公式一:求和公式:等差數(shù)列求和=(第一項(xiàng)+最后一項(xiàng))×項(xiàng)數(shù)÷2，即sn =(a1+an)×n÷2；

公式二:通項(xiàng)公式:第n項(xiàng)=第一項(xiàng)+(n-1)×容差，即an = a1+(n-1)×d；

公式3:項(xiàng)目編號(hào)公式:項(xiàng)目編號(hào)=(最后一項(xiàng)-第一項(xiàng))÷公差+1，即n=(an-a1)÷d+1。

以上三個(gè)公式一定要掌握

另外還有一個(gè)中項(xiàng)定理，最好掌握一下:

中項(xiàng)定理:對(duì)于奇數(shù)項(xiàng)的等差數(shù)列，中項(xiàng)的值等于所有項(xiàng)的平均值和第一項(xiàng)與最后一項(xiàng)之和的一半；或者換句話說，項(xiàng)的和等于中間項(xiàng)乘以項(xiàng)的個(gè)數(shù)。

例1:工地上有一批磚，堆放成右圖所示的形狀。頂樓兩塊，二樓六塊，三樓十塊。依次，每層比上層多四塊磚。已知最底層有2106塊磚。中間一層有多少塊磚？這堆磚有多少塊？

解決方法:如果我們依次寫下每層的磚數(shù)，2，6，10，14，…就很容易知道這是一個(gè)等差數(shù)列。

方法1:

A1=2，d=4，用公式求an=2106。

那么:n=(an-a1)÷d+1=527

這堆磚的中項(xiàng)是a264=a1+(264-1)×4=1054。

方法二:(a1+an)×n÷2 =(2+2106)×527÷2 = 555458(block)。

中間項(xiàng)是(a1+an)÷2=1054

a1=2，d=4，an=2106，

這堆有1054×527=555458塊磚。

這個(gè)問題可以用中項(xiàng)定理和等差數(shù)列公式來解決！

例2:求1到2000自然數(shù)中所有偶數(shù)之和與所有奇數(shù)之和的差。

解決方法:根據(jù)問題的含義，可以列出公式:

解1:可以看出2，4，6，…，2000是容差為2的等差數(shù)列，1，3，5，…，1999也是容差為2的等差數(shù)列，項(xiàng)數(shù)為1000，所以:

原公式=(2+2000)×1000÷2-(1+1999)×1000÷2

=1000.

解2:注意這兩個(gè)等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)相等，容差相等，對(duì)應(yīng)項(xiàng)相差1，所以1000項(xiàng)相差1000項(xiàng)，即，

原公式=1000×1=1000。

例3:100個(gè)連續(xù)自然數(shù)(從小到大排列)之和為8450。把第一個(gè)，第三個(gè)……第99個(gè)拿出來，把剩下的50個(gè)數(shù)字加起來。你得到了什么？

解決方案:

方法一:求和。我們可以先計(jì)算這50個(gè)數(shù)字。

100個(gè)連續(xù)自然數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為8450，則:

從問題可以知道:(第一項(xiàng)+最后一項(xiàng))×100÷2=8450，可以發(fā)現(xiàn)(第一項(xiàng)+最后一項(xiàng))=169。

而且因?yàn)樽詈笠豁?xiàng)比第一項(xiàng)大99，最后一項(xiàng)=第一項(xiàng)+99，根據(jù)(第一項(xiàng)+最后一項(xiàng))=169:

第一項(xiàng)+最后一項(xiàng)+99=169，解:第一項(xiàng)=35。

所以剩下的50個(gè)數(shù)字是:36，38，40，42，44，46…134。這些數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列，和為(36+134)×50÷2=4250。

方法二:我們認(rèn)為這100個(gè)自然數(shù)分為兩個(gè)系列。這兩個(gè)數(shù)列具有相同的公差和相同的項(xiàng)數(shù)，剩余數(shù)組成的數(shù)列比取數(shù)組成的數(shù)列的對(duì)應(yīng)項(xiàng)大1。因此，剩余數(shù)字的總和比所取數(shù)字的總和大50，并且因?yàn)樗鼈兊目偤褪?450。因此:

剩余數(shù)之和+取數(shù)之和= 8450；

剩余數(shù)之和——取數(shù)之和=50。

其余數(shù)字之和為(8450+50)÷2=4250。

(用兩個(gè)數(shù)之和可知，兩個(gè)數(shù)之差已知，求兩個(gè)數(shù))

附加問題:x+y+z=1993有多少正整數(shù)解？

親愛的朋友們，讓我們來解決這個(gè)問題，看看底部的答案。

答案:l+2+3+……+1991 = 1983036

示例:對(duì)于大于零的分?jǐn)?shù)，有以下結(jié)論:

(1)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)之和即為真分?jǐn)?shù)；

(2)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的乘積是真分?jǐn)?shù)；

(3)兩個(gè)不相等的真分之差(大減)即為真分；

(4)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的商為真分?jǐn)?shù)；

(5)真分和假分之和為假分；

(6)真分和假分的乘積為假分；

正確結(jié)論的數(shù)量是()。

分析和解決方案:

首先要知道真實(shí)分?jǐn)?shù)是多少！

真分?jǐn)?shù)是指分子小于分母的分?jǐn)?shù)。真實(shí)分?jǐn)?shù)的分值小于1。注意:等于1的分?jǐn)?shù)是假分?jǐn)?shù)。真分?jǐn)?shù)一般在正數(shù)范圍內(nèi)研究。

在數(shù)軸上，(0，1)之間的分值為真分值(括號(hào)表示兩端的值不包含在內(nèi)，表示單詞大于0小于1)，大于等于1的分值為假分值。

其中分子和分母的分?jǐn)?shù)是最簡單的真分?jǐn)?shù)。

了解了以上基礎(chǔ)知識(shí)，讓我們來看看選項(xiàng):

(1)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)之和即為真分?jǐn)?shù)；-錯(cuò)誤！1/2+1/2=1為假分；

(2)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的乘積是真分?jǐn)?shù)；-沒錯(cuò)！兩個(gè)大于0小于1的數(shù)相乘，乘積仍小于1；

(3)兩個(gè)不相等的真分之差(大減)即為真分；-沒錯(cuò)！一個(gè)小于1的數(shù)減去一個(gè)小于自己的數(shù)，得到的數(shù)仍然小于1；

(4)兩個(gè)真分?jǐn)?shù)的商為真分?jǐn)?shù)；-錯(cuò)誤！1/2÷1/2=1為假分?jǐn)?shù)；

(5)真分和假分之和為假分；-沒錯(cuò)！小于1的數(shù)和大于1的數(shù)之和大于1；

(6)真分和假分的乘積為假分；-錯(cuò)誤！如果1/10×3/2=3/20，就是真分?jǐn)?shù)。

所以有三個(gè)正確的:2，3，5

今天就到這里。下次繼續(xù)。