這個正三角形怎么畫？

先給大家看一個動畫視頻。

這個動畫和我們今天要討論的問題有什么聯(lián)系？

下圖是一個正三角形，它的三個頂點位于三個同心圓上。

所以，今天的問題和昨天的問題差不多。有兩個問題:對于任意三個同心圓，能否構(gòu)造出三個頂點位于三個圓上的正三角形？如果可以構(gòu)造，或者條件允許，如何構(gòu)造或繪制這樣的正三角形？

回答:

結(jié)論是:隨機(jī)選擇三個同心圓中的兩個，讓它們的半徑分別為R和r ，那么，只有第三個圓的半徑x的范圍是從

R-r <。x <。R +r

，可以構(gòu)造這樣一個正三角形。

我們展示這個動畫背后的數(shù)學(xué)原理，并沒有那么神秘，只是一個簡單的數(shù)學(xué)畫圖問題。

觀察上面的動畫，其中紅圈A和綠圈B是三個同心圓中的兩個，我們在紅圈A上取一個點，這樣點A就可以固定了。在綠色圓B上取一個點，但讓它在圓上自由移動。連接AB，做一個以AB為一邊的正三角形ABC，其中C點為第三個頂點。讓B點在圓B上運動，觀察C點的運動，發(fā)現(xiàn)也是圓。這也是必然的，因為和B點一樣，離A點的距離也是一個正三角形的邊長。因為點B在圓B上運動，所以點C的軌跡是一個與圓B大小相同的圓。而且，圓d的圓心一定在圓a上。

這樣可以計算出圓d上最遠(yuǎn)點到同心圓圓心的距離為R+r，圓d上最近點到同心圓圓心的距離為R-r..然后最后R-r和R+r之間的圓就是第三個同心圓的范圍。在這個范圍內(nèi)，這三個同心圓就是滿足條件的三個圓，所以我們可以做一個正三角形，它的三個頂點位于這三個同心圓上。觀察以上動畫，發(fā)現(xiàn)對于圓C范圍內(nèi)的某個位置，變化圓C由小變大，由大變小時，經(jīng)過這個特定的圓位置一次，經(jīng)過兩次，滿足要求的正三角形就不一樣了。這說明至少有兩個正三角形滿足要求。另外，還有對稱的正三角形，就像上一期討論的三條平行線上的三個點構(gòu)成的正三角形一樣。這里還有另外兩個滿足要求的正三角形，與前面兩個關(guān)于直線OA的正三角形對稱。這樣就有了四個符合要求的正三角形。即以某個同心圓上的一個不動點為頂點，滿足要求的四個正三角形。

如果紅圈上的點A也在圓上移動，可以想象，構(gòu)造的正三角形會掃過所有的環(huán)形區(qū)域。

我們可以把上面的動畫想象成宇宙，大圓就是宇宙的邊緣；而在黑圈的中間，也是宇宙之外，像一個黑洞，不知道里面是什么。聲明:這個想象完全是我自己的科幻，請不要當(dāng)真！

下面討論映射方法。這絕對是真的！

如上圖。這里已經(jīng)假設(shè)三個圓滿足上述條件。事實上，如果不符合要求，就不能進(jìn)行以下方法。

取大圓C上的一個點C..以c點為圓心，以大圓的半徑為半徑做一個圓，把一個點和大圓交起來，設(shè)為d點。

以D點為圓心，以小圓的半徑為半徑做一個圓，在B and B點與圓B相交。連接BC和b 'c。

以C點為中心，BC和B’C為半徑做兩個圓，在A點和A’點與小圓相交。那么正三角形ABC和正三角形A'B'C都是滿足要求的正三角形。

另外兩個滿足要求的正三角形是這兩個正三角形ABC和A‘b’c關(guān)于直線CO的對稱圖形。