題目：

自然數(shù),整數(shù),有理數(shù)為什么兩兩之間能構(gòu)成雙射?如題,不是有理數(shù)包含整數(shù)包含自然數(shù)么?另,為什么無(wú)理數(shù)又不能和他們構(gòu)成雙射?（這是聽一個(gè)數(shù)學(xué)老師說的）

解答：

不知道你現(xiàn)在上大學(xué)還是中學(xué).自然數(shù)集、整數(shù)集和有理數(shù)集的勢(shì)（如果沒聽說過可以理解為元素的個(gè)數(shù)）都是阿列夫0,是勢(shì)最小的無(wú)窮集（可數(shù)集）.無(wú)理數(shù)集和實(shí)數(shù)集等勢(shì),都是不可數(shù)集,勢(shì)為阿列夫1,按照連續(xù)統(tǒng)假設(shè)應(yīng)該是第二小的無(wú)窮集,滿足關(guān)系：阿列夫1＝2^(阿列夫0).不知道這樣解釋您是否滿意,因?yàn)椴恢滥悻F(xiàn)在的學(xué)歷.如果還想知道更深入點(diǎn)可以追問～ 再問： 我是中學(xué)生 這個(gè)懂得很朦朧 就算他們?cè)貍€(gè)數(shù)相等，怎么建立雙射呢？ 另，您說的東西在哪個(gè)階段可以學(xué)到？ 再答： 并不是元素個(gè)數(shù)相等才構(gòu)成雙射，而是能夠構(gòu)成雙射才元素個(gè)數(shù)相等。您是中學(xué)生的話，為了理解起來(lái)容易，我就舉一個(gè)最簡(jiǎn)單的栗子吧～比如說正整數(shù)集(用Z+表示)元素的個(gè)數(shù)和正偶數(shù)集(用E+表示)元素的個(gè)數(shù)哪個(gè)多呢？一般初學(xué)者都會(huì)認(rèn)為|Z+|>|E+|，“｜｜”表示元素的個(gè)數(shù)，因?yàn)橹庇X告訴我們正偶數(shù)和正奇數(shù)一樣多，而他們的總個(gè)數(shù)才是正整數(shù)的個(gè)數(shù)。真子集元素個(gè)數(shù)小于母集元素個(gè)數(shù)事實(shí)上只是對(duì)于有限集才是成立的。而對(duì)于無(wú)限集，我們就要用11映射的方法來(lái)比較哪個(gè)無(wú)限集的元素多，當(dāng)然能夠雙射的兩個(gè)集合元素個(gè)數(shù)就一樣多。由于對(duì)任意元素n屬于Z+，我們都可以在E+里找到這樣一個(gè)元素m＝2n與之對(duì)應(yīng)；反過來(lái)同樣的，對(duì)任意元素m屬于E+，我們都可以在Z+里找到這樣一個(gè)元素n＝m／2與之對(duì)應(yīng)。所以Z+與E+建立了11映射，也就是說|Z+|＝|E+|。寫的直觀點(diǎn)就是(1~2), (2~4), 。。。, (n~2n), 。。。同理，正奇數(shù)集O+也可以與Z+建立11映射，只須滿足關(guān)系(n~2n-1)就行了。所以|Z+|＝|E+|＝|O+|，然而E+和O+都是Z+的真子集，用普通的自然數(shù)（1個(gè)、2個(gè)等等）是不可能表示他們的個(gè)數(shù)的，所以我們定義了一個(gè)新的符號(hào)來(lái)表示它們的元素個(gè)數(shù)，那就是“阿列夫0”，符號(hào)不好打，我們就用X0來(lái)表示吧。那么自然數(shù)集N的個(gè)數(shù)是多少呢？直觀上看N比Z+多了一個(gè)元素0，我們只需要把構(gòu)建這樣一個(gè)映射(n~n+1)就行了，其中n是N的任意元素（0、1、2。。。）。其實(shí)我上面給你舉的栗子是為了直觀一點(diǎn)，事實(shí)上可數(shù)的無(wú)限集都是等勢(shì)的，建立11映射只需要一個(gè)一個(gè)對(duì)應(yīng)的排出來(lái)就行了。所以呢，用這種方法可以證明自然數(shù)集N、整數(shù)集Z、有理數(shù)集Q都是等勢(shì)的，它們的勢(shì)都是X0。超字?jǐn)?shù)了。。剩下的在附件里～