在一年級(jí)的數(shù)學(xué)教學(xué)中，二十以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法既是教學(xué)的重點(diǎn)，又是教學(xué)的難點(diǎn)。一般的孩子在幼兒園大班時(shí)就學(xué)會(huì)了十以?xún)?nèi)加減法，進(jìn)入小學(xué)后，二十以?xún)?nèi)不進(jìn)位不退位的加減法稍加練習(xí)也能熟練掌握。但是，孩子學(xué)習(xí)進(jìn)位加法和退位減法就不是那么輕松了，部分學(xué)生的計(jì)算速度大大下滑，計(jì)算的準(zhǔn)確率也降低了，兩極分化初露端倪。有的學(xué)生由于計(jì)算速度跟不上，開(kāi)始拖拉作業(yè)，成為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)困難者。 在一次20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法與退位減法的檢測(cè)中，四年級(jí)44名智力正常的學(xué)生每做對(duì)一題的平均用時(shí)是3秒；最慢的學(xué)生每做對(duì)一題平均用時(shí)6.8秒，是速度最快的學(xué)生的6倍多；后9名學(xué)生每做對(duì)一題的用時(shí)5.6秒，是前9名學(xué)生的近3倍?？梢?jiàn)，即使到了四年級(jí)，多數(shù)學(xué)生計(jì)算20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法的速度還沒(méi)能達(dá)到脫口而出的程度。 那么，到底是什么原因造成了孩子學(xué)習(xí)20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法以及退位減法的困難呢？ 我認(rèn)為，這和我們運(yùn)用的計(jì)算進(jìn)位加法和退位減法的算法有關(guān)。我查閱了原浙教版的教材以及人教版和北師大版的新課標(biāo)教材，發(fā)現(xiàn)這幾種教材所展示的算法不外乎數(shù)數(shù)法和數(shù)字推理法。數(shù)數(shù)法就是通過(guò)數(shù)數(shù)來(lái)計(jì)算，包括借助實(shí)物數(shù)數(shù)和單純數(shù)數(shù)兩種。數(shù)字推理法指的是包含湊十法、拆分法等的運(yùn)用數(shù)字進(jìn)行推算的方法。例如要算“9加6的和”，先算“10+6=16”，再算“16－1=15”，就是運(yùn)用了數(shù)字推理的方法。新教材中有多種進(jìn)位加法和退位減法的算法就是運(yùn)用了各種數(shù)字推理的策略。 然而，數(shù)字推理法對(duì)學(xué)生的思維要求高，需要的思維步驟也多，并不利于學(xué)生熟練掌握最終到達(dá)脫口而出的地步。以運(yùn)用最為廣泛的湊十法為例，求9加3等于幾，學(xué)生在解決問(wèn)題之前就需要這幾個(gè)思考過(guò)程：一、判定該題是不是進(jìn)位加法；二、如果是進(jìn)位加法，怎樣才能湊成10。這樣確定方法后才能進(jìn)行下面的運(yùn)算： 9+3=9+（1+2）=（9+1）+2=10+2=12 從上面的運(yùn)算中可以看出，這是一個(gè)運(yùn)用加法結(jié)合律進(jìn)行簡(jiǎn)便計(jì)算的一個(gè)過(guò)程，而且屬于不能直接運(yùn)用題中數(shù)據(jù)，需要拆分才能進(jìn)行簡(jiǎn)便運(yùn)算的一類(lèi)。所以，看似簡(jiǎn)單的湊十法，其思維是不簡(jiǎn)單的，包含著一系列邏輯推理過(guò)程，它的認(rèn)知基礎(chǔ)與一年級(jí)學(xué)生所具有的知識(shí)結(jié)構(gòu)和思維能力之間存在一定的距離，一定程度上造成了學(xué)生計(jì)算的困難。 那么，怎樣的方法才能更好地解決這一難題呢？