直線與方程

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傾斜角和斜率

1、直線的傾斜角的概念：當(dāng)直線l與x軸相交時(shí), 取x軸作為基準(zhǔn), x軸正向與直線l向上方向之間所成的角α叫做直線l的傾斜角.特別地,當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), 規(guī)定α= 0°.

2、 傾斜角α的取值范圍：??? 0°≤α＜180°. 當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°.

3、直線的斜率:

一條直線的傾斜角α(α≠90°)的正切值叫做這條直線的斜率,斜率常用小寫字母k表示,也就是 k = tanα

⑴當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí), α=0°, k = tan0°=0;

⑵當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí), α= 90°, k 不存在.

由此可知, 一條直線l的傾斜角α一定存在,但是斜率k不一定存在.

4、 直線的斜率公式:

給定兩點(diǎn)P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1≠x2,用兩點(diǎn)的坐標(biāo)來(lái)表示直線P1P2的斜率：

?? 斜率公式: k=y2-y1/x2-x1???? ????

兩條直線的平行與垂直

1、兩條直線都有斜率而且不重合，如果它們平行，那么它們的斜率相等；反之，如果它們的斜率相等，那么它們平行，即

注意: 上面的等價(jià)是在兩條直線不重合且斜率存在的前提下才成立的，缺少這個(gè)前提，結(jié)論并不成立．即如果k1=k2, 那么一定有L1∥L2

2、兩條直線都有斜率，如果它們互相垂直，那么它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)；反之，如果它們的斜率互為負(fù)倒數(shù)，那么它們互相垂直，即

?

?

直線的點(diǎn)斜式方程

1、? 直線的點(diǎn)斜式方程：直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)，且斜率為?????

2、、直線的斜截式方程：已知直線的斜率為，且與軸的交點(diǎn)為???

直線的兩點(diǎn)式方程

1、直線的兩點(diǎn)式方程：已知兩點(diǎn)其中??? y-y1/y-y2=x-x1/x-x2

2、直線的截距式方程：已知直線與軸的交點(diǎn)為A，與軸的交點(diǎn)為B，其中

直線的一般式方程

1、直線的一般式方程：關(guān)于的二元一次方程（A，B不同時(shí)為0）

2、各種直線方程之間的互化。

直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式

兩直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、給出例題：兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)

L1 ：3x+4y-2=0??? L1：2x+y +2=0????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????

解：解方程 ??????????????????????

得 x=-2，y=2

所以L1與L2的交點(diǎn)坐標(biāo)為M（-2，2）

1、兩點(diǎn)間距離

兩點(diǎn)間的距離公式

?

?

2、點(diǎn)到直線的距離公式

1．點(diǎn)到直線距離公式：

點(diǎn)到直線的距離為：

2、兩平行線間的距離公式：

已知兩條平行線直線和的一般式方程為：，

：，則與的距離為

直線的斜率是用來(lái)衡量直線的傾斜程度的一個(gè)值，只要深入研究就會(huì)發(fā)現(xiàn)：直線斜率數(shù)值意義的解題功效是多方面的，如果熟練掌握了用直線斜率來(lái)處理這些問(wèn)題，可以大大簡(jiǎn)化解題速度．

1　借助直線的斜率巧解應(yīng)用題

　　例1　某校一年級(jí)為配合素質(zhì)教育，利用一間教室作為學(xué)生繪畫成果展覽室，為節(jié)約經(jīng)費(fèi)，他們利用課桌作為展臺(tái)，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框?qū)ψ烂娴膬A斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m，b m(a＞b)．問(wèn)學(xué)生距離鏡框下緣多遠(yuǎn)看畫的效果最佳？

　　解　建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點(diǎn)，在x軸的正半軸上找一點(diǎn)C(x,0)(x＞0)，欲使看畫的效果最佳，應(yīng)使∠ACB取得最大值．

