2018年11月14日——17日，在溫州大學召開了“第二屆兩岸“溫清”小學數(shù)學教學與研究暨中澳比較教育論壇：分數(shù)專題”，全國各地有300多位小學數(shù)學來溫參會，不敢說這是勝利的大會，但一定是團結的大會。

因為所有老師都是沖著一個目的來的，那就是分數(shù)到底該怎么教？而大會其實也一直都在討論這樣一個問題，如何基于分數(shù)的意義開展教學？基于意義的分數(shù)教學，需要從這樣兩個維度來進行思考，第一，在分數(shù)的概念上，從分數(shù)的初步認識到分數(shù)的再認識，再到分數(shù)意義的深刻理解，怎樣的學習路徑是適合學生的？第二，在分數(shù)的計算和應用等內(nèi)容上，又該以怎樣的意義讓學生去理解？當然，這一切的前提是，要認識到與整數(shù)不同，分數(shù)有著豐富得多的不同意義，如部分與整體的關系；商；測量；比；算子等。

如果我們的老師在分數(shù)教學時，能既從整體意義的建構上去考慮，又能在具體內(nèi)容的教學時深刻思考學生是如何理解的，相信學生在分數(shù)學習時能更好地對分數(shù)進行理解，而不至于茫然地“掉進分數(shù)里”。

今天這篇文章想探討這樣一個內(nèi)容，就是當學生在初步認識分數(shù)以后，學習分數(shù)的再認識的內(nèi)容時，該再認識什么？

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教材中的“分數(shù)的再認識”

在大陸的教材中，學生最早認識分數(shù)時，人教版是在三年級上冊，在認識小數(shù)之前。北師大版是在三年級下冊，是在認識小數(shù)之后，如下面兩幅圖，其中的關鍵詞中除了“平均分”，“其中的一份”或“每人分得”之外，其實還有一個詞很重要，就是“它的”，“這個蘋果的”，也就是說，如果從意義上來講，都是部分與整體的關系。這就是孩子在初步認識分數(shù)以后，他們腦子里的分數(shù)，明白這一點，對于理解孩子的分數(shù)學習是重要的。

那么，學生再次認識分數(shù)是在什么時候呢？在北師大版教材中，有明確的“分數(shù)的再認識”的章節(jié)，是在五年級上次“分數(shù)的意義”這一內(nèi)容中，而且有分和，以分數(shù)的再認識為例，教材中是這樣的。

而在人教版教材中，并沒有“分數(shù)的再認識”這樣的章節(jié)，但事實上，在“初步認識”和“簡單計算”后面不久，學生就有再次認識分數(shù)的機會，只不過用的標題是“分數(shù)的應用”。

不難發(fā)現(xiàn)，其實在這兩個版本教材中“分數(shù)的再認識”中，其實強調(diào)的還是“平均分成幾份，取其中的一份”，以及“蘋果總數(shù)的”，也就是說仍然還是“部分與整體的關系”。那么，到底要再認識什么呢？

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怎么再認識“平均”

如前文所述，分數(shù)有多種不同的意義，而在我們的教材中，學生最初學習分數(shù)時，一般以“部分與整體的關系”這樣的意義進入。在這個意義上，一般需要特別強調(diào)“平均分”這個事情。那么，我們有沒有思考過，對于“平均”這個事情，學生是如何理解的。平均一定包含了“一樣”的意思，但“一樣”在哪里，學生是否真的清楚？

比如像圖4中的，將一個正方體“平均”分成4份，這里可以很明顯看出，分出來的這4個小正方形形狀和大小完全一樣，這里的“一樣”是直接可以看到的。事實上，學生在分數(shù)的初步認識時，就是以這樣的“一樣”去理解“平均”的，所分得的部分需要在形狀和面積上都一樣，這才是平均，這樣才可以用分數(shù)表示。

那么，問題來了，在下面的中，這6個蘋果的確分成了3份，但，是不是“平均”分的呢？孩子該如何理解？換言之，在中，明明劃分的各個部分的面積不一樣，為什么會是“平均”？理解“平均”必須要的“一樣”，在哪里？

我們當然知道，當中是將圖形的面積作為連續(xù)量來分，那么需要形狀面積完全一樣才是平均分，而在中，我們要考慮的是蘋果的數(shù)量，只需要抽象出來以后的蘋果數(shù)量一樣，就是平均了，至于畫的面積不重要。

這里從到的對于平均的意義的理解，明顯是存在一個過渡甚至跨越的，但我們有考慮過孩子是否能過得來嗎？

上周我聽了兩節(jié)課，剛好分別是兩個版本教材這個內(nèi)容的課。針對類似這樣的圖，我問了至少有1/3的學生兩個問題，第一個問題是，你這里寫了1/3，為什么？學生很快回答，因為平均分成了3份，取了其中的1份。我接著問第2個問題，你剛才說了平均分成3份，這里有平均分嗎？學生發(fā)現(xiàn)的確不是平均劃分區(qū)域的。我再問第3個問題，那你覺得這里還能用1/3表示嗎？所有孩子的第一反應都是不能。只有極少數(shù)孩子感到困惑，進入深度思考。然后有兩三個孩子最后跟我說，老師，這里是指對蘋果的數(shù)量平均分，跟劃的區(qū)域是沒有關系的。

更有意思的是，在一些孩子自己畫的問題里，孩子說，老師我畫的只是示意圖，看起來他們好像不一樣，其實是一樣的，好多孩子把自己原來畫的線擦掉，重新去畫，試圖讓畫的每一塊區(qū)域一樣大。