我認(rèn)為，用數(shù)的組成來(lái)教學(xué)20以?xún)?nèi)的進(jìn)位加法和退位減法是一種可行而且有效的方法。 “數(shù)的組成法”是利用數(shù)的組成來(lái)計(jì)算“和是該數(shù)的加法和相應(yīng)的減法”的方法。就是把一個(gè)數(shù)分成和是該數(shù)的兩個(gè)數(shù)（0除外），窮盡所有的分法，并把這些分法羅列出來(lái)，讓學(xué)生在理解的基礎(chǔ)上誦讀記憶，從而提高學(xué)生的計(jì)算速度。 “數(shù)的組成法”對(duì)于從事小學(xué)低段數(shù)學(xué)教學(xué)的老師來(lái)說(shuō)可能不陌生，一般在教學(xué)“10以?xún)?nèi)的加減法”的時(shí)候用的就是數(shù)的組成法。例如教學(xué)“和是9的加減法”的時(shí)候都會(huì)讓學(xué)生說(shuō)一說(shuō)：9可以分成1和8；9可以分成2和7；9可以分成3和6；9可以分成4和5。學(xué)生熟知了數(shù)的組成，計(jì)算速度比之?dāng)?shù)數(shù)法就有了很大的提高。 也就是說(shuō)，我們?cè)诮虒W(xué)10以?xún)?nèi)的加減法的時(shí)候，運(yùn)用數(shù)數(shù)法給學(xué)生搭了一級(jí)臺(tái)階后，就用數(shù)的組成法讓學(xué)生熟練計(jì)算。例如3+4為什么等于7，讓學(xué)生數(shù)一數(shù)就知道了；但是在計(jì)算時(shí)，卻需要學(xué)生在大腦提取相關(guān)7的組成的信息，這樣才能使計(jì)算更加迅速。那么，我們?cè)诮虒W(xué)20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法的時(shí)候，同樣可以采取這樣的方法：先運(yùn)用數(shù)數(shù)法或數(shù)字推理法為學(xué)生做好鋪墊，然后用數(shù)的組成法來(lái)讓學(xué)生熟練計(jì)算。 以11的組成為例，11有下面幾種非零自然數(shù)的分法：11可以分成1和10，11可以分成2和9，11可以分成3和8，11可以分成4和7，11可以分成5和6。其中，11分成1和10是把11分成一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)，轉(zhuǎn)換成加減法后不屬于進(jìn)位加法和退位減法一類(lèi)，多數(shù)學(xué)生能熟練掌握；其它四組則是由兩個(gè)一位數(shù)組成11，屬于進(jìn)位加法和退位減法一類(lèi)，也是學(xué)生計(jì)算的難點(diǎn)，是數(shù)的組成法中要求學(xué)生重點(diǎn)掌握的。12至19的數(shù)也一樣，如果分成一個(gè)一位數(shù)和一個(gè)兩位數(shù)的組合，那么轉(zhuǎn)化成的加減法不屬于進(jìn)位退位的一類(lèi)；而如果分成兩個(gè)一位數(shù)，轉(zhuǎn)化成的加減法則一定屬于進(jìn)位加法和退位減法的一類(lèi)。也就是說(shuō)，在運(yùn)用數(shù)的組成教學(xué)進(jìn)位加法和退位減法的時(shí)候，我們只需要選擇11至19各數(shù)的一位數(shù)組成。 在對(duì)11至19各數(shù)的進(jìn)一步拆分中可以看出，隨著數(shù)的增大，這些數(shù)的一位數(shù)組成的對(duì)數(shù)卻越來(lái)越少。例如17只能分成8和9，18只能分成9和9，而19則不能由兩個(gè)一位數(shù)組成，也就是說(shuō)，不存在和為19的進(jìn)位加法，或是被減數(shù)為19的退位減法。這樣，在11至18各數(shù)的一位數(shù)組成中，11、12各有4組，13、14各有3組，15、16各有2組，17、18各有1組，一共20組，比2至10的組成還少了5組。