極客數(shù)學(xué)幫助組織高中有趣的數(shù)學(xué)知識。之前我們在《星會》里介紹過數(shù)學(xué)大師歐拉。年輕時,歐拉向圣彼得堡提交了一篇論文《格涅斯堡的七座橋》。在指出這個問題沒有解決辦法的同時,歐拉還創(chuàng)立了數(shù)學(xué)的一個新分支——圖論和幾何拓?fù)洹D敲磾?shù)學(xué)中還有哪些有趣的數(shù)學(xué)定理比如七橋?今天我們借助極客數(shù)學(xué)來看看高中有趣的數(shù)學(xué)知識。

椰子上的毛是永遠(yuǎn)弄不直的

想象一個表面有毛的球。能不能把頭發(fā)全部梳平,不留一根梳子樣的頭發(fā)或者卷發(fā)樣的頭發(fā)?拓?fù)涓嬖V你這是不可能的。這個叫毛球定理,最早是布勞威爾證明的。在數(shù)學(xué)語言中,球面上不可能有連續(xù)的單位矢量場。這個定理可以推廣到更高維空:對于任意偶數(shù)維球面,都不存在連續(xù)的單位向量場。毛球定理在氣象學(xué)中有一個有趣的應(yīng)用:由于地球表面的風(fēng)速和風(fēng)向是連續(xù)的,根據(jù)毛球定理,地球上總會有一個地方的風(fēng)速為0,這意味著氣旋和眼孔是不可避免的。

在任何時刻,地球上總有兩個對稱點,它們的溫度和大氣壓是完全一樣的

波蘭數(shù)學(xué)家ulam曾經(jīng)猜想,給定一個從n維球面到n維空的連續(xù)函數(shù),在球面上總能找到兩個與球面中心對稱的點,它們的函數(shù)值是相同的。1933年,波蘭數(shù)學(xué)家博蘇克證明了這個猜想,這就是拓?fù)鋵W(xué)中的博蘇克-烏拉姆定理。

Bosuke-ulam定理有很多推論,其中一個是地球上總有兩個對稱點,它們的溫度和大氣壓力值是完全相同的。這是因為我們可以把溫度值和大氣壓力值的所有可能的組合都看作平面直角坐標(biāo)系上的點,所以地球表面各點的溫度和大氣壓力的變化可以看作是從二維球面到二維平面的函數(shù),這個函數(shù)可以從Bosuke-ulam定理推導(dǎo)出來,而且必須有兩個函數(shù)值相等的對稱點。

當(dāng)n=1時,Bosuke-ulam定理可以表示為:在任意時刻,地球赤道上總有兩個溫度相同的點。對于這個弱化版的推論,我們有一個非常直觀的證明方法:假設(shè)赤道上有兩個人A和B,他們關(guān)于球體中心對稱站立。如果此時他們所在的地方溫度相同,問題就解決了。接下來,我們只需要考慮他們所在的地方溫度高低的情況。我們假設(shè)A在10度,B在20度?,F(xiàn)在,讓兩個人以相同的速度和相同的方向沿著赤道旅行,并保持他們始終處于對稱的位置。假設(shè)在這個過程中,每個地方的溫度都是恒定的。在旅途中,兩人不斷報告當(dāng)?shù)氐臏囟取.?dāng)兩人都繞赤道半周,A會到達(dá)B的初始位置,B也會到達(dá)A的初始位置,全程中A報的溫度從10°連續(xù)變化,最后變成20°;而B經(jīng)歷的溫度從20開始,最后不斷變化到10。那么,他們引用的溫度值中間一定有一個“交點”時刻,這樣我們就可以在赤道上找到兩個溫度相等的對稱點。

醉醺醺的醉漢總能找到回家的路,而醉鳥可能永遠(yuǎn)也不會回家。

假設(shè)有一條水平直線,從某個位置開始,向左走1米的概率為50%,向右走1米的概率為50%。這樣無限隨機行走,最終回到起點的概率有多大?答案是100%。在一維隨機游走的過程中,只要時間足夠長,我們總能回到起點?,F(xiàn)在考慮一個在街上隨意走動的醉鬼。假設(shè)整個城市的街道呈網(wǎng)格狀分布,酒鬼每次走到十字路口都會等概率選擇一條路繼續(xù)走下去。那么他最終回到起點的概率有多大呢?答案還是100%。起初,醉漢可能會越走越遠(yuǎn),但最終他總能找到回家的路。然而醉鳥就沒那么幸運了。如果一只鳥每次飛行時都從上、下、左、右、前、后等方向選擇一個方向,它很可能永遠(yuǎn)不會回到起點。事實上,在三維網(wǎng)格中隨機行走,最終回到起點的概率只有34%左右。這個定理是著名數(shù)學(xué)家保利亞在1921年證明的。隨著維度的增加,回到起點的概率會越來越低。在四維網(wǎng)格中隨機行走并最終返回起點的概率為19.3%,而在八維空中,概率僅為7.3%

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