線性代數(shù)課后題詳解

第一章 行列式

1.利用對角線法則計算下列三階行列式：相信自己加油

201abc

（1）1?4?1； （2）bca ?183cab

111xyx?y

（3）abc； （4）yx?yx. a2b2c2x?yxy

201

解 注意看過程解答（1）1?4?1?2?(?4)?3?0?(?1)?(?1)?1?1?8

?183

?0?1?3?2?(?1)?8?1?(?4)?(?1)

=?24?8?16?4

=?4

abc

（2）bca?acb?bac?cba?bbb?aaa?ccc cab

?3abc?a3?b3?c3

（3）

111

abc?bc2?ca2?ab2?ac2?ba2?cb2 a2b2c2

?(a?b)(b?c)(c?a)

xyx?y

（4）yx?yx

x?yxy

?x(x?y)y?yx(x?y)?(x?y)yx?y3?(x?y)3?x3 ?3xy(x?y)?y3?3x2y?3y2x?x3?y3?x3 ??2(x3?y3)

2.按自然數(shù)從小到大為標準次序，求下列各排列的逆序數(shù)：耐心成就大業(yè)

（1）1 2 3 4； （2）4 1 3 2；

（3）3 4 2 1； （4）2 4 1 3；

（5）1 3 … (2n?1) 2 4 … (2n)；

（6）1 3 … (2n?1) (2n) (2n?2) … 2.

解（1）逆序數(shù)為0

1 1

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（2）逆序數(shù)為4：4 1，4 3，4 2，3 2

（3）逆序數(shù)為5：3 2，3 1，4 2，4 1,2 1

（4）逆序數(shù)為3：2 1，4 1，4 3

（5）逆序數(shù)為n(n?1)2：

3 2 1個 5 2，5 4 2個 7 2，7 4，7 6 3個 ……………… …

(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)

(n?1)個

（6）逆序數(shù)為n(n?1)

3 2 1個 5 2，5 4 2個 ……………… …

(2n?1) 2，(2n?1) 4，(2n?1) 6，…，(2n?1) (2n?2)

(n?1)個

4 2 1個

6 2，6 4 2個

……………… …

(2n) 2，(2n) 4，(2n) 6，…，(2n) (2n?2) (n?1)個

3.寫出四階行列式中含有因子a11a23的項.

解 由定義知，四階行列式的一般項為

(?1)ta1p1a2p2a3p3a4p4，其中t為p1p2p3p4的逆序數(shù)．由于p1?1,p2?3已固定，p1p2p3p4只能形如13□□，即1324或1342.對應(yīng)的t分別為

0?0?1?0?1或0?0?0?2?2

??a11a23a32a44和a11a23a34a42為所求.

4.計算下列各行列式：多練習方能成大財

?4124??2141?

?1202??

?3?121?

（1）??

?10520?； （2）?

?1232?；

??0117????5062??

??abacae??a100?

b10?

（3）??bd?cdde???1

?； （4）??

?c1? ?bfcf?ef??0?1

???00?1d??

解 41244?12?10

1202c2?c31202(1)520c4?7c31032?14 01170010

4?1?10

=122?(?1)4?3

3?14

2 2

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4?1109910

=12?2c2?c3

314c1?c00?2=0 231714

21412140

3?121c4?c23?122(2)12321230

50625062

21402140

r4?r23?122r4?r13?122

1230 1230=0

21400000

?abacae?bce

(3)bd?cdde=adfb?ce bfcf?efbc?e

?111

=adfbce1?11=4abcdef 11?1

a10001?aba0?1b10r(4)1?ar2?1b10

0?1c10?1c1 00?1d00?1d

1?aba0ad

=(?1)(?1)2?1?1c1c1?aba

3?dc2?1c1?cd

0?1d0?10

(?1)(?1)3?21?abad=?11?cd=abcd?ab?cd?ad?1

5.證明: a2abb2

(1)2aa?b2b=(a?b)3; 111

ax?byay?bzaz?bxxyz

(2)ay?bzaz?bxax?by=(a3?b3)yzx; az?bxax?byay?bzzxy3 3

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a2(a?1)2(a?2)2(a?3)2

b2

(3)(b?1)2(b?2)2(b?3)2

c2(c?1)2(c?2)2(c?3)2?0; d2(d?1)2(d?2)2(d?3)2

1111

abcd

(4)a2b2c2d2

a4b4c4d4

?(a?b)(a?c)(a?d)(b?c)(b?d)?(c?d)(a?b?c?d); x?10?00

0x?1?00

(5)???????xn?a1

1xn????an?1x?an.

000?x?1

anan?1an?2?a2x?a1

證明 a2ab?a2b2?a2

(1)左邊?c2?c1

c3?c2ab?a2b?2a 1100

2

3?1b2?a2

?(?1)ab?a

b?a2b?2a

?(b?a)(b?a)ab?a

12?(a?b)3?右邊 xay?bzaz?bxyay?bzaz?bx

(2)左邊按第一列

分開ayaz?bxax?by ?bzaz?bxax?by

zax?byay?bzxax?byay?bz

分別再分xay?bzzyzaz?bx

a2yaz?bxx?0?0?bzxax?by

zax?byyxyay?bz

分別再分xyzyzx

a3yzx?b3zxy

zxyxyz

xyzxyz

?a3yzx?b3yzx(?1)2?右邊

zxyzxy

4 4

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a2a2?(2a?1)(a?2)2(a?3)2

b22

(3) 左邊b?(2b?1)(b?2)2(b?3)2

?2

cc2?(2c?1)(c?2)2(c?3)2

d2d2?(2d?1)(d?2)2(d?3)2

a22a?14a?46a?9

c2?c1b22b?14b?46b?9

c2

3?c1c2c?14c?46c?9

c2

4?c1d2d?14d?46d?9

a2a4a?46a?9a214a?46a?9

按第二列2b4b?46b?9214b?46b?9分成二項2b

c2c4c?46c?9?b

c214c?46c?9

d2d4d?46d?9d214d?46d?9

a492

第一項c3?4c2a2a14a6a

cb492

4?6c2b214b6b

cc492

3?4c2c2?bc14c6c?0 第二項c4?9c2d2d49d214d6d

1000

?ab?ac?ad?a

(4) 左邊a2b2?a2c2?a2d2?a2 a4b4?a4c4?a4d4?a4

b?ac?ad?a

=b2?a2c2?a2d2?a2 b2(b2?a2)c2(c2?a2)d2(d2?a2)

111

=(b?a)(c?a)(d?a)b?ac?ad?a

b2(b?a)c2(c?a)d2(d?a)