而這20組，包含了20以?xún)?nèi)（不包括20）所有的進(jìn)位加法和退位減法。也就是說(shuō)，單從數(shù)量上看，學(xué)生掌握11至18各數(shù)的一位數(shù)組成是沒(méi)有問(wèn)題的。 那么，從11至18各數(shù)的組成中的每一組兩個(gè)數(shù)的大小來(lái)看，是不是在一年級(jí)學(xué)生所能掌握的范圍之內(nèi)呢？ 從日常經(jīng)驗(yàn)可知，5、6個(gè)物體雜亂擺放，我們的大腦能立刻反映出準(zhǔn)確的個(gè)數(shù)，但是7個(gè)以上的物體雜亂擺放，普通的成人也必須經(jīng)過(guò)數(shù)的過(guò)程才能知道準(zhǔn)確的個(gè)數(shù)。這是受注意力廣度的限制。心理學(xué)研究表明，在1/10秒的時(shí)間內(nèi)，成年人一般能夠注意到6—8個(gè)排列不規(guī)則的黑點(diǎn)。兒童的注意力范圍則更小。也就是說(shuō)，7至10的加減法學(xué)生已經(jīng)很難直接運(yùn)用具體形象思維來(lái)解決，而需記憶力和邏輯推理能力的幫助。既然學(xué)生能借助記憶力和邏輯思維的幫助掌握7至10的組成，那么，只要給予適當(dāng)?shù)闹笇?dǎo)和一定的練習(xí)，學(xué)生同樣能循序漸進(jìn)地掌握11至18的一位數(shù)組成，因?yàn)榻M成的元素是一樣的，都是一位數(shù)。只不過(guò)學(xué)習(xí)10以?xún)?nèi)數(shù)的組成的時(shí)候兩個(gè)一位數(shù)加起來(lái)不超過(guò)10，而學(xué)習(xí)11-18各數(shù)的一位數(shù)組成的時(shí)候，兩個(gè)一位數(shù)加起來(lái)超過(guò)了10。其實(shí)，這兩部分內(nèi)容合起來(lái)就是一位數(shù)加一位數(shù)的計(jì)算，只不過(guò)教科書(shū)中沒(méi)有采用這種說(shuō)法而已。 而一旦學(xué)生掌握了11至18的一位數(shù)組成，解決20以?xún)?nèi)進(jìn)位加法和退位減法的思維過(guò)程也就等同于10以?xún)?nèi)的加減法的思維過(guò)程，計(jì)算速度就理所當(dāng)然地得到提升了。 我們知道，在小學(xué)階段的數(shù)的運(yùn)算中，無(wú)論是多位數(shù)的加減乘除，還是小數(shù)、分?jǐn)?shù)的計(jì)算，最基本的類(lèi)別只有兩類(lèi)：一位數(shù)加一位數(shù)和一位數(shù)乘一位數(shù)。一位數(shù)加一位數(shù)中不進(jìn)位的部分（也就是10以?xún)?nèi)加減法），多數(shù)學(xué)生能熟練掌握；一位數(shù)乘一位數(shù)因?yàn)橛兄朔谠E的幫助，絕大多數(shù)學(xué)生也能脫口而出。而一位數(shù)加一位數(shù)中有進(jìn)位和退位的部分對(duì)多數(shù)學(xué)生來(lái)說(shuō)，還需要一系列思維過(guò)程才能得到計(jì)算結(jié)果，成為這部分學(xué)生學(xué)習(xí)后面的計(jì)算的攔路虎。而“數(shù)的組成法”改變了舊有的思維方式，從而解決了“進(jìn)位加法和退位減法”這個(gè)計(jì)算上的難題。 可以說(shuō)，“數(shù)的組成法” 是計(jì)算進(jìn)位加法和退位減法的全新的思維方式，是學(xué)生加減法思維的一次重大變革。它將解決多數(shù)學(xué)生計(jì)算學(xué)習(xí)中的一個(gè)重大障礙，從此進(jìn)位和退位只是計(jì)算中的一種表現(xiàn)形式，而無(wú)需原有的復(fù)雜的思維過(guò)程。這對(duì)提高學(xué)生計(jì)算速度，減低學(xué)生兩極分化的程度，減少數(shù)學(xué)學(xué)困生的數(shù)量，減輕學(xué)生的學(xué)業(yè)負(fù)擔(dān)都有著重要的意義。