反函數(shù)與原函數(shù)關(guān)于y=x的對稱點的導(dǎo)數(shù)互為倒數(shù)。設(shè)原函數(shù)為y=f(x)，則其反函數(shù)在y點的導(dǎo)數(shù)與f"(x)互為倒數(shù)（即原函數(shù)，前提要f"(x)存在且不為0）。
arctanx求導(dǎo)方法
設(shè)x=tany
tany"=secx^y
arctanx"=1/(tany)"=1/sec^y
sec^y=1+tan^y=1+x^2
所以(arctanx)"=1/(1+x^2)
反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)關(guān)系
設(shè)原函數(shù)為y=f(x)，則其反函數(shù)在y點的導(dǎo)數(shù)與f"(x)互為倒數(shù)（即原函數(shù)，前提要f"(x)存在且不為0）
反函數(shù)求導(dǎo)法則
如果函數(shù)x=f(y)x=f(y)在區(qū)間IyIy內(nèi)單調(diào)、可導(dǎo)且f′(y)≠0f′(y)≠0，那么它的反函數(shù)y=f?1(x)y=f?1(x)在區(qū)間Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}Ix={x|x=f(y)，y∈Iy}內(nèi)也可導(dǎo)，且
[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
[f?1(x)]′=1f′(y)或dydx=1dxdy
這個結(jié)論可以簡單表達(dá)為：反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于直接函數(shù)導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)。
例：設(shè)x=siny，y∈[?π2,π2]x=sin?y，y∈[?π2,π2]為直接導(dǎo)數(shù)，則y=arcsinxy=arcsin?x是它的反函數(shù)，求反函數(shù)的導(dǎo)數(shù).
解：函數(shù)x=sinyx=sin?y在區(qū)間內(nèi)單調(diào)可導(dǎo)，f′(y)=cosy≠0f′(y)=cos?y≠0
因此，由公式得
(arcsinx)′=1(siny)′
(arcsin?x)′=1(sin?y)′
=1cosy=11?sin2y????????√=11?x2?????√
=1cos?y=11?sin2?y=11?x2
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