙的是，復(fù)數(shù)zij與x軸的夾角θij正好就是四面體的二面角，因此這些解不僅在圓上，與x軸夾角也必須是π弧度的有理數(shù)倍。

1995年，在那個(gè)沒(méi)有性能強(qiáng)勁PC的年代，來(lái)自UC伯克利的Poonen和滑鐵盧大學(xué)的Rubinstein通過(guò)插入六個(gè)有理數(shù)的組合，來(lái)猜測(cè)這個(gè)方程的解，他們總共找到了59組。

這樣做帶來(lái)一個(gè)問(wèn)題是：可以找到解，但是不能保證把所有解一網(wǎng)打盡。

一次偶然的碰撞

問(wèn)題一擱置就是20多年，直到去年3月，Poonen參加了一次講座。

在那一次的講座上，研究數(shù)論的數(shù)學(xué)家Kedlaya介紹了自己的工作：搜索了不同多項(xiàng)式方程的單位根。

這不就和尋找“有理二面體”的問(wèn)題等價(jià)嗎？

Poonen很快就給Kedlaya發(fā)郵件，說(shuō)明自己的來(lái)意：你們研究的“正是我在1990年代需要的東西”。

收到郵件后，Kedlaya與另一位研究單位根的數(shù)學(xué)家Kolpakov取得了聯(lián)系。另一邊，Poonen也聯(lián)系上了他當(dāng)年的的老搭檔Rubinstein。

△ 聯(lián)手解決“有理四面體”的四位數(shù)學(xué)家

四人迅速組團(tuán)，開(kāi)始著手工作。

即便現(xiàn)在的計(jì)算機(jī)性能相比20多年前提升巨大，但想要找到一個(gè)6元105向方程的所有有理數(shù)解，還是不可能想象的。

必須要把搜索范圍進(jìn)一步縮小。

首先，他們“化整為零”。

在新論文中他們證明了，這個(gè)105項(xiàng)的復(fù)雜多項(xiàng)式方程可以用多個(gè)更簡(jiǎn)單的多項(xiàng)式表示，把這個(gè)6元方程轉(zhuǎn)化成了數(shù)百個(gè)簡(jiǎn)單方程的集合。

尋找這些較簡(jiǎn)單方程的單位根，比原方程的搜索范圍小得多。而且由于簡(jiǎn)單的方程與復(fù)雜的方程之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，找到一個(gè)方程的根，能幫助找到另一個(gè)方程的根。

搜索上限的問(wèn)題解決了，但搜索的間隔還是太小，搜索空間依然很龐大，工作無(wú)法繼續(xù)。

然后，他們的第二步是，利用對(duì)稱(chēng)性進(jìn)一步壓縮搜索空間。

他們知道方程的解具有一定的對(duì)稱(chēng)性，如果在區(qū)間的一部分上有解，那么在區(qū)間的另一部分上也必須有解。

這樣一來(lái)，他們就可以開(kāi)發(fā)出新算法，利用這種對(duì)稱(chēng)性結(jié)構(gòu)來(lái)更有效地進(jìn)行搜索。

經(jīng)過(guò)幾個(gè)月的努力，他們完成了任務(wù)的分解。除去編程，整個(gè)搜索只占用了幾顆酷睿與至強(qiáng)處理器數(shù)小時(shí)的時(shí)間。

計(jì)算機(jī)終于找到了所有特殊解，真的只有59個(gè)?。硗膺€有兩組“連續(xù)”解。）

現(xiàn)在，他們的算法已經(jīng)公布在GitHub上。

2020年11月，四個(gè)數(shù)學(xué)家把論文發(fā)布到arXiv上，44年后終于用計(jì)算機(jī)的方法完成了康威的愿望。

也算是告慰了康威的在天之靈，他們?cè)谡撐氖醉?yè)上寫(xiě)著：“In memory of John H. Conway”。

后續(xù)

解決這個(gè)問(wèn)題后，Poonen本人親自撰寫(xiě)了一篇科普文章，還和西蒙斯基金會(huì)聯(lián)合錄制了一段科普視頻。

Poonen列c出了三個(gè)重要的四面體問(wèn)題，最早的要追溯到2300多年前亞里士多德的疑問(wèn)：什么樣的四面體能堆滿整個(gè)空間？

1900年，數(shù)學(xué)家大衛(wèi)·希爾伯特給出了另一個(gè)疑問(wèn)：什么樣的四面體可以經(jīng)過(guò)有限次的切割重組為一個(gè)等體積的立方體？

至于第三個(gè)問(wèn)題，就是剛剛解決的有理二面體問(wèn)題。而前兩個(gè)問(wèn)題，人們現(xiàn)在還不知道答案。

如果非要問(wèn)這個(gè)有理二面體有什么實(shí)際價(jià)值，Poonen給出了一個(gè)有趣的案例：

假設(shè)我們要在一個(gè)星球上建造N個(gè)城市，讓這N個(gè)城市每?jī)蓚€(gè)之間的距離都是有理數(shù)，那么我們應(yīng)如何規(guī)劃？

（注：指城市之間的球面距離與赤道周長(zhǎng)的比值是有理數(shù)。）

△ 如何在星球上建造兩兩距離皆為有理數(shù)的城市（圖片來(lái)自Poonen手稿）

因?yàn)橛欣硭拿骟w問(wèn)題的解決，現(xiàn)在這個(gè)問(wèn)題有兩個(gè)方案：

一個(gè)是讓赤道上均勻分布幾個(gè)城市，再把剩下兩座城市放在南極北極。

而如果想讓城市在星球上分布得更均勻一點(diǎn)，也就是上圖右邊的方法，那么N不能超過(guò)30，否則無(wú)解。

參考鏈接：




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— 完 —

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