事實上，除了當中所畫區(qū)域大小外，還有另外一個問題值得思考。聽課時我同樣問了很多孩子這樣一個問題，你自己畫的這些蘋果都不一樣大哎，你現(xiàn)在覺得你選的這2個蘋果可以是1/3嗎？學生的回答也很有趣，絕大多數(shù)孩子感到遲疑，認為不能。有少數(shù)學生說，畫的是示意圖，看起來不一樣大，其實是一樣大的。這當然是很難得的抽象。但如果你進一步明確告知，蘋果就是不一樣大的，還可以用分數(shù)表示嗎？這時他們的回答就明確說不可以。

我這里問的這幾個問題絕不是鉆牛角尖，更不是故意為難學生。而是，如果要真正理解部分與整體關系意義上的分數(shù)，這時繞不開的問題。比如說，我們會說，男同學占全班人數(shù)的1/2。請問，這里的1/2是什么意思？分數(shù)就一定是要平均分才有，明明每個孩子都不一樣，為什么還是會有平均這一說？

從連續(xù)的形狀面積的一樣到離散的抽象出來的數(shù)量的一樣如何過渡，應該作為學生再次認識“部分與整體關系”意義上的分數(shù)的一個重要內(nèi)容。

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該怎么再認識“1份”

很多老師認為在“分數(shù)的再認識”中，“再認識”的重點應該在于從把“1個東西”平均分過渡到把“1個整體”平均分，也就是說單位“1”從1個到多個，這個認識當然是對的。但從另一個角度來看，其實更應該是怎么認識“1份”。

簡單講，學生要學會用不同的眼光來看待“份”。在這個內(nèi)容的教學中，像上圖一樣，老師一般都非常強調(diào)這里是分成了3份，那么圈出來的部分是2份，所以這里應該是2/3。這樣的強調(diào)當然是必要的，學生需要能過渡到多個也可以是1份的認識。但如果只是過于強調(diào)這個圖是分成了3份，恐怕會有另一個問題。比如在這節(jié)課上，我問了很多個學生，這里能用6/9表示嗎？均回答說不可以，這里明明只分成了3份，哪里來的6/9。

我想，再次認識分數(shù)之后，如果只能看到3份里的2份，而看不到9個里的6個了，恐怕也不是我們想要的。那么，應該再認識什么呢？當然，我們這里不是要教等值分數(shù)，不是要教2/3=6/9，但學生要能用靈活的眼光看到不同的“部分與整體之間的關系”，卻是非常好的一種“再認識”不是嗎？

比如，像下面這樣的任務就很好。在前面學生重新理解了“平均”以后，給出8只襪子，圈出其中的2只襪子，那么可以用2/8表示，因為這是8只襪子里的2只。接下來如果把每2只襪子疊在一起，同樣是圈出來的這2只襪子，也可以用1/4表示，因為這也是4雙襪子里的1雙。這樣的活動當然還可以很多，比如15瓶酸奶里的5顆，是5/15。每5瓶裝成1盒以后，就是3盒里的1盒。

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怎么理解分數(shù)中“關系”的意義

個人認為，如果是在三年級分數(shù)的再認識，在部分與整體的關系這個意義上，讓學生再次認識“平均”和“1份”，能夠從不同的層面認識到“平均”中的“一樣”，能夠用靈活的眼光看到不同的“1份”，就已經(jīng)足夠了。這兩點應該成為這個內(nèi)容的大目標，課堂教學可以圍繞這兩個大目標思考大環(huán)節(jié)，設計大任務。

而如果是五年級的學習，除了再次認識“平均”和“1份”外，還有一個目標也很重要，因為這是部分與整體的關系的意義，所以由“關系”會帶來“相對”的大小。也就是說，這個意義上的分數(shù)，不能僅比較分數(shù)的絕對數(shù)值大小，還要考慮其對應的整體是多少。比如我在東陽聽到的這節(jié)課中，最后布置了這樣一個任務，“淘氣吃了1個月餅的1/4，笑笑吃了1個月餅的1/4，他們吃的月餅一樣多嗎？”。下圖是一個學生對這個題的思考，用畫圖很好地表征了因為整體不同，對應的1/4也會不同的情況。

事實上，后來有學生補充上了第三種情況，1個月餅和1盒月餅一樣多的情況。而在對“關系”的理解上，根據(jù)對應的分數(shù)，整體和部分之間的互推也是一個值得注意的要點。

本文談的是我們的教材中“分數(shù)的再認識”，學生可以再認識什么，可以再認識到什么程度。仍然是在“部分與整體的關系”的意義上來認識分數(shù)，事實上，分數(shù)的再認識，當然還有很多其它的不同角度來再認識分數(shù)。比如，怎么認識分數(shù)是一個數(shù)？怎么從測量的角度，比如單位分數(shù)逐個數(shù)出不同的分數(shù)，直至數(shù)出假分數(shù)。

在另一節(jié)課上，學生1/4,2/4這樣往上數(shù)，容易數(shù)出5/4乃至更多。但當問及，這里的5/4是什么意思的時候很有意思，第一次學生很自然地說出來，把一個東西平均分成4份，取其中的5份。讓她再說一次的時候，說把一個東西平均分成4份，取其中的……，忽然發(fā)現(xiàn)，一共才4份，怎么可能取到5份呢？

所以，還是那句話，Teaching for Understanding，這里的理解包括兩個方面的意思，首先，老師自己要理解分數(shù)的不同意義，其次，老師還要把盡量把自己拉回到學生的位置，就能容易體會，在理解分數(shù)這個事情上，也許并不是那么理所當然的，也即，要理解學生的學習與理解。