　　由三角函數(shù)的定義知：A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)分別為(acosα，asinα)、(bcosα，bsinα)，于是直線AC、BC的斜率分別為：

kAC=tanxCA=，．

　　于是tanACB=

　　由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤，當(dāng)且僅當(dāng)=x，即x=時(shí)，等號(hào)成立，此時(shí)∠ACB取最大值，對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為C(,0)，因此，學(xué)生距離鏡框下緣 cm處時(shí)，視角最大，即看畫效果最佳．

　　點(diǎn)評(píng)　本題是一個(gè)非常實(shí)際的數(shù)學(xué)問(wèn)題，它不僅考查了兩點(diǎn)連線的斜率公式、用不等式法求最值以及對(duì)三角知識(shí)的綜合運(yùn)用，而且更重要的是考查了把實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題的能力．解決本題有幾處至關(guān)重要，一是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，使問(wèn)題轉(zhuǎn)化成解析幾何問(wèn)題求解；二是把問(wèn)題進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求tanACB的最大值，從而轉(zhuǎn)化為有關(guān)斜率的問(wèn)題．

2　借助直線的斜率比較大小

　　例2　設(shè)M=，則M與N的大小關(guān)系為(??? )

　　A．M＞N??????? B．M=N????????????? ????????????? ????????????? C．M＜N???????? D．無(wú)法判斷　　　　解析　將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為比較A(－1，－1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因?yàn)锽、C兩點(diǎn)的直線方程為y=x，點(diǎn)A在直線的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N．答案：A．

　　點(diǎn)評(píng)　如果此題按常規(guī)方法處理直接作差將會(huì)比較難處理，而采用直線斜率的幾何意義就直接明了，易處理．

3　借助直線的斜率求直線的方程

　　例3．過(guò)點(diǎn)P(2,1)作直線l分別交x,y的正半軸于A,B兩點(diǎn)，求（1）△ABO面積的最小值，及相應(yīng)的直線方程；（2）若︱PA︱·︱PB︱取最小值時(shí)，求直線的方程．

　　解析　顯然直線效率存在，設(shè)直線方程為y-1=k(x-2)(k<0)，得點(diǎn)A(),? B(0,1-2k)，（1）S△ABO=︱OA︱·︱OB︱=()(1-2k)=2+(-2k-)，

∵k<0? ∴S△ABO≥4，此時(shí)即直線為x＋2y－4=0．

　　（2）︱PA︱·︱PB︱=,? 此時(shí)即直線為x＋y－3=0．

4　構(gòu)造直線斜率證明不等式問(wèn)題

　　例4．已知a、b、m都是正實(shí)數(shù)，并且a

　　證明　如圖，在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)． 由m>0和0

　　點(diǎn)評(píng)　這是新教材高二數(shù)學(xué)上冊(cè)上的一道例題．教材上是用比較法去進(jìn)行證明的，但細(xì)細(xì)研究會(huì)發(fā)現(xiàn)還可通過(guò)構(gòu)造直線斜率來(lái)證明該不等式，因?yàn)樗C式子酷似直線的斜率表達(dá)式，故可借助題設(shè)條件構(gòu)造直線，然后運(yùn)用傾斜角的大小與斜率的關(guān)系來(lái)證明不等式．

5　構(gòu)造直線斜率解決變量或參數(shù)范圍問(wèn)題

　　例5　若在圓上運(yùn)動(dòng)，求的取值范圍．

　　解　因?yàn)槭侵本€OP（的斜率，在圓上，當(dāng)p點(diǎn)是由原點(diǎn)O向圓作切線的切點(diǎn)時(shí)，取到最大值與最小值．

　　設(shè)直線OP的斜率為k，直線OP的方程為y=kx，圓心C的坐標(biāo)為，半徑為．由于圓心C到切線的距離等于半徑，于是可得方程：，解得．所以的取值范圍為．

　　點(diǎn)評(píng)　可以看成是點(diǎn)與原點(diǎn)連線所在直線的斜率，則可以構(gòu)造如下一個(gè)函數(shù)：設(shè)k=，得函數(shù)y=kx．于是所求的取值范圍問(wèn)題就可以轉(zhuǎn)換為求函數(shù)y=kx所對(duì)應(yīng)直線的斜率的取值范圍問(wèn)題．

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